Оқулық Алматы «Атамұра» 2018 математика 1-3417

41
1
5
< x
J
 теңсіздігіндегі: 1) 
х-тің теңсіздік тура болатын сан мәндерін табыңдар;
2) оны координаталық түзуде белгілеңдер.
Ескерту. Теңсіздіктің шешімі болатын шеткі нүктені кішкене дөңгелекпен, шешімі 
болмайтын  шеткі  нүктені  кішкене  шеңбермен  белгілеп,  аралықтарын  бояңдар. 
Сонда координаталық түзуде теңсіздіктің шешімдерін табасыңдар.
−2
4
J J
x
; 2<
x<6 теңсіздіктеріндегі х-тің мәндерін тауып үйреніңдер.
5.3. Сан аралықтары
Координаталық  түзуде 
а  және  b  сандарына  сәйкес  нүктелерді 
белгілейік (5.7-сурет).
Координаталық  түзудегі 
а  және  b  сандарына  сәйкес  нүктелердің 
аралығы 
а және b сандарының аралығын кескіндейді.
Санды теңсіздіктердің шешімдерінің жиынын сан аралығымен жа-
зуды үйренейік.
1.  2<
x<7  теңсіздігінің  шешімдерін  сан  аралығында  белгілеуді 
қарастырайық.
Берілген  2<
x<7  теңсіздігінің  шешімдерінің  жиыны  координаталық 
түзуде координаталары 2 және 7 болатын нүктелердің арасында кескінделетін 
(5.8-сурет) сандар аралығы.
Мұны 2-ден 7-ге дейінгі сан аралығы немесе «интервал» деп атайды. 
Белгіленуі:  (2;  7).  Оқылуы:  2-ден  7-ге  дейінгі  аралық.  2<
x<7 теңсіздігі 
қатаң қос теңсіздік болғандықтан, оның шешімдер жиынына координата-
лары 2 және 7 болатын нүктелер енбейді. Ол сызбада қоординаталық түзу 
бойындағы (нүктедегі) кішкене шеңбермен белгіленген.
2.  –4
x3  қатаң  емес  қос  теңсіздігінің  шешімдер  жиынын  сан 
аралығымен кескіндеуді қарастырайық.
−4
3
J J
x
  теңсіздігінің  шешімдер  жиыны  координаталық  түзу 
бойындағы    –4  және  3  сандары  қоса  алынған  –4  пен    3  сандарының 
аралығы  (5.9-сурет). 
Координаталық  түзуде  сан  аралығына  енетін  нүкте  кішкене 
дөңгелекпен кескінделген. Мұндай 
−4
3
J J
x
 теңсіздігін қанағаттандыратын 
сан аралығын «кесінді» деп атайды. Белгіленуі: [–4; 3]. Оқылуы: «–4 саны 
мен 3 саны қоса алынған –4-тен 3-ке дейінгі аралық». 
5.7-сурет
a
b
сан аралығы
5.8-сурет
x
2
7

42
3. –2  
x < 4 теңсіздігінің шешімдерінің жиынын сан аралығында 
белгілейік.  Берілген  теңсіздіктің  шешімдерінің  жиыны  координаталық 
түзуде –2 саны қоса алынған 4-ке дейінгі сандар аралығы (5.10-сурет).
–2  
x < 4 теңсіздігінің шешімдер жиынына –2 саны енеді, бірақ 
4  саны  енбейді.  Мұндай  –2   
x  <  4  теңсіздігін  қанағаттандыратын  сан 
аралығы «жартылай интервал» деп аталады. Белгіленуі: [–2; 4). Оқылуы: 
«–2 саны қоса алынған –2-ден 4-ке дейінгі аралық».
4. 
x  8 теңсіздігі шешімдерінің жиынын сан аралығында белгілейік.
x  8 теңсіздігі қатаң емес теңсіздік болғандықтан, оның шешімдер 
жиыны  координаталық  түзуде  басы  координатасы  8-ге  тең  нүкте  бола-
тын сәулемен кескінделетін сандар аралығы (5.11-сурет).
Мұндай 
x
I8
 теңсіздігін қанағаттандыратын сан аралығын «сәуле» 
деп  атайды.  Жазылуы:  [8;  +).  Оқылуы:  «8  саны  қоса  алынған  8-ден 
плюс шексіздікке дейінгі аралық». Мұндағы 
 – шексіздіктің белгіленуі.
5. 
х<5 теңсіздігі шешімдерінің жиынын сан аралығында белгілейік.
х<5 теңсіздігінің шешімдер жиыны минус шексіздіктен (–) 5-ке 
дейінгі сандар аралығы (5.12-сурет). 5 саны теңсіздік шешіміне енбейді. 
Сондықтан мұндай сан аралығын «ашық сәуле» деп атайды.
х<5 теңсіздігінің шешімдер жиынының сан аралығында белгіленуі:
(–; 5). Оқылуы: «минус шексіздіктен 5-ке дейінгі аралық».
Сан  аралықтарының  атаулары:  «интервал»,  «кесінді»,  «жартылай 
интервал», «сәуле», «ашық сәуле». Жалпы түрде оларды «сан аралығы» 
немесе «аралық» деп те атайды.
5.9-сурет
5.10-сурет
5.11-сурет
x
–4
3
x
–2
4
x
8
5.12-сурет
x
5

43
Координаталық  түзудегі  барлық  нүктелер  жиынына  сәйкес  сан 
аралығының  белгіленуі:  (–; +). Оқылуы:  “минус  шексіздіктен  плюс 
шекксіздікке дейінгі аралық”. 
Мұны 
сан түзуі деп атайды.
1. Қандай сан аралығын білесіңдер?
2. Қандай сан аралығы интервал деп аталады?
3. Қандай сан аралығы кесінді деп аталады?
4. 
x
J6
 немесе 
x
I8
 теңсіздіктерінің шешімдер жиыны қалай аталады?
905.  Берілген сан аралығын оқыңдар:
 
1) (7; 15); 
 
3) (6; +);   
5) [2; +);
 
2) [–5; 5]; 
 
4) (–; 9);   
6) [0; +).
A
906.  Сан аралығын координаталық түзуде кескіндеңдер:
 
1) [–3; 5]; 
3) [–5; 0]; 
5) (–; –4];    
7) (–; 5);
 
2) (–1; 8]; 
4) (0; 8);  
6) [–9; +;    
8) (–5; +).
907.  5.13-суретте  кескінделген  сан  аралығын  белгіленуін  пайдаланып 
жазыңдар:
908.  Мына теңсіздіктердің шешімдерін сан аралығымен жазыңдар:
 
1) 
x>7,5; 
3) 
m
I − 3
; 
 
5) 
x<–1; 
7) 
m
J 3
;
 
2) 
y<3;   
4) 
m
J 4
1
5
; 
 
6) 
y>5; 
8) 
m
I − 2
.
909.  Берілген сан аралықтарының тиісті аталуларын (интервал, кесінді, 
сәуле, жартылай интервал) жазып, кестені толтырыңдар:
Сан аралығының 
белгіленуі
(–; 3]
[–3; 2]
(–7; 0)
[–4; 2)
Cан аралығының аталуы
910. 1) (–3; 2);   2) [–5; 1];   3) [–2; 2];   4) [–6; 1] 
 
сан аралықтарына тиісті бүтін сандарды жазыңдар.  
5.13-сурет
–7
11
3
1)
–3
–6
3,7
2,5
2)
3)
4)
5)
6)
−1
1
3
2
1
7
−2
1
2

44
911.
 Бірінші жәшіктегі мандариндер саны екінші жәшіктегі мандарин-
дер санынан 25%-ке артық. Бірінші жәшіктен 6 мандаринді алып, 
оның  жартысын  екінші  жәшіктегі  мандариндерге  қосқанда,  екі 
жәшіктегі  мандариндер  саны  бірдей  болады.  Алғашқыда  екінші 
жәшікте неше мандарин болған?
912.  
Жақшаларды ашып, ықшамдаңдар:
 
1) 
5
8
1
4
1
12
1
3
x
x
y
y
−
−




+
; 
 
3) 
2
1
6
7
1
3
4
2
1
4
x
x
y
y
−
−




+
;
 
 
2) 
9 4
2
11
3
4
3
5
9
,
x
x
y
y
+
−




−
;  
4) 
3 5
6
1
4
7
9
,
x
x
y
y
+
−




+
.
В
913.  1) –4; –2; –6; 0; 7; 9,3; 8,4 сандарының қайсысы [–3; 8,5] аралығына 
тиісті,  қайсысы  тиісті  емес?  Берілген  сан  аралығына  тиістілерін 
теріп жазыңдар.
 
2)  5;  4,7;  –3,2;  9
5
7
;  0;  −2
5
6
;  8;  –1;  10  сандарынан  (–;  4,8] 
аралығына тиістілерін теріп жазыңдар.
914.  Мына  қос  теңсіздіктің  шешімдерінің  жиынын  координаталық 
түзуде кескіндеп, сан аралығын белгілеп көрсетіңдер:
 
  1) 
−4 5
2
,
J J
x
;  
3) 
−
< <
9
1
3
5
x
; 
5)  0
4
J J
x
;
       2) –8 < 
y  3;   
4) 0,4  
y < 3; 
6) –2 < 
y  0.
915.  Кестедегі  берілген  сан  аралығына  тиісті  ең  үлкен  бүтін  санды,  ең  
кіші бүтін санды тауып, кестені толтырыңдар:
Сандар аралығы
[–10; 8]
(–2; 8)
[–3; 3)
(–5; 4]
Ең үлкен бүтін сан
Ең кіші бүтін сан
 
916. 1) [–1; 3] кесінді мына сан аралықтарының қайсысында жатады: 
(–4; 9) әлде (4; +)?
 
2) [–5; 5] кесінді мына сан аралықтарының қайсысында жатады: 
(–; –7) әлде (–7; 7)? 
917.  Сан аралықтарын координаталық түзуде кескіндеңдер:
 
1) (– 1,5; 3,5); 2) 
−




4
1
3
1
1
2
;
;
 3) [–9; –2,5); 4) (–; –1). 

45
  
918*. 
Тік  төртбұрыштың  ұзындығы  енінен  1,4  есе  ұзын.  Оның 
ұзындығын  20%-ке  кемітіп,  енін  20%-ке  арттырғанда  периметрі 
3,2 см-ге кемиді. Тік төртбұрыштың алғашқы енін табыңдар.
 
С
919.  1) (–1; 4 ) интервалы [–3; +) әлде (–; –4] сан аралықтарының 
қайсысында жатады?
 
2) (–7; 8) интервалы [–10; +) әлде (–; –8] сан аралықтарының 
қайсысында жатады? 
920.  Мына қос теңсіздіктердің шешімдерінің жиынын сан аралығымен 
жазыңдар:
 
1) 2
8
J J
x
; 
   3) 
− < <
3
5
y
; 
5)  9
100
J x <
;      7) 
−
<
1
9
J x
; 
 
2) 
− <
9
0
y
J ;        4) –2<x<7;  
6)  0
9
< x
J ;          8) −8
5
J J
x
.
921.  Координаталық  түзуде  кескінделген 
х  сандарының  жиынын  қос 
теңсіздікпен  және  сәйкесінше  сан  аралығымен  жазып,  кестені 
толтырыңдар:
Сандар
жиыны 
х
Қос 
теңсіздікпен
Сан 
аралығымен
922.  Сан  аралықтарын  координаталық  түзуде  кескіндеп,  теңсіздікпен 
жазыңдар:
 
1)  Бас  нүктесінің  координатасы  3-ке  тең  сәулені  кескіндеңдер. 
Осындай неше сәулені кескіндеуге болады? 
 
2) –5 тен 2-ге дейінгі интервалды; 
 
3) –1-ден 6-ға дейінгі кесіндіні.
923.  Координаталық түзуде координаталары: 
 
а) 
x
J 2;
 
ә) 
x
< 3;  
б) 
x
J 5
 
шарттарын қанағаттандыратын нүктелер жиынын кескіндеңдер.
           Шешімдер жиынын сан аралығымен жазыңдар.
924.  
Теңдеуді шешіңдер:
 
1) 
x
x
x
− + = −
2
6
2
5
2
9
;   
3) 
3
1
8
2 5
3
16 13
12
x
x
x
+
(
)
+
−
(
)
=
−
;
 
2) 
5 2
3
3
5
5
2
+
=
−
+
+
x
x
x
; 
4) 
5 7 2
3
4
2
9
19
2
−
(
)
−
− = −
x
x
x
.
  –5 
       6
  –3 
       7
  –2 
       4
   
       1

46
Тақырыптың түйіні.
Сан аралықтары.
Санды  теңсіздіктер  шешімдерінің  жиынын  сан  аралықтарымен 
жазуға болады. 
Сан аралықтары (мысалдармен).
Теңсіздік
Координаталық 
түзуде кескінделуі
Белгіленуі
Аталуы
–1< х <4
–1 
 
          4
(
–1; 4)
Интервал
2  
х  7
  2 
 
          7
[2; 7]
Кесінді
–3  х < 2
–3 
 
          2
[
–3; 2)
жартылай
интервал
х  5
5
[5; +)
Сәуле
х  6
(
–; 6)
Ашық сәуле
911.
 36 мандарин; 
918.
 20 см. 
923.
 а) [
–2; 2]; ә) (–3; 3).
924.
 1) 1; 2) –7; 3) –3; 4) 5.
5.4. Сан аралықтарының бірігуі мен қиылысуы
І. Сан аралықтарының бірігуі.
есеп. Координаталық түзуде [
–2; 7] және [4; 11] сан аралықтарының 
бірігуін табыңдар.
нұсқауды пайдаланыңдар.
1.  Координаталық  түзуде  [
–2;  7]  және  [4;  11]  сан  аралықтарын 
кескіндеңдер.
2. Әрбір саны  [
–2; 7] және [4; 11] сан аралықтарының біреуіне (кем 
дегенде [
–2; 7] немесе [4; 11] аралықтарының біреуіне) немесе екеуіне де 
тиісті сан аралығын табыңдар.
Мұндай сан аралығы [
–2; 7] және [4; 11] сан аралықтарының бірігуі 
деп аталады.
?
6

47
3.  [
–2;  7]  және  [4;  11]  сан  аралықтарының  бірігуін  белгіленуімен 
жазыңдар.
4. Сан аралықтарының  бірігуі ережесін тұжырымдаңдар.
Өзіңді өзің тексер.
1.  Координаталық  түзуде  [
–2; 7] және [4; 11] сан аралықтарын 
кескіндейік (5.14-сурет).
2.  [
–2;  11]  аралығындағы  сандар  [–2;  7]  және  [4;  11]  сан 
аралықтарының біреуіне немесе екеуіне де тиісті. Демек, [
–2; 7] және 
[4; 11] сан аралықтарының бірігуі – [
–2; 11] сан аралығы.
3.  [
–2;  7]  және  [4;  11]  сан  аралықтарының  бірігуі  мына  түрде 
жазылады: 
 [
–2; 7]  [4; 11] = [–2; 11].
Жауабы: [–2; 11].
4. 
А және В сан аралықтарының  бірігу ережесі.
А және В сан аралықтарының кем дегенде біреуіне тиісті сан-
дардан ғана тұратын 
АВ аралығын А және В сан аралықтарының 
бірігуі деп атайды.
Сан аралықтарының бірігуі әрқашанда сан аралығы бола бермейді.
1-мысал. [–6; 1] және [4; 10] сан аралықтарын қарастырайық. 
5.15-суретте  координаталық  түзуде  [–6;  1]  және  [4;  10]  сан 
аралықтары  кескінделген.  Координаталық  түзу  бойындағы  кескіндері 
бойынша  [–6;  1]  және  [4;  10]  сан  аралықтарының  бірігуі  сан  аралығы 
болып табылмайды. 
Жазылуы: [–6; 1][4; 10]. 
5.14-сурет
5.15-сурет
Жауабы: [–6;1]  [4; 10].
ІІ. Сан аралықтарының қиылысуы.
есеп. Координаталық түзуде (–; 3] және [–4; +) сан аралықта-
рының қиылысуын табыңдар.
нұсқауды пайдаланыңдар.
1. Координаталық түзуде (–; 3] және [– 4; +) сан аралықтарын 
кескіндеңдер.
?

48
2. Әрбір саны  (
–; 3] аралығына да, [– 4; +] аралығына да тиісті 
сан аралығын табыңдар. Мұндай сан аралығын (–; 3] және [– 4; +) 
аралықтарының 
қиылысу сан аралығы деп атайды.
3.  (–; 3] және [– 4; +) аралықтарының қиылысу сан аралығын 
белгіленуімен жазыңдар.
4. Сан аралықтарының қиылысу ережесін тұжырымдаңдар.
Өзіңді өзің тексер.
1. Координаталық түзуде (–; 3] және [– 4; +) сан аралықтарын 
кескіндейік (5.16-сурет).
2. [–4; 3] аралығындағы сандар жиыны (–; 3] сан аралығына да, 
[–4; +) сан аралығына да тиісті. 
Демек,  [–4;  3]  сан  аралығы  (–;  3]  және  [–4;  +)  сан 
аралықтарының қиылысуы. 
3.    (–; 3]  және  [–  4;  +)  сан  аралықтарының  қиылысуының 
жазылуы.
 (–; 3][–4; +)=[–4; 3].
Жауабы: [–4; 3].
4. 
А  сан  аралығына  да,  В  сан  аралығына  да  тиісті  сандар-
дан  ғана  тұратын 
АВ  аралығын  А  және  В  сан  аралықтарының 
қиылысуы деп атайды.        
2-мысал. [–2; 9] және [5; 12] сан аралықтарының қиылысу аралығын 
табайық. 
Ш е ш у і .  5.17-суретте координаталық түзудегі [–2; 9] және [5; 12] 
сан аралықтары кескінделген. [5; 9] аралығындағы сандар жиыны [–2; 9] 
сан аралығына да, [5; 12] сан аралығына да тиісті. 
Онда  [5;  9]  аралығы  [–2;  9]  және  [5;  12]  сан  аралықтарының 
қиылысуы болып табылады. 
Жазылуы:
[–2; 9][5; 12]=[5; 9].
Жауабы: [5; 9]. 
3-мысал.  (–;  –4)  және  (2;  +)  сан  аралықтарының  қиылысуын 
қарастырайық. 
Ш е ш у і .  Координаталық түзуде (–; –4) және (2; +) сан аралық-
тарын кескіндейік (5.18-сурет). 
5.16-сурет
5.17-сурет

49
(–;  –4)  және  (2;  +)  сан  аралықтарының  ортақ  сандар  жиыны 
жоқ. Демек, (–; –4) және (2; +) сан аралықтарының қиылысулары – 
бос жиын. Жазылуы:  
                            (–; –4)(2; +)=.  
Жауабы: .
4-мысал.  (–; 7]  және  [7;  12)  сан  аралықтарының  қиылысуы  бір 
ғана 7 саны, жазылуы:   
(–; 7]  [7; 12) ={7}.
Сан аралықтарының бірігуін (қиылысуын) табу үшін:
1.  берілген  сан  аралықтарын  координаталық  түзуде  кескіндеу  ке-
рек;
2. берілген сан аралықтарының кем дегенде біреуіне (берілген сан 
аралықтарының барлығына) тиісті сандар жиынының аралығын табу ке-
рек;
3. сан аралықтарының бірігуін (қиылысуын) белгіленуімен жазу ке-
рек.
1. Қандай сан аралығын 
А және В сан аралықтарының бірігуі деп атайды?
2. Қандай сан аралығын 
А және В сан аралықтарының қиылысуы деп атайды?
3. Қандай жағдайда сан аралықтарының қиылысуы бос жиын болады?
925.  
Мына сан аралығына тиісті ең үлкен бүтін санды табыңдар:
 
1) [–8; 3];        2) (–7; 0); 
    3) (–; –4]; 
4) [–1; 19]. 
А
926.  
5.19-суретте  кескінделген  сан  аралықтарының  қиылысуын  жа-
зыңдар: 
 
5.18-сурет
5.19-сурет
1)
4)
2)
5)
3)
6)
4–3417

50
927.  
Координаталық түзуді пайдаланып, сан аралықтарының бірігуін 
табыңдар:
 
1) (–12; 8] және [5; 11);   
4) (–2; 3] және [6; 10);
 
2) (–; –3) және [–5; 4);  
5) [–7; –1] және [–3; 7];
 
3) [2; + және (7; +);   
6) (–; 1) және (–4; 10). 
928.  
Мына  сан  аралықтарына  тиісті  ең  үлкен  бүтін  санды  және  ең 
кіші бүтін санды жазыңдар:
 
1) [–13; 4]  (–1; 15); 
 
2) (–9; 5]  [–4; 12).
B 
929.  
Сан аралықтарының қиылысуындағы бүтін сандарды жазыңдар:
 
 1) (–6; 2] және (–3; 7];   
2) (–7; 7) және [–2; 3].
930.  
5.20-суретте кескінделген сан аралықтарының бірігуін жазыңдар: 
 
 931.  
.
 Сан аралықтарын координаталық түзуде кескіндеңдер;
 
.
  Сан  аралықтарының  қиылысуын  тауып,  оны  белгіленуімен 
жазыңдар; 
 
.
  Сан  аралықтарының  қиылысуындағы  ең  үлкен  бүтін  санды 
көрсетіңдер:  
 
1) (–8; 6] және [–5; 8);   
4) (–4; 2) және (–7; –1);
 
2) (–; 0] және [–9; 3);   
5) [–9; 9] және [–1; 14];
 
3) (–; –2] және [–2; 7];  
6) (–6; 6) және [–4; 4]. 
932.  
.
 Сан аралықтарын координаталық түзуде кескіндеңдер;
 
.
 Сан аралықтарының бірігуін тауып, оны белгіленуімен жазыңдар; 
 
.
 Сан аралықтарының бірігуіндегі ең кіші бүтін санды көрсетіңдер:  
 
1) [–8; 2] және [1; 9); 
 
4) (–11; 3] және [–2; 7);
 
2) (–6; 7) және (–2; 4);   
5) [–7,5; –3] және [0; 4];
 
3) (–9,3; 1) және (5; +); 
6) (–5; 0) және (–1; 6).
933.  
Координаталық түзуді пайдаланып, сан аралықтарының қиылы-
суын, бірігуін тауып, кестені толтырыңдар:
5.20-сурет
1)
4)
2)
5)
3)
6)

51
Сан аралығы
[–3; 5] 
және 
[–1; 9]
(–5; 7] 
және 
[7; 12)
(–4; 8] 
және 
[0; 10)
(–7; 3] 
және 
[6; 15)
Сан аралықтарының 
қиылысуы
Сан аралықтарының 
бірігуі
 
C 
934.  
Координаталық түзуді пайдаланып, сан аралықтарының қиылы-
суын табыңдар: 
 
1) (–7; 5], (–4; +) және [–1; 9);
 
2) (–; –6], [–6; +) және [–6; 1];
 
3) (–8; 7), (–5; 10) және [–3; 2];
 
4) (–; 5], (–4; +) және [–2; +9].
935.  
Координаталық түзуді пайдаланып, сан аралықтарының бірігуін 
табыңдар: 
 
1) (–; 5], (–2; +) және [0; 8];
 
2) (–7; 5), (–1; 9) және (7; 12);
 
3) [–3; 1), [1; 5) және [5; 8];
 
4) (–8; –3), (–5; 2) және (0; 10).      

жүктеу/скачать 7,07 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: