Оқулық Алматы «Атамұра» 2018 математика 1-3417

32
5.2-сурет
A
B
C
D
F
E
K
 
      
872.
  Теңдеуді шешіңдер:
 
1) 
x
x
+ = + +
9
7
1
1
3
;   
3) 
3
4
5
7
2
2 2
3
5
x
x
x
+ + − =
+
(
)
;
 
2) 1
5
2
6
5
9
−
− = −
x
x
;   
4) 
7
3
2
9 4
3
7
2
x
x
x
− − − = − .
Тақырыптың түйіні.
Санды теңсіздіктер.
Санды  теңсіздік  –  екі  санды  өрнектің  теңсіздік  (>  немесе  <) 
белгісімен жазылуы.
1-мысал. 
–3<2;  
4 
· 3+5>11 – санды теңсіздіктер.
                                                оң сан  
 
       
a > b.
егер 
a – b айырмасының мәні                   болса, онда
   
 
 
 
       теріс сан                          
a < b.
2-мысал. 1) 11 
· 2 > 4
2
, себебі 11 
· 2–4
2 
= 22–16=6;  6>0.
              2) 3
2
 + 4 < 5
2
, себебі (3
2
 + 4) 
– 5
2 
= 13
–25= –12;  –12<0.
854.
 1) 9; 2) –35; 3)  97; 4) –1,8. 
 865.
 1) 
# 4
1
3
;
 2) –2; 3) 4. 
869.
 Үш шешімі бар. 
871.
 1) 12 см
2
; 2) 10 см
2
.
872.
 1) –0,25; 2) 2; 3) 13; 4) 1,5.
қарсы 
В қаласынан 100 км/сағ жылдамдықпен жеңіл мәшине шықты. 
Олар сағат 14-те бір-бірімен кездесті. Мәшинелердің кездескен жері  
А қаласына жақын ба, әлде В қаласына жақын ба?
871.
  1) 
ABCD  төртбұрышын;  2)  EFK  үшбұрышын  тік  төртбұрыштарға 
толықтырып,  олардың  әрқайсысының  ауданын  квадрат  сантиметр 
есебімен  табыңдар  (5.2-сурет).  Дәптердің  4  торкөзінің  ауданын  
1 см
2
 есебімен алыңдар.
             1)                                     2)

33
а) Жұлдызшаның орнына тиісті теңсіздік белгісін қойыңдар:
1) егер 5>3 болса, онда 3 * 5;
2) егер 9>7 және 7>5 болса, онда 9 * 5;
3) егер 6>2 болса, онда  6 1
1
4
2 1
1
4
+
+
*
;    6–1,5 * 2–1,5;
 
4) егер 16>12 болса, онда 
16
4
12
4
*
;    16 · 3 * 12 · 3;
5) егер 17>11 болса, онда 
1
17
1
11
*
.
ә) Теңсіздіктерді мүшелеп қосыңдар:
  
+ 
0 9
0 2
5 1
3 8
,
,
,
,
?
?
>
>
>
б) Теңсіздіктерді мүшелеп көбейтіңдер: 
Í
 
6
9
0 5
4
<
<
<
,
?
?
   
5.2. Санды теңсіздіктердің қасиеттері
Санды теңсіздіктерге есептер шығаруда және санды теңсіздіктерді 
түрлендіруде санды теңсіздіктердің қасиеттері пайдаланылады. Сондық-
тан санды теңсіздіктердің қасиеттерін қарастырып, оларды күрделі емес 
жағдайларда пайдалануды үйренейік. 
1 - қ а с и е т .  
Егер  а  саны  b  санынан  үлкен,  ал  b  саны  с  санынан 
үлкен болса, онда а саны с санынан үлкен болады. 
егер 
а>b, b>c болса, онда a>c. 
а>b теңсіздігі бойынша координаталық түзуде а саны b санының оң 
жағында кескінделеді (5.3-сурет). 
b>c теңсіздігі бойынша b саны с санының оң жағында кескінделеді. 
Онда координаталық түзуде 
а саны с санының оң жағында кескінделеді.
Демек, 
а>c.
1-мысал.  1) 7>5, 5>3, онда 7>3;    2) 2<5, 5<9, онда 2<9. 
2 - қ а с и е т .  
Егер тура теңсіздіктің екі жақ бөлігіне де бірдей сан 
қосылса, теңсіздік белгісі өзгертілмей, тура теңсіздік шығады. 
егер 
a>b болса, онда а+с>b+c, c – кез келген сан. 
2-мысал.  
1) 9>6, 
 
2) 9>6,
   
 
9+2>6+2, 
 
9+(–2)>6+(–2),
                     11>8.                    7>4.
5.3-сурет
3–3417

34
Координаталық  түзу  бойында
  6  мен  9  сандарын  кескіндейтін 
нүктелер оң бағытта немесе теріс бағытта бірдей қашықтыққа ығысқанда, 
олардың өзара орналасулары өзгермейді (5.4, 
а, ә-сурет). 
3-мысал.  7,2+3>8,1  теңсіздігін  7,2+3–3>8,1–3,  яғни  7,2>8,1–3 
түрінде жазуға болады. 
Теңсіздіктің  бір  жақ  бөлігіндегі  қосылғышты  екінші  жақ  бөлігіне 
көшіргенде, оның таңбасын қарама-қарсы таңбаға өзгерту керек.
3 - қ а с и е т .   а) 
Егер  тура  теңсіздіктің  екі  жақ  бөлігі  бірдей  оң 
санға  көбейтілсе  немесе  бөлінсе,  теңсіздік  белгісі  өзгертілмей,  тура 
теңсіздік шығады. 
егер 
а>b және с>0 болса, онда  ac>bc; 
a
c
b
c
> . 
4-мысал.  1)  9>6,2  теңсіздігінің  екі  жақ  бөлігін  де  2  санына 
көбейтейік: 9 · 2>6,2 · 2;  18>12,4.
2) 15,5>10 теңсіздігінің екі жақ бөлігін де 5 санына бөлейік: 
15,5 : 5>10 : 5;  3,1>2. 
ә) 
Егер  тура  теңсіздіктің  екі  жақ  бөлігі  бірдей  теріс  санға 
көбейтілсе немесе бөлінсе және теңсіздік белгісі қарама-қарсы таңбаға 
өзгертілсе, онда тура теңсіздік шығады.
егер
 а>b және с<0 болса, онда  ac<bc;  a
c
b
c
< .
5-мысал.1) 3,1>2,3 теңсіздігін (–2)-ге көбейтейік:
3,1 · (–2)<2,3 · (–2);    –6,2<–4,6.
2) 12>7 санды теңсіздігін (–3)-ке бөлейік:
 
−
< −
12
3
7
3
; –4<
−2
1
3
.
4 - қ а с и е т .   Егер  теңсіздік  белгілері  бірдей  тура  теңсіздіктер 
мүшелеп қосылса, онда теңсіздік белгісі қосылғыш теңсіздіктердің белгі-
леріндей тура теңсіздік шығады.
егер
 а>b және с>d болса, онда  a+c>b+d. 
                                                       5.4-сурет                                  
а)
ә)
6
8 9
11
4
7
0
x
x

35
Мысалдар:
1) +5,3>2,7   
2)  +2,7<x<6,5 
 
3) +8<x<15
     1,5>0,8 
                4,5<
y<7  
               2<
y<4
     6,8>3,5;                  7,2<
x+y<13,5;              10<x+y<19.
5 - қ а с и е т .  Теңсіздік белгілері бірдей және оң жақ бөлігі мен сол 
жақ  бөлігі  оң  сандар  болатын  тура  теңсіздіктерді  мүшелеп  көбейтуге  
болады.  Нәтижесінде  теңсіздік  белгісі  көбейткіш  теңсіздіктердің  белгі-
сіндей тура теңсіздік шығады.
егер 
а>b, с>d және  a, b, с, d – оң сандар, онда ас>bd.
Мысалдар: 
1) 
Í
0,3>0,2   
2) 
Í
 9<
x<12  
3) 
Í
1
7
8
2
<
        4>1,5 
 
       4<
y<7   
       8<10
      1,2>0,3   
       36<
xy<84 
      15<20
6-қ а с и е т . егер 
а<b болса, онда 
1
1
a
b
> , мұндағы a>0; b>0. 
Мысалдар: 1) 3<4 болса, 
1
3
1
4
> ;   2) 7>5 болса, 
1
7
1
5
< .  
1.  Теңсіздіктегі  қосылғышты  оның  бір  жақ  бөлігінен  екінші  жақ  бөлігіне  қалай 
көшіруге болады? 
2.  Теңсіздіктің  екі  жақ  бөлігін  де  бірдей  теріс  санға  көбейтсек  немесе  бөлсек, 
теңсіздік белгісін қалай өзгерту керек? 
3. Қандай тура теңсіздіктерді мүшелеп көбейтуге болады?
873. Теңсіздіктерді мүшелеп қосыңдар ( а у ы з ш а ) :
 
+
9,7>7   
2) –5<2,3 
 
3) 2,5<
x<8,2
 
     2>1  
   + 3<7 
 
   + 1<
y<7
  
      ?   
        ? 
 
          ?
А
874. Дәптерге координаталық түзу сызып, оның бойында 5.5-суреттегідей 
a және –b сандарын кескіндеңдер.
5.5-сурет
x

36
 
• 
Координаталық  түзу  бойында: 
b, –a және 2а сандарын кескін-
деңдер;
 
• 
Сандарды салыстырыңдар: 1) –
b мен a-ны; 2) 2а мен а-ны; 3) –а 
мен 
а-ны; 4) b мен 2а-ны.
875.  1) 8 < 13 теңсіздігінің:
 
екі жақ бөлігіне де 5 санын; 4 санын; –2 санын; –6 санын қосқанда 
шығатын тура теңсіздікті жазыңдар;
 
2) 18 > 6 теңсіздігінің екі жақ бөлігін де:
 
4 санына; 5 санына; –1 санына; –0,5 санына көбейткенде шығатын 
тура теңсіздікті жазыңдар;
 
3)  24 >12  теңсіздігінің  екі  жақ  бөлігін  де 
1
2
-ге; 
1
3
-ге; 
1
4
-ге 
көбейтіңдер.  
 
876.  Теңсіздіктерді (мүшелеп) қосыңдар:
 
1) 5<9 және 3<4; 
 
4) 4,2>3 және 5>–1;
 
2) 3>1 және 5>2; 
 
5) 0,3<1,2 және 4<5;
 
3) 2<3 және 4<7; 
 
6) 1,8>1 және 2>0,8.
877.  Теңсіздіктерді мүшелеп көбейтіңдер:
 
1) 4>1 және 7>5; 
 
4) 6>4 және 7>2;
 
2) 5<9 және 2<4; 
 
5) 9<12 және 3<5;
 
3) 0,5<3 және 4<5;   
6) 8>3 және 6>2.
878.  Велосипедшінің  жылдамдығы 
х  км/сағ,  ол  13  км/сағ-тан  артық, 
мотоциклшінің  жылдамдығы 
у  км/сағ,  ол  38  км/сағ-тан  артық. 
Велосипедші  мен  мотоциклші  бір  жерден  бір  уақытта  бір-бірінен 
қарама-қарсы бағытта жүрді. Олар 1 сағ өткен соң бір-бірінен неше 
километр қашықтықта болатынын бағалаңдар.
879.  Токарь бірінші күні 
х бөлшек, ал екінші күні у бөлшек дайында-
ды. Егер 
x>120, y<100 болса, токарьдың бірінші күні екінші күнге 
қарағанда неше бөлшек артық дайындағанын бағалаңдар.
880.  Квадраттың қабырғасы 4 см-ден артық, 5 см-ден кем. Квадраттың 
периметрін бағалаңдар.
881.  Тік төртбұрыштың ұзындығы 4,5 см-ден артық, 6 см-ден кем. Оның 
ені  2  см-ден  артық,  3,2  см-ден  кем.  Тік  төртбұрыштың  ауданын 
бағалаңдар. 

37
882. 
 Өрнектің мәнін табыңдар:
 
1) 
x
y
2
3
6
+




·
, мұндағы 
x=4; y=–1; 
 
2) 
x
y
4
12
12
−




·
, мұндағы 
x=–2; y=3;
 
3) 
2
3
5
3
x
y
+




·
, мұндағы 
x=1; y=2;
 
4) 
5
6
3
8
4
x
y
−




·
, мұндағы 
x=6; y=2. 
В
883.    Теңсіздіктерді мүшелеп қосуды орындаңдар:
 
1) 7<15 және 2,7<3,2; 
3) 
7
12
3
8
>
 және 
0 2
1
4
,
<
;
 
2) 
3
4
5
8
>
 және 
1
4
3
<
;  
4) 
2
15
3
5
<
 және 
2
3
14
15
<
.
884. 4<
a<5 теңсіздігінен мынаны бағалаңдар:
 
 
1) 
а+3;   
    2) 
a–0,6;                  3) 2a;   
4) 
a
2
.  
885.  
1
a
  өрнегінің мәнін бағалаңдар:
 
 
1) 3<
a<7;           2) 4<a<9;                3) 
1
9
1
5
< <
a
; 
4) 
1
8
1
4
< <
a
.
886.  Теңсіздіктердің қасиеттерін пайдаланып: 
 
1) 3
a–5<2a–1 теңсіздігінің екі жақ бөлігіне де 7 санын, 4а санын, 
–3 санын, –2
а санын қосқанда шығатын тура теңсіздікті жазыңдар; 
 
2) 3,2
m–2,4<5,6m–1,6 теңсіздігінің екі жақ бөлігін де 5 санына, 
1
2
 
 
санына, –
1
4
 санына көбейткенде шығатын тура теңсіздікті жазың-
дар.
887.  1)  Егер  0,8<
a<0,9  болса,  қабырғасы  а  дм  квадраттың  периметрін 
бағалаңдар (қос теңсіздік түрінде жазыңдар).
 
2)  Егер 
7
1
5
7 5
J J
p
,
  болса,  периметрі 
р  см  болатын 
тең  қабырғалы  үшбұрыштың  бір  қабырғасының 
ұзындығын  бағалаңдар  (қос  теңсіздік  түрінде 
жазыңдар).
а
а
а

38
888.
  Ұзындықты өлшейтін құралды пайдаланбай, қалайша ұзындығы 
3
4
 м шілтерден 
1
2
 м шілтерді қиып алуға болады?
889.  Бір  көйлек  2  метрден  артық,  3  метрден  кем  матадан  тігіледі.  5 
көйлек неше метр матадан тігілетінін бағалаңдар. 
890.  Әлихан бағасы 
а теңгеден 3 қалам және бағасы b теңгеден 2 дәптер 
сатып алды. Егер 
a<60, b<150 болса, Әлиханның сатып алған барлық 
затының құны неше теңге болатынын бағалаңдар.
891.  Тік  төртбұрыштың  ұзындығы 
х  см,  ені  у  см.  7<x<9  және  3<y<5 
болғандағы тік төртбұрыштың ауданын бағалаңдар.
892.  2<
а<5 және 4<b<10 теңсіздіктерінен мынаны бағалаңдар:
 
1) 
a+b;   
2) 
a–b; 
3) 
a · b; 
4) 
a
b
.
893. 
Оқушы 120 беті бар әдеби кітап оқыды. Ол бірінші күні кітаптың
 
1
5
-інен артық, бірақ 
1
4
-інен кем
 х бетін оқыды. Оқушы екінші күні 
кітаптың 
1
6
-інен артық, бірақ 
1
5
-інен кем 
у бетін оқыды. Оқушы екі 
күнде кітаптың неше бетін оқығанын бағалаңдар.
894. 
Теңдеуді шешіңдер:
 И. 
5
1
3
1 8
5
x
x
+ = +
; 
 
 
А. 
5
8
3
11
1
6
1
x
x
+ +
− = −
;
 З. 
4
5
7
9
25
2
0
x
x
− − − =
; 
 
Я. 
4
9
5
4 3
2
4
x
x
+ − + =
.
–1
3
–2
–6
 
Кестедегі  теңдеудің  түбірлерімен  бір  бағанға  оның  тұсындағы 
әріптерді  қойсаңдар,  кестеден  дүниежүзіндегі  ең  үлкен  континент 
қалай аталатынын оқисыңдар.
С
895.  Өрнектердің  мәніндерін  салыстырып,  теңсіздік  белгісімен  (<,  >) 
жазыңдар. Мұндағы 
a > b:

39
 
1) 
3
4
a  және 
3
4
b ; 
3) 
a
3
 және 
b
5
; 
5) 
a
+ 5
4
 және 
b
− 5
4
;
 
2) 
−
−
2
2
a
b;
және 
−
−
2
2
a
b;
; 
4) 
−
a
7
 және 
b
7
; 
6) 
−
−
2
3
5
2
3
5
a
b.
 және 
−
−
2
3
5
2
3
5
a
b.
896.  Егер 4<
x<8 болса: 1) 2х-ті; 2) 2х+1-ді; 3) 
x
2
-ні бағалаңдар.
 
 
Ү л г і :   Егер 2<x<5 болса, 3х өрнегінің мәнін бағалайық.
 
Ш е ш у і :  3 · 2 <3
x<3 · 5;  6<3x<15.
897.  Санды теңсіздіктердің қасиеттерін пайдаланып, дәлелдеңдер:
 
1) егер 3
х<8–x болса, х<2;
 
2) егер 4
х–3<12+x болса, х<5;
 
3) егер 5+4
х>20–x болса, х>3;
 
4) егер 2(3+
х)>18–4x болса, x>2 болатынын.
898.  Өрнектің мәнін бағалаңдар:
 
1) 
x+у, мұндағы: 
а) 4<
x<7; 
ә) 0,6<
x<1,8;
 
   
  
 
  –6<
y<9; 
   1,2<
y<2.
 
2) 
x–у, мұндағы: 
а) 7<
x<10;  ә) 2,1<x<3,4;
 
   
  
 
    3<
y<6; 
   0,4<
y<1,8. 
 
Ү л г і .   10<x<14 және 2<у<5 теңсіздіктерінен:
 
а) 
x+у-ті бағалайық: 10<x<14
 
   
  
        + 2<
у<5
 
   
               12<
x+у<19;
 
ә) 
x–у-ті бағалайық: 
+
10<
x<14
 
   
  
 
 –5<–
у<–2
 
   
  
 
  5<
х–у<12.
899.  Теңсіздіктерді мүшелеп көбейтіп, 
ху көбейтіндісін бағалаңдар:
1) 
5
12
2
1
4
< <
x
 және 
4
5
1
1
3
< <
y
; 
3) 
2
4
5
4
1
2
< <
x
 және 
5
7
2
< <
y
;
2) 
1
3
5
3
1
9
< <
x
 және 
5
8
1
2
7
< <
y
; 
4) 0,5<
х<1,9 және 0,8<y<2. 
900.  2,7<
x<9 және 1,5<y<3 теңсіздіктерінен:
 
1) 2
xy-ті; 
 
2) 2
xy+1-ді;   
3) 
x
y
+ 4
-ті бағалаңдар.

40
901.  Бағдат  пен  Марат  бақтан  алма  теріп  алды.  Бағдат  бақтан  11-ден 
артық,  бірақ  15-тен  кем  алма  терді.  Марат  бақтан  9-дан  артық, 
бірақ 13-тен кем алма терді. Бағдат пен Мараттың терген алмаларын 
өздері және екі достары тең бөліп алды. Балалардың әрқайсысының 
неше алмадан алғандарын бағалаңдар.
902.  5.6-суреттегі
  ABCD  тік  төртбұрышының 
ұзындығы 
а см, ені b см. ABD тік бұрышты 
үшбұрышының 
ауданын 
бағалаңдар. 
Мұндағы 
а<8; b<5.
903.  Катердің меншікті жылдамдығы 
х км/сағ. Катер ағыс жылдамдығы  
2 км/сағ өзенде ағыспен 1,5 сағ жүзгенде қанша қашықтыққа бара-
тынын бағалаңдар. Мұндағы 
х<18.
904.  Есептеңдер:
 
 
3 9 1
4
5
1
2
3
6
3
4
2 5
5
2
3
3
5
7
18
3
1
6
5
12
4
15
,
·
,
:
:
−




−




+
−




−














−
·
· ,
5
9
2 5 5
2
3
.
Тақырыптың түйіні.
Санды теңсіздіктердің қасиеттері.
Егер  
a > b  және b > с болса, онда а > с,
мұндағы 
a, b және с – рационал сандар.
Егер  
a > b болса, онда а + с > b + с; a – с > b – с.
Егер  
a > b;
a > 0; b > 0  
болса,             

жүктеу/скачать 7,07 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: