Механизмніѕ синтезі
Квадратическое приближение функций
жүктеу/скачать 1,65 Mb.
|
Механизмнің синтезі раздаточный материал по Левитскому учебник с переводом на каз яз 31 05 2023 (1)
| Квадратическое приближение функций;
Функциялардың жуықтау әдісімен механизмдердің синтезі: функциялардың квадраттық жуықтауы Наилучшее приближение функций; Функциялардың ең жақсы жуықтауы Квадратическое приближение в среднем дает малое отклонение от заданной функции, но на отдельных участках отклонение может значительно отличаться от среднего значении. От этого недостатка избавлено наилучшее приближение функций, при котором максимальное отклонение от заданной функции имеет минимально возможную величину (отсюда название этого метода приближении - наилучшее). Квадраттық жуықтау ортада берілген функцияның аз аутқуын береді, бірақ бөлік учаскелерде ауытқу орта мәннен едәуір түрде айырмашылығы болады. Осы жетіспеушіліктен ең жақсы жуықтау жойылады; онда функция берілген функциядан максималды ауытқуы мүмкіндігінше минималды шамада болады. Условия наилучшего приближения впервые были указаны П. Л. Чебышевым для некоторого класса приближающих функций. Жуықтаушы функциялардың біраз ең жақсы жуықтау шарттарын алғашқы рет П. Л. Чебышев көрсеткен . Согласно этим условиям отклонение от заданной функции должно определенное число раз достигать своего предельного значения с последовательно чередующимися знаками. Берілген функциядан ауытқудың осы шарттарына сәйкес анықталған сан біртіндеп ауыспа танбаларымен шекті мәндеріне жетуі тиіс. Геометрически это приближение характеризуется тем, что график приближающей функции оказывается заключенным между кривыми, отстоящими от графика заданной функции на величину (рис. 110). Геометриялық түрде бұл жуықтау жуықтау функциясының графигі, берілген функция графигінен мөлшерге артта қалатың (110 сурет) қисық аралығында қамалуымен сипатталынады. 110 сурет В этом случае приближение называют равномерным, т.к. отклонение от заданной функции равномерно достигает своих предельных значений. Однако не всякое равномерное приближение оказывается наилучшим. Осы жағдайда жуықтау бірқалыпты деп аталынады, өйткені берілген функцияның өзінің қабылдайтын мәндерінде бірқалыпты болады. Бірақ әртүрлі бірқалыпты жуықтау ең жақсы жуықтау бола алмайды. Для того чтобы равномерное приближение было наилучшим, необходимо, чтобы число предельных отклонений было не меньше некоторого числа, зависящего от класса приближающей функции. Бірқалыпты жуықтау ең жақсы болуы үшін, шекті ауытқуулардың саны кейбір жуықтау функцияларының класына тәуелді саннан кем болмауы қажет. Например, если приближающая функция есть многочлен степени n, то число предельных отклонений должно быть равно n+2. Мысалы, егер жуықтаушы функция n дәрежелі көпмүше болса, онда бірдей шекті ауытқулардың саны n +2 тен болуы тиіс. В дальнейшем при вычислении неизвестных коэффициентов приближающей функции будем считать, что число предельных отклонений на единицу больше числа неизвестных коэффициентов. Полученное при этом условии равномерное приближение в задаче синтеза механизмов обычно является наилучшим. Бұдан былай жуықтаушы функциянын белгісіз коэффициенттерін есептеген кезде, шекті ауытқулардың саны белгісіз коэффициенттердің санынан бірге көп болуы қажет деп есептейміз. Осы шарттар арқылы алынған механизмдер синтез есебінде бірқалыпты жуықтаудың әдетте ең жақсы жуықтауы болып табылады. Пусть, например, приближающая функция есть обобщенный полином (19.12), содержащий n+1 неизвестных коэффициентов . Мысалы, жуықтаушы функция n+1 белгісіз коэффициенттің (19.12) жалпылағаң полиномы болсын. Число предельных отклонений L примем на единицу большим числа неизвестных коэффициентов. Белгісіз коэффициенттердің сандарын, L шекті ауытқулардың санынан бірге көп деп қабылдаймыз . Тогда получим систему n+2 уравнений, выражающих условие, что в точках предельных отклонений величина отклонения равна : Онда n+2 теңдеулер жүйесін аламыз, нүктелерінде шекті ауытқулардың ауытқу мөлшері тең деп деп алсақ онда мынашарт шығады. (19.25) И систему n+2 уравнений, выражающих равенство нулю производной отклонения от заданной функции по аргументу х в точках предельных отклонений: Және n+2 теңдеулер жүйесін аламыз, ол берілген функциялардың ауытқууларының аргументтеріндегі шекті ауытқулардың туындыларының нөлге тең екендігін көрсетеді: (19.26) где штрихами обозначены производные по x. Штрихпен берілгендер x-тың туындысы. Общее число уравнений (19.25) и (19.26) равно 2n+4. (19.25) және (19.26) теңдеулердің жалпы саны 2 n +4 тең. Число неизвестных также равно Сонымен қатар белгісіздердің санына 2n+4 ( ). Однако решение этой системы затруднительно, и поэтому прибегают к методу последовательных приближений, заключающемуся в том, что решается только система n+2 уравнений (19.25), считая, что значения аргумента в точках предельных отклонений известны. Бірақ бұл жүйені есептеу қиын, сондықтан біртіндеп жуықтау әдісін қолданамыз. Онда n+2 (19.25) теңдеулер жүйесін шектік ауытқу нүктесінде аргументтерініңмәнін белгілі деп есептейміз. Выбрав некоторую комбинацию предлагаемых значений точек предельного отклонения и определив неизвестные коэффициенты из системы уравнений (19.25), вычисляют величины отклонений от заданной функции. Шекті ауытқулар нүктелерінің ұсынылып отырған мәндерінің кейбір комбинацияларын таңдап алып және (19.25) теңдеулер жүйесінен белгісіз коэффициенттерді анықтап, берілген функциялар ауытқуларының шамаларын есептейміз. Если предельные отклонения оказались не равными , то надо выбрать новую комбинацию точек . Егер шекті ауытқулар тен болмаса, онда нүктелердің жаңа комбинацияларын таңдау керек. Выбор этих точек производят так, чтобы в одной из них достигалось наибольшее по абсолютной величине значение отклонения, а во всех остальных –значения, возможно большие по абсолютной величине. Осы нүктелерді таңдау ауытқудың ең үлкен абсолюттік мәні бойынша жүзеге асады,онда қалғандары абсолют болған жағдайда. Кроме того, знаки отклонений в выбранных точках должны чередоваться. Сонымен қатар, ауытқулардың таңбалары таңдалған нүктелерде алмасуы тиіс. Для новых значений вычисляются величины коэффициентов и процесс последовательных приближений повторяют до тех пор, пока не будет достигнуто равенство предельных отклонений с последовательно чередующимися знаками. жаңа мәні үшін коэффициенттерінің шамалары есептеледі және біртіндеп жуықтау процесі,қайталана береді шекті ауытқулары алмасушы таңбамен шекті мәнге жнткенше. Этот метод вычисления равномерного приближения называется также методом уравнивания отклонений. Осы бірқалыпты жуықтау есептеу әдісі,бұл әдісті сонымен қатар ауытқулардын теңестіру әдісі деп те атайды. Быстрота сходимости процесса уравнивания отклонений определяется удачным выбором системы точек в первом приближении. Ауытқулардың теңестіру процесінің жинақтылық тездігі, бірінші жуықтың нүктелер жүйесінің сәтті таңдауымен анықталынады. Если отклонение от заданной функции характеризуется разностью ординат, то рекомендуется выбрать точки предельных отклонений по формуле Чебышева. (19.27) Егер берілген функцияның ауытқуы ординатасының айырымымен сипатталса, онда Чебышев . формуласымен шекті ауытқу нүктелерін таңдауға болады (19.27) Несколько лучший результат дает формула, которая учитывает не только число точек предельного отклонения и длину участка приближения, но и в некоторой мере форму графика заданной функции (19.28) (19.28) Ақырлы ауытқулардың нүктелері мен жуықтаулардың аймағының ұзындығын және сонымен қатар берілген функцияның пішінін беретін формула ең жақсы нәтижені береді. где —длина дуги графика заданной функции, измеряемая от начала участка приближения до l-ой точки предельного отклонения, s—длина дуги графика заданной функции на участке приближении. - берілген функцияның графигінің доға ұзындығы (жуықтау учаскесінің басынан l-ші шекті ауытқу нүктелерге дейін өлшелінеді), , s - берілген функциянын графигінің жуықтау учаскесінің доға ұзындығы. Положение точек предельного отклонения при вычисления по формулам (19.27) и (19.28) достаточно определить с точностью до двух или трех значащих цифр (19.27) және (19.28) формуларымен шекті ауытқулар нүктелерінің орындарын есептегенде, екі немесе үш мәнді цифрлар дәлдігімен анықталуы жеткілікті Поэтому определение длины дуги s может быть выполнено графически путем замены дуги s ломаной. состоящей из хорд, мало отличающихся от стягиваемых ими дуг. Сондықтан графикалық мүмкін орындалатын доғаларынды сынған сызықтармен ауыстыру жолымен s доға ұзындығын анықтайьыз. жүктеу/скачать 1,65 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|