Оқулық Өзбекстан Республикасы Халыққа білім беру министрлігі баспаға ұсынған

147
3-теорема.
Дәлелдеу.   ABC
  үшбұрышында 
AA
1
, 
BB
1
  және 
CC
1
 
медианалар жүргізілген делік (3-сурет). Олардың бірер 
О  нүктеде  қиылысатынын  және   
AO
 : 
OA
1
 = 
BO
 : 
OB
1
 = 
C
O
 : 
OC
1
 = 2 : 1 болатынын дәлелдейміз.
O
 – 
AA
1
 және 
CC
1
 медианаларының қиылысу нүк-
тесі, 
D 
және 
E
 сәйкесінше 
AO
 және 
CO
 қиюшылары-
ның  ортасы  болсын. 
C
1
A
1
  қиюшы   
ABC
  үшбұрышы-
ның орта сызығы және үшбұрыштың орта сызығының 
қасиеттеріне  орай: 
C
1
A
1
 || 
AC
, 
C
1
A
1
 = 0,5
AC
.  Бұдан  тыс  
DE
 – 
AOC
  үшбұрышының  орта  сызығы  және  сол  қа-
сиетке орай: 
DE
 || 
AC
, 
DE
 = 0,5
AC
. Демек, 
DC
1
A
1
E
 төрт-
бұрышының  екі  қабырғасы  параллель  және  тең.  Со-
нымен 
DC
1
A
1
E
 – параллелограмм, оның 
DA
1
 және 
C
1
E
 
диагональдары қиылысу нүктесінде тең екіге бөлінеді. 
Демек, 
AD
 = 
DO
 = 
OA
1
, 
CE
 = 
EO
 = 
OC
1
,  яғни 
AA
1
  және 
CC
1
 медианалар
 О
 нүктеде 2 : 1 қатынаста бөлінеді. 
Нақ  сол  сияқты  үшінші 
BB
1
  медиана  – 
AA
1
  және 
CC
1
 медианалардың әрқайсысымен қиылысу нүктесін-
де  2 : 1  қатынасында  бөлінетіні  дәлелденеді.  Әрбір  медиана  үшін  бұндай 
бөліну бірыңғай және үш медиана бір нүктеде қиылысады. 
Үшбұрыш медианаларының қиылысу нүктесі 
центроид
 немесе  
ауыр­
лық  орталығы
  деп  те  айтылады.  Бұндай  атауларды  төмендегі  тәжірибе 
арқылы тексеріп көріңдер: картон қағаздан ерікті үшбұрыш қиып алыңдар 
және  оның  медианаларын  жүргізіңдер,  содан  соң  инені  яки  өткір  ұшты 
қаламды медианалардың қиылысу нүктесіне қойып, тепе-теңдікте ұстауға 
әрекет жасаңдар (4-сурет).
3. Үшбұрыш биссектрисаларының қиылысу нүктесі.
Үшбұрыштың үш биссектрисасы бір нүктеде қиылысады.
Дәлелдеу.  АВС 
үшбұрышының   
AA
1
 
және 
BB
1
  биссектрисалары  қиылыс қан 
нүктесін  О-мен  белгілейік.  Ол  нүк те ден 
сәйкесінше 
AB
, 
BC
  және 
CA
  түзулеріне 
OK
, 
OL
  және 
OM
  перпендикулярларын 
жүргіземіз  (5-сурет).  Бізге  белгілі  бол-
ғанындай,  бұрыш  биссектрисасының 
ерік ті  нүктесінен  бұрыш  қабырғала-
рына  дейінгі  қашықтықтар  тең.  Соның 
негі зінде 
OK
 = 
OK
  және 
OK
 = 
OL
.  Сондықтан 
ON
 = 
OL
,  яғни 
О
  нүкте   
АСВ 
бұрыштың қабырғаларынан тең алыстайды және, демек, сол бұрыштың 
CC
1
 
биссектрисасында жатады. Бұдан АВС үшбұрышының үш биссектрисасы да 
О нүктеде қиылысатыны келіп шығады. Теорема дәлелденді.

жүктеу/скачать 5,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: