Оқулық ретінде ұсынған Алматы 2012

Д.Н. Шоқаев 
 
 
48
3.6.4. Экспоненциалдық үлестірім 
 
Экспоненциалдық  үлестірім  “пайда  болу  уақытымен” 
сипатталатын  біраз  нақтылы  процестерді  бейнелейді.  Мысалы, 
электрон аппараттарының істен шықпай жұмыс істеу ұзақтығы, 
телефон  шылдырының  арасындағы  уақыт  аралығы,  немесе  ірі 
жер сілкіністер арасы және т.б. 
Экспоненциалдық үлестірімнің тығыздық функциясы: 
x
e
)
x
(
f




, 
.
x
0

 
Математикалық үміті: 
.
/
m
)
(
M
x


1


 
Дисперсиясы: 
.
/
}
{
D
x
2
2
1





 
Бұл  үлестірімді  модельдеу  үшін  кері  функция  әдісін 
қолданамыз: 
.
z
e
dx
e
)
x
(
f
j
x
x
x
x
j
j







0
0
1



 
Демек, кері функция 
)
z
ln(
x
j
j



1
1

                             (3.14) 
тең  болады. 

  мен 



 1
1
  кездейсоқ  шамаларының  екеуі  де 
 
1
0;   арасында  бірқалыпты  үлестірілгенін  ескере  отырып,  (3.14) 
формуланың орнына есептеуге тиімдірек 
j
j
z
ln
x

1


                                  (3.15) 
формуласын келтірейік. 
Экспоненциалдық  үлестірімді 

  кездейсоқ  шамасын 
модельдейтін алгоритм келесі қадамдардан тұрады. 
1-қадам. 
1

j
 болсын. 
2-қадам.  Базалық 

  кездейсоқ  шаманың 
z
  нақтылама-
ларын табайық. 
3-қадам. (3.15) формула бойынша 

 кездейсоқ шамасының 
j
x
 нақтыламасын есептеу керек және 
1

 j
j
 болсын. 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
49
4-қадам.  Алгоритмнің  аяқталу  шартын 
n
j 
  тексеріп,  ол 
орындалмаған жағдайда 2-ші қадамға көшу керек. 
5-қадам. 
 
j
x
 баспалау. 
 
3.6.5. Сызықтық үлестірім 
 
Сызықтық заңның үлестірім тығыздығы мына формуламен 
беріледі: 
.
 
;
x
 
),
x
(
)
x
(
f












2
0
2
1
 
Бұл  кездейсоқ  шаманың  үлестірім  тығыздығының  графигі 
3.3.-суретте көрсетілген. 
 
 
 
3.3-сурет 
 
Математикалық үміті: 
.
m
)
(
M
x


3
2


 
Дисперсиясы: 
.
)
(
D
x
2
2
9
2





 
Сызықтық  үлестірім  нақтыламаларын  есептейтін  формула-
ны кері функция әдісімен алуға болады: 
.
z
x
x
dx
x
)
x
(
F
j
j
x
j


















2
0
4
2
1




 
 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
50
Сонда кері функция 
)
z
(
x
j
j


1
2

                                (3.16) 
тең. Осы формулаға негізделген алгоритм бес қадамнан тұрады. 
1-қадам. 
1

j
 болсын. 
2-қадам.  Базалық 

  кездейсоқ  шаманың 
j
z
  нақтыламасын 
модельдеу. 
3-қадам. 
j
x
-ді  (3.16)  формуласымен  есептейміз  және 
1

 j
j
 деп аламыз. 
4-қадам.  Модельдеудің  аяқталу,  яғни 
n
j 
  шартын  тексеру. 
Бұл  шарт  орындалмаған  жағдайда  2-ші  қадамға  қайта  оралу 
қажет. 
5-қадам. 
 
j
x
 баспалау. 
 
3.6.6. Гамма-үлестірімі 
 
Тығыздық функциясы (3.17) өрнегімен берілген және барлық 


x
)
k
(
k
e
x
!
k
)
x
(
f






1
1
                           (3.17) 
параметрлері  оң,  яғни 
,
x
,
k
,
0
0
0





  кездейсоқ  шамасы 
гамма  үлестіріміне  бағынады.  Бұл  кездейсоқ  шаманың  мате-
матикалық үміті мен дисперсиясын келтірейік: 
.
 
/
k
]
[
D
,
/
k
m
]
[
M
x
2







 
Әртүрлі  кездейсоқ  құбылыстарды  бейнелейтін  көптеген 
теріс  емес  кездейсоқ  шамаларды гамма  үлестірімінің  көмегімен 
сипаттауға болады. 
Шынымен, 

 мен  k  параметрлері гамма-үлестірімі заңының 
сұлбасы  мен  масштабын  анықтайтын  болғандықтан,  бұл 
параметрлердің 
мөлшерлерін 
таңдау 
арқылы 
тығыздық 
функциясының  түрін  күрделі  (3.4-сурет)  өзгертуге  болады. 
Сондықтан,  бұл  заң  көптеген  қолданбалы  зерттеулерде 
пайдаланылатын универсалды үлестірім ретінде танымал. 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
51
 
 
3.4-сурет 
 
Гамма-үлестірімі  параметрлерінің  мәнін  анықтау  үшін 
мына өрнектерді қолдануға болады: 
2
2
x
x
m
k


 және 
.
m
x
x
2



 
Гамма-үлестірімінің  тағы  бір  ерекшелігі,  параметрлерінің 
мәнін  өзгерту  арқылы  осы  үлестірімнің  жекеленген  жағдайы 
ретінде  бірнеше  пайдалы  басқа  үлестірім  заңдарын  алуға 
болады.  Мысалы, 
1

k
    тең,  ал 

-  тұрақты  сан  болса,  гамма- 
үлестірімінің  көмегімен  экспоненциялдық  заңға  бағынышты 
кездейсоқ шама модельденеді. Егер 
k
-ң бүтін санды мәні болса, 
онда  гамма-үлестірімі  k -ретті  Эрланг  үлестірімі  деп  аталады. 
Әрі  қарай,  егер 
1


  болса,  онда 
k
  өскен  сайын  гамма-
үлестірімі  қалыпты  үлестірімге  жақындайды.  Ал 
2
1 /
k 
  және 
2

i
  (
i
–  еркіндік  дәрежесінің  саны)  деп  алып, 
2
   үлестірімді 
кездейсоқ шаманы модельдеуге болады. 
Гамма-үлестірімімен  сипатталатын 

  кездейсоқ  шамасының 
нақтыламалары 
)
z
...
z
z
ln(
)
/
(
x
k





2
1
1

 
формуласымен  есептеледі.  Бұл  формула,  гамма  тығыздық 
функциясының  k  параметрін  бірге тең деп қарастырғанда, кері 
функция әдісі арқылы алынған 
 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
52
)
z
ln(
)
/
(
x
1
1



 
формуласының 
1

k
  болғандағы  толықтырылмасы  болады. 
Гамма-үлестірімін  модельдейтін  алгоритм  келесі  қадамдардан 
тұрады. 
1-қадам. 
1

i
 болсын. 
2-қадам. 
1
1


j
  
,
S
 болсын. 
3-қадам.  Базалық 

  кездейсоқ  шамасының 
j
z
  нақтылама-
сын табу. 
4-қадам. 
z
S
S


 және 
1

 j
j
 екенін тағайындау керек. 
5-қадам. 
k
j    екенін  тексеру  керек.  Бұл  шарт  орындал-
маған жағдайда 3-қадамға қайтамыз. 
6-қадам. 
i
x
 нақтыламасын есептеу. 
7-қадам.  Есептеудің  аяқталу,  яғни 
n
j 
  шартын  тексеру. 
Бұл шарт орындалмаған жағдайда 2-қадамға оралу. 
8-қадам. 
 
j
x
 баспалау. 
 
Бақылау сұрақтары 
1. Мына формула 
)
z
(
m
x
i
i
x
x
6
12
1






 қандай кездейсоқ 
заңдылықты модельдеу үшін қолданылады? 
2.  Мына  формула 
2
1
2
21
z
cos
nz
cos
r
x





  қандай 
кездейсоқ заңдылықты модельдеу үшін қолданылады және оның 
артықшылықтары қандай? 
3.  Мына  формула 
)
z
ln(
x
j
j



1
1

  қандай  кездейсоқ 
заңдылықты модельдеу үшін қолданылады және оның кемшілігі 
неде? 
4.  Мына  формула 
)
S
/
nS
(
V
m
x
x
x
21
1
1




  қандай 
кездейсоқ заңдылықты модельдеу үшін қолданылады және оның 
2
1
2
21
z
cos
nz
cos
r
x





 өрнегімен байланысы неде? 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
53
5.  Мына  формула 
)
a
b
(
z
a
x
i



  қандай  кездейсоқ 
заңдылықты модельдеу үшін қолданылады? 
6. Мына формула 
)
z
...
z
z
ln(
x
k
i





2
1
1

 қандай кездейсоқ 
заңдылықты  модельдеу  үшін  қолданылады  және  қай  әдіспен 
табылған? 
7.  Кері  функция  әдісі  қандай  кездейсоқ  заңдылықтарды 
модельдеу  үшін  қолданылады  және  оның    қолданылу  аумағы 
қандай? 
8.  Шектік  теоремалар  әдісі  қандай  кездейсоқ  заңдылық-
тарды модельдеу үшін қолданылады? 
9. Дж. Нейманның шығарып тастау әдісі қандай  кездейсоқ 
заңдылықтарды    модельдеу  үшін  қолданылады  және  оның  
қолданылу аумағы қандай? 
10.  Берілген  z  =  0,6  бойынша 
5
3
2
/
)
x
(
}
x
{
P




 
үлестірім-заңдылығына 
бағынышты 
кездейсоқ 
шаманың 
нақтыламасын табыңыз. 
11.  Берілген  z  =  0,6  бойынша 
 
4

 x
x
F
үлестірім-
заңдылығына  бағынышты  кездейсоқ  шаманың  нақтыламасын 
табыңыз.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
54
4. ДИСКРЕТТІ КЕЗДЕЙСОҚ ШАМАЛАРДЫ 
    МОДЕЛЬДЕУ 
 
4.1. Дискретті кездейсоқ шамаларды модельдеудің 
       негізгі әдісі 
 
Дискретті  кездейсоқ  шамасын  гректің 

  әрпімен  белгілеп, 
оның үлестірім заңын келесі үлестірім кестесімен сипаттайық: 
.
p
...
p
p
x
...
x
x
m
m









2
1
2
1

                            (4.1) 
Мұндағы 
}.
{
k
k
x
P
p



 
Дискретті 

 кездейсоқ шамасының сипаттамасы жоғарыда 
қаралған  үйлесімсіз  оқиғалардың  толық  тобының  (2.1)  сипат-
тамасына  ұқсас  екені  анық  көрініп  тұр.  Айырмашылығы  – 
үлестірім кестесінің жоғарғы жолында 
k
A  оқиғаларының орны-
на 
k
x   нақтыламалары  орналасқан.  Сондықтан, 

  дискреттік 
кездейсоқ  шамасын  модельдеу  үшін  2.2-теоремасына  негіз-
делген  2.2-параграфта  қаралған  алгоритмді  қолдануға  болады. 
Ол  үшін,  тек 
}
A
{
k
  оқиғаларын 

  кездейсоқ  шамасының 
}
x
{
k
 
нақтыламаларымен алмастыру керек. 
Дискретті  кездейсоқ  шамаларды  модельдеудің  бұл  әдісі 
универсалды  болғанымен,  компьютер  уақытының  елеулі 
шығындалуына  әкеледі.  Сондықтан,  белгілі  дискретті  үлестірім 
заңдарын  модельдеу  үшін,  есептеуге  тиімді  басқа  әдістерді 
қарастырайық. 
 
4.2. Геометриялық үлестірім 
 
Егер  кейбір  оқиға  p   ықтималдылығымен  орындалатын 
болса,  онда  осы  оқиғаның  пайда  болуына  дейінгі  біріне  бірі 
тәуелсіз  сынақтардың 

  кездейсоқ  саны,  геометриялық 
үлестіріммен сипатталады. Демек,  p  ықтималдығымен 
1


-ге. 


p
p

1
 ықтималдығымен 
2


-ге, ал жалпы алғанда 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
55


k
k
p
p
)
p
(
k
P




1
1

                        (4.2) 
ықтималдығымен 
k


-ға тең болады. 
Геометриялық 
үлестірімнің 
математикалық 
үміті: 
,
p
/
)
p
(
m
]
[
M
x



1

  ал  диперсиясы 
2
1
p
/
)
p
(
]
[
D



-ге 
тең. 
Геометриялық  үлестірімді 

  кездейсоқ  шамасын  модельдеу 
үшін: 
)]
p
ln(
/
[ln


1


                                (4.3) 
формуласын қолдануға болады. 
Мұндағы 

  –  квадрат  жақшаның  ішіндегі  өрнекке  тең 
немесе  одан  артық  бүтін  сан.  Бұл  формула  геометриялық 
үлестірімі бар кездейсоқ  шаманың нақтыламасын тудыратынын 
көрсетейік [14]: 
.
p
)
p
(
p
)
p
(
)
p
(
}
)
p
(
)
p
{(
P
)}
p
ln(
k
ln
)
p
ln(
)
k
(
{
P
}
k
)
p
ln(
/
ln
k
{
P
}
k
{
P
p
k
k
k
k
k
k
k
































1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1




 
Геометриялық  үлестірімді  модельдейтін  алгоритмді  мына 
түрде келтіруге болады. 
1-қадам. 
1

j
 деп аламыз. 
2-қадам.  Базалық 

  кездейсоқ  шамасының 
z   нақтылама-
сын табу. 
3-қадам. 

 кездейсоқ шамасының 
j
x
 нақтыламасын есептеу. 
1
1



)]
p
ln(
/
z
[ln
Ц
x
j
 және 
1

 j
j
 деп алу керек. 
4-қадам.  Есептеудің  аяқталу,  яғни 
n
j 
,  шартын  тексеру. 
Бұл шарт орындалмаған жағдайда 2-ші қадамға көшу. 
5-қадам. 
}
x
{
j
  нақтыламаларын баспалау. 
 
 
 
 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
56
4.3. Биномиалдық үлестірім 
 
Атақты  ғалым  Бернулли  ұсынған  биномиалдық  заңдылық 
дискреттік үлестіріммен сипатталады және қарапайым оқиғаның 
екі: орындалу және орындалмау нәтижелерін белгілейді. 
Кез келген қарапайым А оқиғасы  
р = Р(А) 
ықтималдылығымен  берілсін,  ал  А  оқиғасының  орындалмау 
ықтималдылығы 
q = 1-p 
тең  болсын.  Сонда  n  сынақта  А  оқиғасының  орындалуын 
сипаттайтын 

 кездейсоқ шамасының нақтыламалары 
0,1,...k,...,n 
сандарына тең болса және ықтималдылықтары 
k
n
k
k
n
k
q
p
C
}
k
{
P
p





                             (4.4) 
өрнегімен анықталса, осы заңдылық биномиалдық үлестірім деп 
аталады. 
Осы  өрнектен  биномиалдық  үлестірім  екі:  р  және  n 
параметрлерімен бейнелетінін байқаймыз. 
Бұл үлестірімнің математикалық үміті  
m = np, 
ал дисперсиясы 
D = np(1-р) 
тең болады. 
А қарапайым  оқиға болғандықтан, бұл үлестірімді модель-
деу  үшін  екінші  тараудағы  2.1-теоремасын  негізге  ала  аламыз. 
Сонда  биномиалдық  үлестірімді  модельдейтін  алгоритм  келесі 
қадамдардан тұрады: 
1-қадам. Бастапқы деректер: n және p берілсін. 
2-қадам. Базалық 

 кездейсоқ шамасының n рет тәуелсіз z
j
, 
j=1,n нақтыламалары алынсын. 
3-қадам.  2.1-теоремасына  сәйкес  z
j
≤p, 
n
,
j
1

  шарты 
тексеріліп, осы шарттың орындалған  k  саны есептелсін.   
4-қадам.  Биномиалды  үлестірімнің  кезекті  нақтыламасы 
белгіленсін 
k


. 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
57
Бұл  алгоритм  n-параметрлерінің  кішігірім  мәндеріне 
қолданылады. 
  
 4.4. Пуассон үлестірімі 

жүктеу/скачать 2,94 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: