КЕЗДЕЙСОҚ ОҚИҒАЛАРДЫ МОДЕЛЬДЕУ

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
27
немесе орындалмауы 
q = Р(
A ) =1- p  
ықтималдылығы.  Бұл  өрнектердегі  n  мен  m  –  тиісінше,  жалпы 
сынақтар  санымен,  сол  сынақтарда  А  оқиғасының  орындалған 
санын белгілейді.  
Кездейсоқ  қарапайым  оқиғаның  осы  қысқаша  сипаттама-
сынан кейін оны модельдеу әдісімен танысайық. 
A   оқиғасы 
 
p
A
P

  ықтималдығымен  берілсін.  Қарапайым 
оқиғаны  модельдеудің  негізі  ретінде  келесі  теореманы 
тұжырымдайық. 
2.1-теорема.  Қарапайым 
A
  оқиғасының  берілген  ықтимал-
дылығы 
p ,  ал  базалық 

  кездейсоқ  шамасының  тәуелсіз 
нақтыламасы 
z
  болсын.  Сонда 
A
  оқиғасы  пайда  болу  үшін 
p
z 
 шарты орындалуы керек. 
Дәлелдемесі: 











p
p
.
p
dz
dz
)
z
(
f
p
P
)
A
(
P
p
0
0
1

 
Бұл  дәлелдеменің  екінші  теңдігі  теореманың  шарты 
бойынша  жазылған.  Келесі  теңдік  ықтималдық  теориясындағы 
үлестірім  және  тығыздық  функциялардың  арасындағы  байла-
нысты  сипаттайды.  Төртінші  теңдік  базалық 

  кездейсоқ 
шамасының  бірқалыпты  заңдылығына  сәйкес,  оның  тығыздық 
функциясы  бірге  теңдігінен  шығады.  Демек,  математиканың 
негізгі қағидалары бойынша екінші теңдіктің екі жағы да бірдей 
санға  тең  болса,  ол  теңдік  ақиқат  деп  саналады.  Теорема 
дәлелденді. 
Бұл  теоремаға  негізделіп  құрылған  қарапайым  оқиғаны 
модельдейтін алгоритм жеті қадамнан тұрады: 
1-қадам. 
1

j
 болсын; 
2-қадам. 

 кездейсоқ шамасының 
z
 нақтыламасын алу; 
3-қадам. 
p
z 
  шартын  тексеру.  Шарт  орындалмаған  жағ-
дайда 5-қадамға көшу; 
4-қадам. 
A  оқиғасының орындалуын  S  санымен таңбалау; 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
28
5-қадам. 
1

 j
j
 деп аламыз; 
6-қадам. 
n
j 
 шартын тексеру, мұндағы 
n
 тәуелсіз сынақтар 
саны; 
7-қадам.  S  мәнін баспалау. 
 
2.2. Оқиғалардың толық тобын модельдеу 
 
n
A
...,
,
A
,
A
,
A
3
2
1
  –  үйлесімсіз  оқиғалардың  толық  тобы 
болсын.  Бұл  оқиғалардың  ықтималдылықтары  (2.2)  теңдігімен 
берілген: 








n
n
p
...
p
p
A
...
A
A
2
1
2
1
,                                   (2.2) 
мұндағы 
 
.
p
,
n
,
k
,
A
P
p
n
k
k
k
k
1
1
1





 
Оқиғалардың  толық  тобын  модельдеу  үшін, 
 
1
0;
z 
  кез-
дейсоқ  сандарын  қолданамыз.  Алдын-ала 
 
1
0;
  аралығын 
бірнеше кесіндіге бөліп алайық. Бұл кесінділердің мәндері мына 
шартпен алынсын (2.1-сурет): 
k
k
p


. 
Үйлесімсіз  оқиғалардың  толық  тобын  модельдеуге  негіз 
ретінде тағы  
 
 
2.1-сурет 
 
бір теореманы тұжырымдайық: 
2.2-теорема.  Кездейсоқ  сан 
z
  базалық 

  кездейсоқ  шама-
сының тәуелсіз нақтыламасы болсын. Сонда оқиғалардың толық 
тобын  құратын  әрбір 
k
A   оқиғасы, 
k
z


  шарты  орындалғанда 
ғана 
k
p  ықтималдығымен табылады. 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
29
Дәлелдемесі: 
k
k
k
k
k
p
}
z
{
P
)
A
(
P
p







. 
Бұл  дәлелдеменің  де  екінші  теңдігі  теореманың  шарты 
бойынша  жазылған.  Үшінші  теңдік  базалық 

  кездейсоқ 
шамасының  бірқалыпты  заңдылығымен  байланысты,  себебі 
бірқалыпты  заңдылықтың  нақтыламаларының  0  мен  1-дің 
арасындағы  қандай  да  болмасын  интервалға  түсу  ықтималдығы 
сол интервалдың мәніне тең болатынынан шығады. Сондықтан, 
бұл жолы да математиканың негізгі қағидаларына сәйкес, екінші 
теңдіктің екі жағы да бірдей санға тең болғандықтан, ол теңдікті 
ақиқат деп есептейміз. Теорема дәлелденді. 
2.2-теоремаға негізделе  отырып, оқиғалардың толық тобын 
модельдейтін алгоритм келесі қадамдарды қамтиды: 
1-қадам. 
1

j
 болсын. 
2-қадам. 

 кездейсоқ шамасының 
z
 нақтыламасын табу. 
3-қадам. 
1

k
 деп алайық. 
4-қадам. 
k
z


  шартын  тексеру.  Шарт  орындалған 
жағдайда 6-қадамға көшу. 
5-қадам. 
1

 k
k
 деп алайық. 4-қадамға қайту. 
6-қадам. 
k
z


 оқиғасының орындалу нәтижесін таңбалау: 


.
S
S
k
k
1


 
7-қадам. 
1

 j
j
 деп алайық. 
8-қадам. 
n
j 
  шартын  тексеру, 
n
  –  сынақтың  берілген 
саны. Бұл шарт орындалмаған жағдайда 2-қадамға көшу керек. 
9-қадам. 
k
S -ның ақырғы мөлшерін баспалау. 
 
4-ші  қадамдағы 
k
z


  шартын  тексеру  былайша  іске 
асырылады. 2-қадамда алынған 
z
 кездейсоқ санын 
1
p
 ықтимал-
дылығымен салыстырамыз. Егер 
1
p
z 
 болса, онда 
1
A
 оқиғасы 
орындалғаны,  ал 
1
p
z 
  болса, 
z
  санын 


2
1
p
p 
-мен  салыс-
тырамыз. Егер 


2
1
p
p
z


 шарты бұзылмаса, онда 
2
A
 оқиғасы 
орындалғаны,  ал  керісінше  жағдайда  жаңа 


3
2
1
p
p
p
z



 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
30
шартын  тексереміз.  Осы  сұлба  берілген  сынақ  мөлшері 
таусылғанша жалғаса береді. Мұндай салыстырулардың орташа 
саны  мына формуламен анықталады [10]:  







1
1
1
n
k
n
k
p
)
n
(
p
k
t
. 
Осы  алгоритмнің  жылдамдығын  көтеру  үшін 
t
-ның 
мөлшерін  азайту  керегі  анық.  Оның  бірнеше  тәсілдері  белгілі. 
Соның  біреуі 
 
k
A   оқиғаларын  (2.3)  шарты  орындалатындай 
етіп қайта таңбалау:  
.
p
...
p
p
n



2
1
                              
(2.3) 
 
2.3. Күрделі оқиғаларды модельдеу 
 
Күрделі  оқиға  деп,  нәтижесі  екі  немесе  одан  да  көп 
қарапайым  оқиғалардың  нәтижесіне  байланысты  оқиғаны 
айтады. Күрделі оқиғалар тәуелді және тәуелсіз болып бөлінеді. 
Егер  күрделі  оқиғаның  құраушылары  тәуелсіз  қарапайым 
оқиғалар  болса,  оқиғаның  өзі  де  тәуелсіз  болады.  Мысалы, 
жатақхананың  бір  бөлмесінде  тұратын  екі  студенттің  емтихан 
тапсыруы  керек  болсын.  А  оқиғасы  1-ші  студенттің  емтиханды 
ойдағыдай  тапсыру  оқиғасы,  ал  В  оқиғасы  2-ші  студенттің 
ойдағыдай  тапсыруына  сәйкес  келсін.  Бұл  қарапайым  оқиға-
ларды тәуелсіз деп санауға болатыны айқын. 
Осы мысалдағы күрделі оқиғаның нақтыламалары мыналар:   
.
 
AB
,
B
A
,
B
A
,
AB
 
Олардың ықтималдылықтары: 



 


.
p
p
,
p
p
,
p
p
,
p
p
B
A
B
A
B
A
B
A




1
1
1
1
 
Осындай  күрделі  оқиғаларды  модельдеуге  жоғарыда 
қарастырылған  2.1-теоремасы  негіз  бола  алады.  Сол  теоремаға 
сүйене  отырып,  тәуелсіз  күрделі  оқиғаларды  модельдейтін 
алгоритммен танысайық:  
1-қадам. 
1

j
 деп алайық. 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
31
2-қадам.  Базалық 

  кездейсоқ  шамасының 
1
,

j
j
z
z
  тәуел-
сіз  нақтыламаларын табайық. 
3-қадам. 
A
j
p
z 
 және 
B
j
p
z

1
 шартының іске асырылуын 
тексеру. 
4-қадам.  3-ші  қадамдағы  салыстырудың  нәтижесіне  байла-
нысты  төрт санағыштың біреуіне бірді қосу керек. 
;
S
S
AB
AB
1


 
;
S
S
B
A
B
A
_
_
1


 
;
S
S
_
_
B
A
B
A
1


 
.
S
S
____
____
AB
AB
1


 
5-қадам. 
2

 j
j
 деп алайық.  
6-қадам. 
n
j
2

 шартын тексеру, мұндағы 
n
  сынақтардың 
берілген саны. Бұл шарт орындалса 2-ші қадамға көшу. 
7-қадам.  4-ші  қадамда  анықталған  санағыштардың  қоры-
тынды мөлшерін баспалау. 
Енді  А  және  В  оқиғалары  бірінен  бірі  тәуелді  болатын 
жағдайды  қарастырайық.  Жоғарыда  келтірілген  мысалдағы  екі 
студентті  бұл  жолы  жас  жұбайлар  деп  есептейік.  Ендігі  жерде 
ерлі-зайыпты  студенттердің  біреуі  емтиханын  тапсыра  алмаса, 
ол  жанұяның  бюджетіне  әдеуір  нұқсан  келтіреді.  Сондықтан, 
екінші  студенттің  емтихан  тапсыру  барысына  өзінің  әсерін 
тигізеді, яғни осы екі оқиғаны біріне-бірін тәуелді қылады. 
Бұл  жағдайда 
A
p
  және 
B
p
  ықтималдығынан  өзге 
A
B
p
/
 
шартты  ықтималдық  берілуі  тиіс.  Тәуелді  күрделі  оқиғаларды 
модельдеу  үшін  де  2.1-теоремасына  негізделген  қарапайым 
оқиғаларды модельдеу сұлбасын қолдануға болады. 
Төменде келтірілген алгоритм екі оқиғадан тұратын күрделі 
тәуелді оқиғаны модельдейді. 
1-қадам. 
1

j
 деп алайық. 
2-қадам. 
_
A
/
B
_
p
)
A
/
B
(
P

 шартты ықтималдығын есептеу. 
3-қадам.  Базалық 

  кездейсоқ  шамасының 
j
z
  нақтылама-
сын табу. 
4-қадам. 
A
p
z 
  шартын  тексеру.  Бұл  тексерудің  нәтижесі 
келесі 2 санағыштың біреуінде сақталады: 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
32
;
S
S
A
A
1


 
.
S
S
_
_
A
A
1


 
5-қадам.  Базалық 

  кездейсоқ  шамасының 
1

j
z
  нақты-
ламасын табу. 
6-қадам.  4-ші  қадамдағы  салыстыру  нәтижесіне  қарай 
келесі екі шарттың біреуінің орындалуын тексеру: 
A
/
B
j
P
z

1
 немесе 
_
A
/
B
j
P
z

1
. 
7-қадам.  6-шы  қадамдағы  салыстыру  нәтижесіне  қарай 
келесі төрт санағыштың біреуінің мәніне бір сан қосылады: 
;
S
S
AB
AB
1


 
;
S
S
B
A
B
A
_
_
1


 
;
S
S
_
_
B
A
B
A
1


 
.
 
S
S
____
____
AB
AB
1


 
8-қадам. 
2

j
 деп алайық. 
9-қадам. 
n
j
2

  шартын  тексеру.  Бұл  шарт  орындалған 
жағдайда 3-ші қадамға көшу. 
10-қадам.  Барлық    санағыштардың  қорытынды  мөлшерін 
баспалау.  Екінші  қадамда  қаралатын 

A
/
B
p
  шартты  ықтимал-
дылықты  есептеу  үшін  толық  ықтималдылықтың  формуласы 
қолданылады: 
)
p
/(
)
p
p
p
(
p
A
A
/
B
A
B
A
/
B




1
. 
 
Бақылау сұрақтары 
1.  z=0.14  болғанда 
3
0
5
0
2
0
2
1
.
.
.
A
A
A
n
-түрінде  берілген 
толық топты оқиғаны модельдеудің нәтижесін табыңыз.  
2.  z=0.714  болғанда 






2
0
1
0
3
0
2
0
2
0
5
4
3
2
1
.
.
.
.
.
A
A
A
A
A
-
түрінде  берілген  толық  топты  оқиғаны  модельдеудің  нәтижесін 
табыңыз.  
3.  Күрделі  оқиға  қарапайым  А  және  В  оқиғаларынан 
тұрсын. Сонда тәуелсіз  күрделі оқиғаны модельдеу үшін қандай 
бастапқы деректер берілуі тиіс? 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
33
4.  Күрделі  оқиға  қарапайым  А  және  В  оқиғаларынан 
тұрсын.  Тәуелді    күрделі  оқиғаның  2  нақтыламасын  модель-
деңіз. Бастапқы деректер:  
A
p  = 0.4;                 
B
p  = 0.5;   
A
/
B
p
 
= 0.6; 
1
z
=0.7; 
2
z
=0.5; 
3
z
=0.25; 
4
z
=0.9. 
5.  Модельдеу  алгоритмінің  тиімділігін  арттыру  үшін  1-ші 
бақылау сұрағының кестесін қалай өзгертуге болады? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
34
3. ҮЗДІКСІЗ КЕЗДЕЙСОҚ ШАМАЛАРДЫ МОДЕЛЬДЕУ 
 
3.1. Үздіксіз кездейсоқ шамаларды модельдеу  
       әдістерін жіктеу 
 
Берілген  үлестірім  заңына  сай  кездейсоқ  шамаларды 
модельдеу  үшін,  кездейсоқ  заңдарын  модельдеудің  жоғарыда 
қарастырылған негізгі принципі бойынша, 

 базалық кездейсоқ 
шамасын  түрлендіру  қажет.  Мұндай  түрлендірудің  төрт  бағытын 
атап  көрсетуге  болады:  аналитикалық,  таңдамалы,  ықтимал-
дылық және құрмаланған. 
Кездейсоқ 

  шамасының 
i
z
  нақтыламасын  аналитикалық 
түрлендіргенде,  берілген  үлестіру  заңы  бар 

  шамасының 
нақтыламасы  деп  қарастыруға  болатын 
x
  санын  анықтайтын 
операция орындалады. Бұл бағытта ең көп тараған әдістің бірі – 
кері  функция  әдісі.  Алайда,  үлестіру  заңы  қарапайым 
функциялармен  бейнеленбейтін  маңызды  үлестірімдердің  бір 
қатары үшін, бұл әдісті іс жүзінде қолдану мүмкін емес. 
Келесі  таңдамалы  бағыттың  негізі  мынада  –  базалық 
кездейсоқ  тізбектің  кейбір  саңдарын,  берілген  үлестірім  заңына 
бағынатын жаңа тізбек құратындай етіп, таңдап алуға болады. 
Таңдамалы  әдістердің  арасында  Джон  Фон  Нейманның 
“шығарып тастау” әдісі кең таралған. Өкінішке орай, бұл әдіс те 
универсалды  емес.  Онымен  тек  қана,  нақтыламалары  жабық 
 
b
,
a
  кесіндісінде  жататын  кездейсоқ  шамаларды  модельдеуге 
болады және бұл әдіс “бос жүрістің” үлкен санымен сипатталады. 
Үшінші  бағыт,  берілген  үлестірім  заңына  қолданбалы 
пайдалануға  жеткілікті  дәлдікпен,  жақындауды  қамтамасыз 
ететін, 
ықтималдықтар 
теориясының 
шектік 
теоремалар 
шарттарын  модельдеумен  байланысты.  Бұл  бағыттың  қолдану 
аймағы шектік теоремалар санымен шектелетіні айқын. 
Үлестірім  заңы  өте  күрделі  кездейсоқ  шамаларды 
модельдеген  кезде,  тек  төртінші  бағыттың  әдістерін  пайдалану 
арқылы  оң  нәтижеге  жетуге  болады.  Бұл  әдістердің  негізінде, 
үлестірім  заңы  белгілі  кездейсоқ  шаманы  модельдеу  үшін,  бір 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
35
мезгілде  бірнеше,  жоғарыда  қаралған  әдістерді  қолдану  керек. 
Яғни,  бұл  бағыттың  бір  әдісі,  оның  атауына  сәйкес,  басқа 
бағыттардың бірнеше әдістерінен құрастырылады. 
Төменде  әр  бағыттан  бір-бір  әдіс  қарастырылған.  Біздің 
ойымызша,  бұл  әдістер  бір-бірін  толықтыра  отырып,  кездейсоқ 
заңдылықтары үлестірім функциясымен, әлде графикпен, немесе 
кесте  түрінде  берілген,  кез  келген,  іс  жүзінде  мәні  бар  үздіксіз 
кездейсоқ шамаларды модельдеуді қамтамасыз етеді. 
 
3.2. Кері функция әдісі 
 
Кездейсоқ 

  шамасы 


b
,
a
  интервалында  анықталған, 
тығыздық  функциясы 
 
b
x
a
,
x
f


 0
  берілген  шама  болсын 
және 


a
, 


b
  болатын  жағдай  шектелмесін.  Сонда  бұл 
шаманың үлестірім функциясы 


x
a
dx
)
x
(
f
)
x
(
F
 
болады. 
Кері  функция  әдісінің  теориялық  негізін  мына  теорема 
түрінде тұжырымдайық. 
3.1-теорема.  Кездейсоқ  сан 
z
  бірқалыпты  үлестірімді 
базалық 

 кездейсоқ шамасының нақтыламасы болсын. Сонда 
z
)
x
(
F
  немесе 
)
z
(
F
x
1


                          (3.1) 
өрнегінен  табылған 
x   саны,  алдын  ала  берілген, 
)
x
(
f
 
тығыздығымен сипатталатын  

 кездейсоқ  шамасының нақты-
ламасы болады. 
Дәлелдеу: 
Кездейсоқ 

 шамасының 
]
z
,
[ 0
 кесіндісіне түсу ықтимал-
дылығын анықтайық: 
.
z
)
x
(
F
}
x
{
P
)}
x
(
F
)
(
F
{
P
}
z
{
P










     (3.2) 
Осы өрнектің бірінші тендігі теореманың (3.1) шартынан алы-
нып  жазылған.  Екінші  теңдіктің  туралығы,  үлестірім  функция-
сының  мөлшері  нөлден  бірге  дейін  бірсарынды  өсуінен  шығады. 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
36
Төртінші  теңдік  “айдан  да  айқын”,  себебі  ол  үлестірім  функция-
сының  екі  түрлі  жазылуынан  шығады.  Соңғы  теңдік  бірқалыпты 
үлестірімді  базалық  кездейсоқ  шаманың  [0;1]  интервалының  кез 
келген  ішкі  интервалына  түсу  ықтималдылығы  осы  аралықтың 
ұзындығына әр уақытта тең болатын негізгі қасиетін, яғни 
z
}
z
{
P



 
екенін көрсетеді. 
Кері  функция  әдісін  іс  жүзінде  қолдану  үшін 
x
 
нақтыламасын мына интегралдық теңдеуді шешіп табу қажет: 
.
z
dx
)
x
(
f
j
j
x
a


                                   (3.3) 
3.1-  мысал.  Тығыздық  функциясы 
2

 x
)
x
(
f
  болатын 

 
кездейсоқ шамасы 
)
,
[ 
1
 интервалында анықталған. 
Шешуі.  Осы  кездейсоқ  шаманың 
x   нақтыламасын  табу 
үшін (3.3) қатынасын қолданайық: 
j
j
x
z
x
/
dx
x
j





1
1
1
2
 сонда 
).
z
/(
)
z
(
F
x
j
j
j




1
1
1
 
Кері функция әдісінің алгоритмі келесі қадамдардан тұрады. 
1-қадам. 
1

j
 болсын. 
2-қадам. Кездейсоқ 

 шамасының 
z  нақтыламасын модельдеу. 
3-қадам.  Кездейсоқ 

  шамасының 
j
x
  нақтыламасын 
есептеу: 
).
z
(
F
x
j
j
1


 
4-қадам. 
1

 j
j
 болсын. 
5-қадам. 
n
j 
  шартын  тексеру.  Мұндағы 
n
  саны   
x
 
нақтыламаларының  алдын  ала  тағайындалған  қажетті  мөлшері. 
Бұл шарт орындалған жағдайда 2-ші қадамға оралу керек. 
6-қадам. 
)
x
(
j
 мәндерін баспалау. 
 
 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
37

жүктеу/скачать 2,94 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: