Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:
Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).
Пример 7
Найти производную функции ![](data:image/png;base64,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)
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Вот характерный пример:
Пример 8
Найти производную функции ![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAEYAAAAhCAMAAABTAS1UAAADAFBMVEUAAAD////8A/sAAAD///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////9tJ4B9AAAAA3RSTlP//wDXyg1BAAAAjUlEQVR4nO2TgQqAIAxED///oyOtuXKWN0cENdAxhcdtnkiuwE09BkEIJkjNj/kapvGfU03DfRsm99l8Nl5N4eRqCxcmSzKuCOYFxiD2o2DACzDUTL8XZJvGBHgHCHGgZ54WJgLyPGbvXlLNxHxRl0rCZTDJ/DuU804YZfwpjDphm7JmU+tBzuGldLWuBbcHEN81VMN8AAAAAElFTkSuQmCC)
Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:
Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:
Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.
Используем наше правило :
Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:
Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть.
Пример 9
Найти производную функции ![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAFUAAAAhCAMAAACfmBe/AAADAFBMVEUAAAD////8A/sAAAD///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////9tJ4B9AAAAA3RSTlP//wDXyg1BAAAAtElEQVR4nO2U0QrAIAhFL/3/Rw+sJHXTKHsYJGwVm2d61aEsGpYfOm44QT0T66Ve6iGqPwbLsfrf/BeVFPL/FgvUhqVTswwqBbwLmqViwyoVEpQT6z5GEsC3LahicPkTwMMBSeVX1APQrD6F1TUBqlL2qWjDDLBW3Z8XI2hUqo4E74vdKgJmugrdr0/fsLwO+sQA1GQcqh3LmDrm+EG1PRUqAKVArOvwxjeVKiqLL3vAtEC9HlBfFCOsnj+GAAAAAElFTkSuQmCC)
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.
Пример 10
Найти производную функции ![](data:image/png;base64,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)
Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?
Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:
Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :
И, наконец, семерку возводим в степень :
То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.
Начинаем решать
Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:
Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени:
Теперь все просто, находим по таблице производную арксинуса и немного «причесываем» выражение:
Готово.
Пример 11
Найти производную функции ![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAFsAAAARCAMAAACFKyChAAADAFBMVEUAAAD////8A/sAAAD///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////9tJ4B9AAAAA3RSTlP//wDXyg1BAAAAqElEQVR4nK2UURKDMAhE3/T+h+5kqEjMElDrj0aWB26IfJoXdJVnSl93G34j4a9s5HLcKBzCVBvBHIvoKpHSROYF/o4lKjJps/nZgIymbMxBqeASYH4cBZPMyOXoDt8o3DnBPjSy/ZOd+c66a1wfvERs6h17qbHpW5bP2QFdepJW12yfmGyIZ0+UwD5hPoNhyy1bjomNQHHEdEdNJfvj8xxO/dd5Ch+qL0e5CrsikBJ/AAAAAElFTkSuQmCC)
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
На практике правило дифференцирования сложной функции почти всегда применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования.
Пример 12
Найти производную функции ![](data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAMsAAAARCAMAAABEgKhIAAADAFBMVEUAAAD////8A/sAAAD///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////9tJ4B9AAAAA3RSTlP//wDXyg1BAAABQUlEQVR4nM1Xiw4DIQhr7v8/elsUAaHKvZKZLHFebSmgu+G4PACUkddVTox7KrXduCtTHLdEfpu/OS9w/JGXvJ3aImsg0C9FdSDkCRFh5EtewID0QdHKSr0lahUgJu6ylxSJSY3wkojS5VCIXYQnveTIVt6CF5Abb+9lUfcEj17p/bXZUBinhNTJThROCBFR8AjH1fsgtm+jGD5kDSSLfU3Pe8HLMkUm5xZlp9DmFheYpQ2FAqOYNQa3Nas9LN7DM0YLQ0bhhYbuJI0EWO3Kgaf3WpAgjEmi4g6NXJpn72VUKu8xE6McmzzAabL7HUVEMS9iJPcCc/qWilplw1Wpy7beSVckB9sZ8drapLDolWQvlnxoYaZGp724QGk63NHr+tAb67APD3mX2lm5Mp7jrDPVXg1fDeExnvqfkBeDeIjlAxLhGB9MpBOXAAAAAElFTkSuQmCC)
Сначала используем правило дифференцирования суммы , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу :
В обоих слагаемых под штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило :
Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные функции , . Каламбур, но это простейшие из сложных функций, и при определенном опыте решения производных Вы будете легко находить их устно.
А пока запишем подробно, согласно правилу , получаем:
Готово.
Достарыңызбен бөлісу: |