Негізгі қасиеттері

• 11.4. Интеграциялаудың
• негізгі қасиеттері

• 1. Тікелей интегралдау

• Тікелей интегралдау деп кестеде келтірілген анықталмаған интегралдар мен анықталмаған интегралдардың негізгі қасиеттерін қолданып алғашқы функцияларды табу.

• Мысалдар.

• Интегралды анықтау:

• 1

• Шешуі :

• 2

• Шешуі :

• 3

• Шешуі :

• 2. Айнымалыны алмастыру
• немесе ауыстыру әдістері

• Айнымалыны алмастыру әдісі келесі формула түрінде жазылады:

• 1

Айнымалыны алмастыру әдісі

• Қарастырылған аралықта дифференциалданатын х=φ(t) – функциясы.

• Осы формуланың әділдігін көрсетейік. Оң жағына сол жағынан t-ға қатысты туындыны тауып көрейік (1):

• Бірдей нәтиже алдық, демек Лагранжа теоремасының нәтижесінде өрнектің сол және оң жағы (1) кейбір тұрақтылыққа ажыратылады.

• Анықталмаған интегралдар өздері еркін тұрақты мерзімге дейін анықталғаннан бастап,содан кейін осы тұрақтыны төмендетуге болады.

• Алынған формула жаңа айнымалыға көшу кезінде, интеграл астындағы өрнектің айнымалысын ауыстыру жеткілікті.

• Айнымалыны ауыстыру бастапқы интегралды жеңілдетуге мүмкіндік береді және кейбір жағдайларда кестелік түрге әкеледі.

• Мысалдар .

• Интегралды анықтау:

• 1

• Шешуі :

• 2

• Шешуі :

• Теорема.

• F(x)функциясы – кейбір f(x)функциясы үшін алғашқы функция.
• Сонда

• Мысалдар .

• Интегралды анықтау:

• 1

• Шешуі :

• 2

• Шешуі :

• 3Бөліктеп интегралдау

• u(x) және v(x) функциялары бір Х аралығында анықталған дифференциалданатын функциялар болсын,сонымен қатар осы аралықта
• функциясының алғашқы функциясы бар болсын.

• Теорема.

• .

• Х аралығында
• функциясының да алғашқы функциясы бар және төмендегі формула орындалады.

• Сонда

• Дәлелдеу:

• Функцияның туындысын табайық :

• Осыдан, өрнектін оң жағындағы екінші өрнегін табайық:

• Өрнектің оң жағы Х аралығында теореманың шарты бойынша алғашқысына ие ,демек, өрнектің сол жағы да алғашқысына ие және теңдікті интегралдау кезінде,келесіге ие болады :

• Демек,

• Онда, соңғы теңдік келесідей түрде жазылады:

• Бөліктеп интегралдау
• формуласы

• мысалдар.

• Интегралды анықтау:

• 1

• Шешуі :

• 2

• Шешуі :

• 3

• Шешуі :

• Бөліктеп интегралдау формуласын интегралдардың келесідей түрлерінде қолдануға болатынын көрсетеміз:

• a, m, k – нақты сандар, n – бүтін оң сон.