Методикалық нұсқау

Р(А)=1-Р(Ā)=1-≈0,51.

6- мысал. Лақтырылған екі куб ұпайларының қосындысы 11-ден кем емес оқиға ықтималдығын анықта.

Шешуі. Куб ұпайларының қосындысы 11 болуы А оқиғасы болып, 12 болуы В оқиғасы болсын. Ал 11-ден кем болмауы С оқиғас дейік. (таблица жасауды оқырмандарға қалдырамыз).

Сонда С=А+В

Сонымен қатар Р(С) =Р(А)+Р(В).

Таблица бойынша Р(А)=2/36, Р(В)=1/36

Сонда Р(С)==1/12

7-мысал. Жәшікте бірдей 20 шар бар. Оның 7-еуі қызыл түсті, 8-і көк түсті. Жәшіктен қалаған бір шар алынды. Оның түсті /не қызыл , не көк түсті/ шар болу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі. Тең мүмкіндікті, үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құрайтын элементар оқиғалар саны n=20. Қызыл түсті шар шығуын А оқиғасы, көк түсті шар шығуын В оқиғасы десек, онда А үшін қолайлы элементар оқиғалар m₁=7,В үшін қолайлы элементар оқиғалар m₂=8 болады. Сонда С оқиғасының болу ықтималдығы Р(С)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В)==0,75 не 75%

§5 КОМБИНАТОРИКА ҰҒЫМЫ,

Класикалық анықтамаға негізделген ықтималдықтарды, Р(А) = , есептеу-А оқиғасының пайда болуына қолайлы элементар оқиғалар саны m-ді және барлық элементар оқиғалар саны n-ді табуға келіп тіреледі. Ықтималдықтар теориясында m мен n мәндері, ілгеріде көрсетілгендей, оп-оңай анықтала бермейді. Бұларды табу үшін қайсы бір жиын элементтерін түрліше алу тәсілдерін қарастыруға тура келеді. Мысал келтірейік. Жәшіктегі әріптер жиыны а,в,с элементтерден құралған десек, онда бұл жиыннан әріптерді:

1/бір-бірден 3 тәсілмен аламыз, олар: а,в,с

2/ екі-екіден 6 тәсілмен аламыз, олар:

ав, ва, са

ас,вс , св

3/ үш-үштен 6 тәсілмен аламыз, олар:

авс, вас, сав

асв, вса, сва

Мұндағы алынған әріп тіркестерінің бір-біріене айырмасы не элементтерінде , не элементтерінің орналасу ретінде болып отыр.

Мұндай тіркестер- жиын элементтерінің комбинациясы /қосылысы/ болады.

Сонымен, шешуі «нешеу», «неше т тәсілмен» деген сұраулардың қажет ететін есептер комбинаторлық математика деп аталады.

Математиканың бұл саласы соңғы жылдары жедел қарқынмен дамып келеді. Кейінгі жылдары комбинаториканың практикада кең қолданыс табуына электрондық есептегіш техниканың дамуы, шектеулі математика рөлінің артуы, ықтималдықтар теориясы мен математикалық статистиканың практикалық маңызының күннен-күнге артуы негізгі себеп болып отыр.

Комбинаториканы пайдаланып оқиға ықтималдығын анықтау, іріктемені жиыннан алу тәсіліне байланысты. Мұны түсіндіруді мысалдан бастайық.

1-мысал. Елімізде автомашиналардың серияларын анықтау ісімен мемлекеттік автоинспекция шұғылданады. Олар екі, үш әріптен неше комбинация /қосылыс, тіркес/ жасайтынын білу керек.

Бұл фактіні байланыс қызметтері де, кодалау мамандарыда білуге тиіс. Сонымен, орыс алфавитіндегі32 әрптен үш әріптен құралатын комбинациясын /тіркес, қосылыс/ неше тәсілмен жасауға болады?

Шешуі.Бұл есепті шешу әріптер жиынынан үш әріп комбинациясына қойылатын талапқа байланысты. Түсінікті болу үшін бұл әріптердің әрбіреуін формасы бірдей жеке карточкаларға жазайық.

Сөйтіп, оларды топтастырайық, яғни бір колада етейік. Сонда, колодағы карточкалар жиын болады. Әріптнрді колодан екі түрлі жолмен іріктеп алуға болады.

Біріншісі /қайталанбайтын іріктеме/. Бірінші алынатын әріп колодағы 32 әріптің бірі болады, яғни оны 32 тәсілмен алуға болады. Ал, екінші әріп колодада қалған 31 әріптен алынады. Сонда шығатын әр түрлі екі әріпті тіркестер /комбинациялар/ саны-32*32=992 болады. Бұл екі әріпті тіркестердің әрқайсысы үшінші алынатын әріппен тіркесіп, үш әріпті тіркес құрайды. Сонда олар 32 31 30=29760 тәсілмен алынады. Бұл жағдайда әрбір үш әріпті тіркестегі әріптер түрліше болып кездеседі.

Екіншісі /қайталанатын іріктеме/. Бірінші алынған әріп таңбасы белгіленген соң, ол колодаға қайта салынады. Сонда екінші алынатын әріп те колодадағы 32 әріптің бірі болады. Олай болса, екі әріпті тіркестерді

32*32=

Тәсімен алуға болады. Осы сияқты үш әріпті

32*32=*32=32768

Тәсілмен жасалады. Бұл жағдайда үш әріпті тіркестердің жасалуына ешқандай шек қойылмайды, яғни мұнда әрбір әріп бір тіркестің ішінде екі, үш рет қайталанып келуі мүмкін.

Сонымен, 32 әріптен үш үштен алу іріктеме /выборка/ болып табылады. Бірінші жолы колодадан қай әріп алынатыны белгіленгеннен кейін колодаға ол қайта салынған жоқ. Сондықтан іріктемені қайталанбайтын іріктеме деп атаймыз. Іріктеме саны 29760.

Екінші жолы колодадан алынған әріп белгілеп алынғаннан кейін ол қайтадан колодаға салынады. Сонда екінші әріп колодадағы 32 әріптің ішінен алынады. Үшінші әріпті алғанда да өзгермейді. Сондықтан бұлайша іріктеуді қайталанатын іріктеме деп атайды. Бұл жағдайда іріктеме саны 32768. Ал, элементтері алынып отырған жиындағы жиын, яғни 32 әріп жиыны, бас жиын болады. Әдетте, бас жиындағы әріптер сол жиын элементтері болады.

Бұл мысалдардың екеуінде де комбинация санын анықтағанда көбейтудің мынадай ережесін байқау қиын емес.

Көбейту ережесі. Егер А жиыны а₁, а₂,…., а_n яғни m элементтен, ал В жиыны в₁, в₂,.…, в_n элементтен құралатын болса / бұл екі жиын бір жиыннан алынуы да мүмкін/, онда әрқайысының бір-бір элементтен алынған әр түрлі /а_i,в_j/ комбинация саны mk болады /i=1,2,…, m,j=1,2,…,k/.

Шынында, бұларды /а_i,в_j/ түрінде m горизонталь және k вертикаль жолдардан тұратын мына таблицаға орналастыруға болады:

Бұл таблицадағы әрбір /а_i,в_j/ тек бір реттен ғана кездеседі. Олардың /ұялардың/ барлық саны-mk. Бұл ереже жиын саны екіден артық болғанда да орындалады. Мысалы, элементтер саны сәйкес m,k,h, сандарына тең болады А{ а₁, а₂,…., а_m }, В{ в₁, в₂,.…, в_k}, С{ с₁, с₂,…., с_h} үш жиын берілсін. Әр жиыннан тек бір элемент ғана алынған әр түрлі /а_i,в_j,с_k/ үш элемент комбинациясын жасауға болады, мұндағы i=1,2,…,m, j=1,2,…,k және l=1,2,….,h. Олардың саны m,k,h, өйткені А және В жиындарынан алынған әрбір /а_i,в_j/ пары үшінші жиынның әрбір элементі мен комбинациялянады. Бұл комбинация саны, әрине, (m,k)h=mkh санына тең. Енді комбинаторикалық есептерді шешуге және ықтималдықтар теориясының есептерін шешуге қажетті бірнеше формулаларды қорытудың қажеттігі туады. Бұл формуладан екі түрлі жағдайда қарастырылады. Біріншісі қайталанбайтын іріктеме үшін болады.

Қайталанбайтын іріктеме үшін комбинаторика формулалары 9-шы класс математикасында қолданылған. Бұл формулаларды және оларға тиісті есептерді шығаруды ұсына отырып, ықтималдықтарды есептеуге арналған мысалдарды келтіреміз.

§6.ҚАЙТАЛАНБАЙТЫН ІРІКТЕМЕЛЕР ҮШІН КОМБИНАТОРИКА ФОРМУЛАЛАРЫ.

1. 
   Орналастырулар.
   
2. 
   Алдыңғы параграфтағы 1-мысалдың бірінші шешуінде орыс алфавитінен үш әріп комбинациялары
   

еді. Алфавит N әріптен тұрса, онда әрқайсысы үш әріптен тұратын комбинациялар саны

N(N-1)(N-2)

болар еді. Ал енді 3 әріп орнына әрқайсысы k әріптен тұратын комбинация құрсақ, олар

N(N-1)(N-2)….[N-(k-1)]

тәсілмен табылады. Бұл өрнек N элементтен әрқайысы k-дан жасалған орналастчрулар саны делінеді. Бұл орналастырулардың әрқайсысына N элементтің ішінен k элемент еніп, олардың айырмашылықтары не элементтерінде / мысалы, ав, ас, mm/, не элементтерінің орналасу ретінде / мысалы, ав және ва, вс және св т.т/ болады. Мұны А^k_n символімен белгілейік. Сонда А^k_n = N(N-1)(N-2)….[N-(k-1)]. (1)

Яғни

Мұнда N!-эн факториял деп оқылады, ол 1-ден N-ге дейінгі натурал сандардың көбейтіндісіне тең, яғни

N!=1*2*3*…..*N, (3)

немесе N!=N(N-1)(N-2)…3*2*1

1-мысал. Е,К,М,Н,Т,Ш,Ы әріптері бірдей карточкаларға жазылып, бір колодаға салынған. Оларды әбден араластырып, бір-бірден /не бірден/ төрт карточка аламыз. Сонда: а/7әріптен төрт-төрттен неше тәсілмен алуға болады, ә/ алынған 4 әріпті қатарынан тізіп қойғанда «КЕНТ» сөзінің пайда болу ықтималдығын есептеу керек.

Шешуі:а/ Колодадан алынған бірінші карточка сондағы 7 карточканың бірі, яғни бірінші карточканы 7 тәсілмен алуға болады. Екі карточканы 7,6 тәсілмен алуға болады, өйткені бірінші карточка алынғаннан кейін екіншісін колодадан қалған 6 карточканың ішінен алады. Оның үстіне, әрбір бірінші әріп әрбір екінші әріппен 7,6 рет комбинация 7,6,5 тәсілмен, 4 әріптен алынатын комбинация 7,6,5,4 тәсілмен құралады. Есеп шарты бойынша N=7,k=4, енді /1/ формуланы пайдалансақ:

А⁴_7­­­­=7*6*5*4=840

немесе