Ногах и руках будут исчерпаны

жүктеу/скачать 300,21 Kb.

бет	1/2
Дата	05.05.2023
өлшемі	300,21 Kb.
	#176158

1 2

Байланысты:
ТЗКИИИИИ

Степень двойки Десятичное Восьмеричное

₆₄Глава восьмая

Даже когда пальцы на ногах и руках будут исчерпаны, счет в восьмеричной системе можно продолжать. В целом он идет, как и счет в десятичной системе, но без чисел, содержащих цифры 8 и 9:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21,
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 30, 31, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37,
40, 41, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56,
57, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76,
77, 100...
Последнее число — 100 — есть число пальцев мультяшки, ум- ноженное само на себя.
Чтобы избежать путаницы при написании восьмеричных и десятичных чисел, будем указывать тип системы в нижнем индексе. Индекс ДЕСЯТЬ будет означать десятичную систему, а ВОСЕМЬ — восьмеричную.
Итак, число гномов, которых встретила Белоснежка, равно ⁷ДЕСЯТЬ ^или⁷ВОСЕМЬ^.
^Чис^л^о^{пальцев}^на^руках^м^у^ль^т^яшек^равно⁸ДЕСЯТЬ ^или¹⁰ВОСЕМЬ^.^Чис^л^о^{симфоний}^,^{написанны}^х^Бет^х^овеном^,^равн^о⁹ДЕСЯТЬ ^или
¹¹ВОСЕМЬ^.
^Чис^л^о^{пальцев}^на^руках^че^л^овека^равно¹⁰ДЕСЯТЬ ^или¹²ВОСЕМЬ^.^Чис^л^о^{месяцев}^в^г^о^ду^равно¹²ДЕСЯТЬ ^или¹⁴ВОСЕМЬ^.
^Чис^л^о^дней^в^двух^не^д^елях^равно¹⁴ДЕСЯТЬ ^или¹⁶ВОСЕМЬ^.^Чис^л^о^ки^л^{ограммов}^в^п^у^д^е^равно¹⁶ДЕСЯТЬ ^или²⁰ВОСЕМЬ^.^Чис^л^о^часов^в^сутках^равно²⁴ДЕСЯТЬ ^или³⁰ВОСЕМЬ^.
^Чис^л^о^б^укв^в^л^а^тинс^к^ом^{алфавите}^равно²⁶ДЕСЯТЬ ^или³²ВОСЕМЬ^.^Чис^л^о^зубов^у^взрос^л^о^г^о^че^л^овека^равно³²ДЕСЯТЬ ^или⁴⁰ВОСЕМЬ^.^Чис^л^о^карт^в^к^о^л^о^д^е^равно⁵²ДЕСЯТЬ ^или⁶⁴ВОСЕМЬ^.
^Чис^л^о^клеток^на^шахм^а^тной^д^ос^к^е^равно⁶⁴ДЕСЯТЬ ^или¹⁰⁰ВОСЕМЬ^.^Чис^л^о^{созвездий}^на^небе^равно⁸⁸ДЕСЯТЬ ^или¹³⁰ВОСЕМЬ^.
^Чис^л^о^{сантиметров}^в^метре^равно¹⁰⁰ДЕСЯТЬ ^или¹⁴⁴ВОСЕМЬ^.Число женщин-одиночек в начале Уимблдонского турни-
^ра^равно¹²⁸ДЕСЯТЬ ^или²⁰⁰ВОСЕМЬ^.
^П^л^ощадь^{Мемфиса}^в^квадр^а^тных^милях^равна²⁵⁶ДЕСЯТЬ ^или⁴⁰⁰ВОСЕМЬ^.
В этом списке обратите внимание на красивые круглые ^{восьмеричны}^е^числа^,^{например}^,¹⁰⁰ВОСЕМЬ^,²⁰⁰ВОСЕМЬ ^и⁴⁰⁰ВОСЕМЬ^.^Кра-сивым круглым числом мы обычно называем число с нулями на конце. Два нуля на конце десятичного числа означают, что оно
^кр^а^тно¹⁰⁰ДЕСЯТЬ ⁼¹⁰ДЕСЯТЬ ^×¹⁰ДЕСЯТЬ^.^В^{восьмеричной}^{системе}^дваАльтернативы десяти ₆₅

^н^у^л^я^н^а^к^онц^е^озн^а^чают^,^чт^о^чис^л^о^кр^а^тн^о¹⁰⁰ВОСЕМЬ ⁼¹⁰ВОСЕМЬ ^×
^×¹⁰ВОСЕМЬ ^(т.^е.⁸ДЕСЯТЬ ^×⁸ДЕСЯТЬ ⁼⁶⁴ДЕСЯТЬ^).
Заметьте также, что все десятичные эквиваленты круглых ^{восьмеричных}^чисел,^а^именно⁶⁴ДЕСЯТЬ^,¹²⁸ДЕСЯТЬ ^и²⁵⁶ДЕСЯТЬ^,^{явля- ются}^{степенями}^{двойки.}^В^этом^есть^смысл.^Чис^л^о⁴⁰⁰ВОСЕМЬ^,^на-^{пример,}^равно^{произве}^д^ению^чисел⁴ВОСЕМЬ^,¹⁰ВОСЕМЬ ^и¹⁰ВОСЕМЬ^,^к^а^ж-дое из которых является степенью двойки. Естественно, при умножении степени двойки на степень двойки, мы опять-таки получаем степень двойки.
В таблице некоторые степени двойки показаны в десятич- ном и восьмеричном представлении.

Степень двойки Десятичное	Восьмеричное
2⁰ 1	1
2¹ 2	2
2² 4	4
2³ 8	10
2⁴ 16	20
2⁵ 32	40
2⁶ 64	100
2⁷ 128	200
2⁸ 256	400
2⁹ 512	1000
2¹⁰ 1024	2000
2¹¹ 2048	4000
2¹² 4096	10000

Красивые круглые числа в крайнем правом столбце указыва- ют на то, что при работе с двоичными кодами удобны недеся- тичные системы счисления.
По способу построения чисел восьмеричная система не от- личается от десятичной за исключением некоторых тонкостей. Например, каждой позиции в восьмеричном числе соответ- ствует цифра, умноженная на степень восьми.
₆₆Глава восьмая

Количество единиц Количество восьмерок Количество 64
Количество 512
Количество 4 096
Количество 32 768

^{Например,}^{восьмеричное}^чис^л^о³⁷²⁵ВОСЕМЬ ^{раскладывается}^так:
³⁷²⁵восемь ⁼³⁰⁰⁰восемь ⁺⁷⁰⁰восемь ⁺²⁰восемь ⁺⁵восемь
Затем выделяем круглые числа:
³⁷²⁵ВОСЕМЬ ⁼³^×¹⁰⁰⁰ВОСЕМЬ ⁺
⁷^×¹⁰⁰ВОСЕМЬ ⁺
²^×¹⁰ВОСЕМЬ ⁺
⁵^×¹ВОСЕМЬ
или в десятичном представлении:
³⁷²⁵ВОСЕМЬ ⁼³^×⁸³⁺
7 × 8²+
2 × 8¹+
5 × 8⁰
Заменяем степени восьмерки их десятичными значениями:
³⁷²⁵ВОСЕМЬ ⁼³^×⁵¹²ДЕСЯТЬ ⁺
⁷^×⁶⁴ДЕСЯТЬ ⁺
²^×⁸ДЕСЯТЬ ⁺
⁵^×¹ДЕСЯТЬ
^Вып^о^лнив^д^{есятичное}^с^л^о^ж^ение,^п^о^лучаем²⁰⁰⁵ДЕСЯТЬ^.^Именнотак восьмеричные числа преобразуются в десятичные.
Восьмеричные числа складываются и умножаются точно так же, как и десятичные. Единственное отличие — в исполь- зовании других таблиц сложения и умножения. Таблица сло- жения восьмеричных чисел приведена на стр. 67.
^{Например,}⁵ВОСЕМЬ ⁺⁷ВОСЕМЬ ⁼¹⁴ВОСЕМЬ^.^{Восьмеричные}^числа^м^о^жноскладывать и столбиком.
135
+ 643

1000
Альтернативы десяти ₆₇

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	10
2	2	3	4	5	6	7	10	11
3	3	4	5	6	7	10	11	12
4	4	5	6	7	10	11	12	13
5	5	6	7	10	11	12	13	14
6	6	7	10	11	12	13	14	15
7	7	10	11	12	13	14	15	16

Начнем с правого столбца: 5 плюс 3 равно 10. Пишем 0, а 1
переносим. 1 + 3 + 4 = 10. Пишем 0, 1 переносим. 1 + 1 + 6 = 10. Великое равенство 2 × 2 = 4 выполняется и в восьмеричной системе. А вот произведение двух троек равно не 9. А чему же?
^{Оказывается,}³^×³⁼¹¹ВОСЕМЬ ⁼⁹ДЕСЯТЬ^.^Вот^как^вы^г^лядит^{таблица}умножения в восьмеричной системе.

	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7
2	2	4	6	10	12	14	16
3	3	6	11	14	17	22	25
4	4	10	14	20	24	30	34
5	5	12	17	24	31	36	43
6	6	14	22	30	36	44	52
7	7	16	25	34	43	52	61

^В^данном^случае⁴^×⁶⁼³⁰ВОСЕМЬ^,^что^э^{квивалентно}^числу²⁴ДЕСЯТЬ^,равному 4 × 6 в десятичной системе.
₆₈Глава восьмая

Итак, восьмеричная система не менее обоснована, чем де- сятичная. Но мы на этом не остановимся. Теперь, когда мы построили систему счисления для мультяшек, поищем что- нибудь подходящее для раков. У раков нет пальцев, но есть клешни. Система счисления для раков основана на 4 и называ- ется четверичной.

1 2 ³¹⁰
Счет в этой системе происходит так: 0, 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13,
20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 100, 101, 102, 103, 110 и т. д.
Я не хочу уделять много внимания четверичной системе, так как нам пора двигаться к еще более важным вещам. По- смотрим лишь, как позиции в четверичном числе соответству- ют степеням четырех.
Количество единиц Количество четверок Количество 16
Количество 64
Количество 256
Количество 1024

Четверичное число 31 232 можно записать так:

³¹²³²чЕТЫРЕ ⁼³^×¹⁰⁰⁰⁰чЕТЫРЕ ⁺

^×¹⁰⁰⁰чЕТЫРЕ ⁺
^×¹⁰⁰чЕТЫРЕ ⁺
^×¹⁰чЕТЫРЕ ⁺

²^×¹чЕТЫРЕ
Альтернативы десяти ₆₉

так:

или так:

³¹²³²чЕТЫРЕ ⁼³^×²⁵⁶ДЕСЯТЬ ⁺

^×⁶⁴ДЕСЯТЬ ⁺
^×¹⁶ДЕСЯТЬ ⁺
^×⁴ДЕСЯТЬ ⁺

²^×¹ДЕСЯТЬ

³¹²³²чЕТЫРЕ ⁼³^×⁴⁴⁺
1 × 4³+
2 × 4²+
3 × 4¹+
2 × 4⁰

Проделав вычисления в десятичной системе, получаем, что ³¹²³²чЕТЫРЕ ⁼⁸⁷⁸ДЕСЯТЬ^.
Наконец, мы готовы взять последнее, самое серьезное пре- пятствие. Представим себе, что мы дельфины и должны на- учиться считать с помощью двух плавников. Теперь в нашем распоряжении всего две цифры: 0 и 1. Система счисления, ос- нованная на двух цифрах, называется двоичной.
Чтобы привыкнуть к двоичным числам, требуется некото- рая практика. Проблема в том, что цифры очень быстро за- канчиваются. Смотрите, как считает дельфин.

Да, в двоичной системе сразу после 1 идет 10. Это удивитель- но, но не так уж неожиданно. В любой системе счисления, ког- да заканчиваются одноразрядные числа, первым двухразряд- ным числом является 10. В двоичной системе мы считаем так:

₇₀Глава восьмая

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011,

1100, 1101, 1110, 1111, 10000, 10001...
Эти числа кажутся большими, но на самом деле таковыми не яв- ляются. Говоря точнее, двоичные числа не большие, а длинные.
^Чис^л^о^г^о^л^ов^у^че^л^овека^равно¹ДЕСЯТЬ ^или¹ДВА^.
^Чис^л^о^плавни^к^ов^у^д^{ельфина}^равно²ДЕСЯТЬ ^или¹⁰ДВА^.^Чис^л^о^чайных^л^о^ж^ек^в^ст^о^л^овой^равно³ДЕСЯТЬ ^или¹¹ДВА^.^Чис^л^о^сторон^у^квадр^а^та^равно⁴ДЕСЯТЬ ^или¹⁰⁰ДВА^.
^Чис^л^о^{пальцев}^на^ру^к^е^у^че^л^овека^равно⁵ДЕСЯТЬ ^или¹⁰¹ДВА^.^Чис^л^о^ног^у^насе^к^омо^г^о^равно⁶ДЕСЯТЬ ^или¹¹⁰ДВА^.
^Чис^л^о^дней^в^не^д^еле^равно⁷ДЕСЯТЬ ^или¹¹¹ДВА^.
^Чис^л^о^м^у^{зыкантов}^в^октете^равно⁸ДЕСЯТЬ ^или¹⁰⁰⁰ДВА^.
^Чис^л^о^планет^в^С^о^{лнечной}^{системе}^равно⁹ДЕСЯТЬ ^или¹⁰⁰¹ДВА^.
^Чис^л^о^{миллиметров}^в^{сантиметре}^равно¹⁰ДЕСЯТЬ ^или¹⁰¹⁰ДВА и так далее.
В многозначном двоичном числе позиции цифр соответ- ствуют степеням двойки.
Количество единиц Количество двоек Количество четверок Количество восьмерок Количество 16
Количество 32

Поэтому любое двоичное число, состоящее из 1 с нескольки- ми нулями, является степенью двойки. Показатель степени равен числу нулей. Таблица степеней двойки демонстрирует это правило наглядно.

жүктеу/скачать 300,21 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2