Методикалық нұсқау

Қайталамалы орналастырулар.

Осы уақытқа дейін элементар жиыннан орналастырулар жасағанда одан алынған элемент жиынға қайыра енбейтін еді, ондай орналастырулар қайталанбайтын орналастырулар болады. Біз енді қайталамалы орналастыруларды, яғни жиыннан алынған элемент сол жиынға қайыра енетінін қарастырамыз, мысалдар келтірейік.

1-мысал: 1,2,3 цифрларынан екі таңбалы неше сан жазуға болады?

Шешуі. Бұл есепті екі тәсілмен шешуге болады. Бірінші тәсіл: цифрлары қайталанбайтын әр түрлі екі таңбалы сандарды тәсілмен жасаймыз, олар:

12 21 31

13 23 32

11 21 31

13 23 33

3*3= =9

Тәсілмен аламыз. Бұл мысалды әрі қарай да кеңейте беруге болады.

2-мысал. Осы 1,2,3 цифрларынан қайталамалы орналастырулар тәсілімен үш таңбалы, K таңбалы неше сан құруға болады?

Енді есептің шартын өзгертіп, яғни берілген 1,2,3 цифр орнына 1,2,3...,N цифрды алайық. Сонда N цифрдан әр түрлі екі цифрлы сандарды N*N= тәсілмен, әр түрлі үш цифрлы сандарды тәсілмен, ал K цифрлы әр түлі сандарды тәсілмен құруға болады. Сонымен, мынадай қорытындыға келеміз:

Элементтері қайталанып келетін N элементтен K-дан алынған орналастырулар

Формуласымен өрнектеледі. Мұны қайталамалы орналастырулар немесе қайталамалы іріктеме

Формуласы деп аталады. Қайталанбайтын орналастырулар мен салыстыруларды айтқанда іріктеме көлемі Kболатын. Ал, элементтері қайталанатын орналастырулар мен алмастырулар үшін KN болуы мүмкін. Бұл факт жоғарыда келтірілген мысалдан айқын көрініп тұр.

3-мысал. Соғылатын телефонның номері 4 цифрдан құралған. Ол номердің: а. Барлық цифрлары әр түрлі болып келу ықтималдығын, ә. Барлық цифрларының жұп болып келу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі: а. 4 таңбалы нөмердің әр цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 цифрларының кез келгені болуы мүмкін. Олай болса, әр түрлі төрт таңбалы нөмрлердің барлық саны болады. Олар 0000-ден 9999-ға дейінгі нөмірлер саны. Бұлардың ішінде бізге қажеттісі –цифрлары әр түрлі төрт таңбалы сандар, олар 10 цифрдан 4тен алынған орналастырудың санына тең, яғни

=10*9*8*7

бұл- оқиғаның пайда болуына қолайлы жағдайлар саны. Оқиғалардың барлық тең мүмкіндікті, қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құрайтын элементар оқиғалардың жалпы саны

n=

демек, оның ықтималдығы

P(A)=

Ә. 2,4,6,8 төрт жұп нөмірден әр түрлі төрт таңбалы нөмір құрастыруға болады, бұл оқиғаның пайда болуына қолайлы жағдайлар саны -тең . олай болса оның ықтималдығы

P(A)=

4-мысал. Дөңгелек стол басында отырған 12 адамның туған жылдары қазақша бір мүшел деп аталатын 12 жыл ішінде болсын дейік. Осы 12 адамның әрқайсысының туған жылы а. 12жылдың әрбір жылына келу ықтималдығын анықтау керек. Б. Үшеуінің бір жылда, қалғандарының әр жылда туылу ықтималдығын анықта. В. Екеуінің январь айында, үшеуінің май айында, қалғандарының әрбір айда туылу ықтималдығын анықта.

Шешуі. 12 адамның әрқайсысынан сурадық дейік. Сонда бірінші отырған адамның туған жылы 12 жылдың бірі болуы мүмкін, яғни бірінші сұралған адамның туған жылы туралы 12 түрлі тең мүмкіндікті нәтижелер шығады. Екінші адамның да туған жылы сол 12 жылдың бірі. Бірінші адамның туған жылы жайлы табылған тәтижелер екінші адамның әрбір мүмкін болатын туған жылымен комбинацияланып келеді. Сонда екі адамнан сұрай келе туған жылдар туралы.

12*12=

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _

1. 
   Қазақша жыл қайыру мүшел деп аталады да, әрбір 12 жылда қайталанып отырады. Олар:
   

1. 
   Тықшқан
   
2. 
   Сиыр
   
3. 
   Барыс
   
4. 
   Қоян
   
5. 
   Ұлу
   
6. 
   Жылан
   
7. 
   Жылқы
   
8. 
   Қой
   
9. 
   Мешін
   
10. 
    Тауық
    
11. 
    Ит
    
12. 
    Доңыз
    

Тең мүмкіндікті нәтижелер шығарып аламыз. Ал үш адаммен сұрасақ, тең мүмкіндікті нәтижелер т.т. табамыз. Ал 12 адамнан түгел сұрағанда барлық тең мүмкіндікті нәтижелер /элементар оқиғалар/ саны

n=

болады.

А. Енді осылардың ішінде туған жылдары әр түрлі болуға қолайлы нәтижелер саны m-ді есептейік.

Бірінші адамның туған жылы сол 12 жылдың кез келген бірі, ал екінші туғаг жылы болса, бос 11 жылдың бірі болады, үшінші адамның туған жылы қалған 10 жылдың бірі болады т.т. ең соңғы адамның туған жылы қалған жылға келеді. Бұлар бір бірімен комбинаияланып келетіндіктен, қолайлы нәтижелер саны мынаған тең:

m=12*11*10….2*1=121

демек, ықтималдығы P(A)=

ә/ үш адам туылған жылы 12 жылдың әрқайсысына тәсілмен орналасуы мүмкін. Қалған 9 адамның туылған жылы 12 жылдың әрбір жылына 12, 11... 4 тәсілмен орналастыруға болады.