Оқулық ретінде ұсынған Алматы 2012

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
67
6. КЕЗДЕЙСОҚ ПРОЦЕСТЕРДІ МОДЕЛЬДЕУ 
 
Жалпы  жағдайда,  кездейсоқ  процестердің  математикалық 
моделі  ретінде  кездейсоқ  уақыт  функциясы 
 
t

  қолданылады. 
Бұл  кездейсоқ  функция  математикалық  үміт 
 
 


t
M
t
x
m


, 
дисперсия 
 


t
D

  және  корреляциялық  функциямен 
 
j
t
,
i
t
x
R
 
бейнеленеді.  Бұл  үш  сипаттамалардың  бәрі  де  кездейсоқ  емес 
уақыт  функциялары  болып  табылады  және  оларды,  тәжірибе 
бақылауынан  алынған  деректерді  математикалық  статистика 
әдістерімен өңдеу арқылы, оңай табуға болады.  
 
6.1. Стационарлық емес кездейсоқ процестерді 
       модельдеу 
 
Стационарлық емес кездейсоқ процестерді модельдеу үшін 
академик В.С. Пугачев каноникалық жіктеу әдісін ұсынды [17, 18]. 
Кездейсоқ  функция 
 
t

  өзінің  корреляциялық  функциясымен 






j
t
,
i
t
x
R
 және математикалық үмітімен 
 
t
x
m
 берілсін. Сондай-
ақ уақыт осінде орналасқан 
n
t
,
,
t
,
t

2
1
 мезгілдері белгілі болсын 
(бұл  мезгілдер  бір-бірінен  бірдей  қашықтықта  тұруы  міндетті 
емес).  Енді 
 
t

  кездейсоқ  процесінің 
 
t
x
  нақтыламаларын 
модельдеу  керек.  Ол  үшін  кездейсоқ  процесті  каноникалық  
жіктейік: 
   
 
 
 
t
i
m
i
i
t
x
m
t







1
.                            (6.1) 
Мұндағы 
i

  –  үлестірім  заңы  белгілі,  корреляцияланбаған 
және орталандырылған кездейсоқ шамасы, 
 
t
i

 – координаттық 
функциясы деп аталатын кездейсоқ емес уақыт функциясы.  
Сонымен,  кездейсоқ  процестерді  каноникалық  жіктеу 
әдісімен  модельдеу  үшін,  алдын-ала  координаттық  функция-

Д.Н. Шоқаев 
 
 
68
ларды  және 

  кездейсоқ  шамасының  дисперсиясын  анықтап 
алу керек.  
Корреляциялық  функция  мен  дисперсияның  каноникалық  
жіктеуін мына түрде жазайық: 
 
 
 



i
k
k
D
j
t
k
i
t
k
j
t
,
i
t
x
R
1


,                   (6.2) 
 


 


.
k
D
i
k
t
k
i
t
,
i
t
R
i
t
x
D
X
2
1





 
 
(6.3) 
Осы  екі  өрнектен, 
j
i 
  болғанда 
0







j
t

,  ал 
 
1

i
t

 
екенін ескере отырып, координаттық функциялар мен 
i

 кездей-
соқ  шамасының 
i
D
  дисперсиясын  анықтайтын  формулаларды 
шығаруға болады: 
 
 
i
D
i
k
j
t
k
i
t
k
D
j
t
,
i
t
R
j
t
i
X

























1
1


,     
(6.4) 
 
 
k
D
i
k
j
t
k
j
t
,
i
t
R
i
D
X
2
1
1






















. 
 
(6.5) 
Енді 
 
t

  кездейсоқ  процесінің 
 
t
x
  нақтыламаларын 
есептейтін формуланы келтіретін уақыт жетті: 






















j
t
i
j
i
i
y
j
t
m
j
t
x
X

1
, 
n
j
,
1

. 
(6.6) 
Мұндағы 
i
y
 – кездейсоқ 

 шамасының нақтыламасы. Осы 
кездейсоқ  шамасының  үлестірім  заңын  өз  еркімізбен  таңдауға 
болады,  мысалы,  ол  бірқалыпты  заң  болуы  мүмкін.  Тек,  осы 
тәсілмен  гаусс  процестерін  модельдегенде  ғана 
i

  кездейсоқ 
шамасы қалыпты үлестірімге бағынышты болуы керек.  

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
69
6.1-мысал. 
 
bt
a
t
x
m


  математикалық  үмітімен  және 
мына корреляциялық матрицасымен: 
   

















26
0
0
0
24
0
30
0
0
20
0
26
0
35
0
.
.
.
.
.
.
j
t
,
i
t
R
X
  
берілген  қалыпты  үлестірімді  стационарлық  емес  кездейсоқ 
процесті модельдеу қажет болсын.  
Алдын-ала (6.4) және  (6.5) формулаларымен координаттық 
функцияларды және дисперсияларды есептеп алайық: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 
 
 
 
 
 


;
,
D
t
t
D
t
,
t
R
t
;
t
;
t
;
,
D
t
t
,
t
R
D
;
,
,
,
D
t
,
t
R
t
;
,
,
,
D
t
,
t
R
t
;
,
,
D
t
,
t
R
t
;
,
t
,
t
R
D
i
X
X
X
X
X
X
8568
0
1
0
1068
0
571
0
35
0
2
0
743
0
35
0
26
0
1
35
0
35
0
35
0
2
3
1
2
1
3
2
3
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
3
1
3
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1






























 
 
 


 


 
 
 
.
t
;
t
;
t
;
,
D
t
D
t
t
,
t
R
D
X
1
0
0
0675
0
3
3
2
3
1
3
2
2
3
2
2
3
1
3
2
3
1












 
Енді  кездейсоқ 
 
t

  процесінің 






j
t
x
  нақтыламаларын 
есептеуге болады: 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
70
 
 
 
.
y
y
,
y
,
bt
a
t
x
;
y
y
,
bt
a
t
x
;
y
bt
a
t
x
3
2
1
3
3
2
1
2
2
1
1
1
8568
0
571
0
743
0












 
Каноникалық  жіктеу  әдісінің  алгоритмі  алдын-ала  және 
негізгі модельдеу сатыларынан тұрады.  
Алдын-ала модельдеу сатысы: 
1-қадам. (6.5) және (6.4) формулалары бойынша 
i
D
, 
n
,
i
1

  
дисперсияларын және 
 
j
i
t

, 
n
,
i
1

, 
n
,
j
1

 есептеу. 
Негізгі саты: 
2-қадам.  Математикалық  үміті 
0

y
m
,  дисперсиясы 
i
D
, 
n
,
i
1

  белгілі 

  кездейсоқ  шамасының 
i
y
, 
n
,
i
1

  нақтылама-
ларын модельдеу.  
3-қадам.  (6.6)  формула  бойынша 






j
t
x
  іске  асырылуын 
есептеу керек.  
4-қадам. 
1

 j
j
 деп алайық. 
5-қадам. 
n
j 
  шартын  тексеру, 
n
  –  уақыт  бөлігінде 
берілген  нүктелер  саны.  Бұл  шарт  орындалмаған  жағдайда  3-
қадамға қайтамыз. 
6-қадам. 






j
t
x
 нақтыламаларын баспалау. 
 
6.2. Стационарлық кездейсоқ процестерді модельдеу 
 
Стационарлық кездейсоқ процестерді модельдеу үшін оның 
корреляциялық  функциясы 
 

R
,  математикалық  үміті 
m
  және 
дисперсиясы 
2

  берілуі  қажет.  Сонда  стационарлы  кездейсоқ 
процестерінің 
n
t
t
t
,...,
,
2
1
 
нүктелеріндегі 
нақтыламаларын 
есептеу формуласының түрі мынадай болады: 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
71












n
i
j
i
y
i
a
m
j
t
x
1
1
,  
.
n
,
j
1

                (6.7) 
Мұндағы  y  –    дисперсиясы 
2

  және  математикалық  үміті 
нөлге 
тең 
корреляцияланбаған 
кездейсоқ 
шаманың 
нақтыламасы.  
Бұл  формуладағы 
i
a
, 
n
,
i
1

  коэффициенттері  мына 
қатынастан табылады: 

 

2
1
1
2
1
1

n
k
n
k
k
k
a
a
a
a
a
a
t
t
R









. 
(6.8) 
Егер  стационарлық  кездейсоқ  процестер  қалыпты  үлес-
тірімді  болса,  онда  (6.7)  және  (6.8)  қатынастарын  мына  түрде 
жазуға болады: 












n
j
j
i
u
i
a
m
j
t
x
1
1
,  
n
,
j
1

               (6.9) 


n
k
n
k
k
k
a
a
a
a
a
a
t
t
R
1
1
2
1
1









.          6.10) 
 
Мұндағы 
u
  –  қалыпты  үлестірілген  кездейсоқ  шаманың 
мөлшерленген нақтыламасы.  
6.2-мысал.  Корреляциялық  функциясы 
 


k
e
,
R


2
0
 
(мұндағы 
j
t
j
t



1

)  және  математикалық  үміті 
m
-ге  тең 
қалыпты  стационарлық  процестің 


4
3
2
1
3
2
1
0
,
,
,
j
  
,
,
,
,
t
j


  нүкте-
леріндегі нақтыламаларын модельдеу керек болсын. 
Шешуі:  {a
i
}  коэффициентерін  анықтау  үшін  (6.10) 
формуласын пайдаланайық: 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
72








.
a
a
;
a
a
a
a
;
a
a
a
a
a
a
e
,
t
t
R
e
,
t
t
R
e
,
t
t
R
;
a
a
a
a
e
,
t
t
R
4
1
1
4
1
4
4
2
3
1
1
3
1
3
4
3
3
2
2
1
1
2
1
2
2
4
2
3
2
2
2
1
0
2
1
2
0
2
0
2
0
2
0
























 
2

k
  болғанда 
0
2
0



k
e
,
  екенін  ескере  отырып,  мына 
теңдеулер жүйесін жазуға болады: 
   
;
,
a
a
a
a
2
0
2
4
2
3
2
2
2
1




 
   
.
a
a
;
a
a
a
a
;
,
a
a
a
a
a
a
0
0
0271
0
4
1
4
2
3
1
4
3
3
2
2
1






 
Соңғы теңдеуді былай нақтылайық: 
0
4

a
, 
0
1

a
 болсын. 
Сонда  үшінші  теңдеуден: 
0
3
1

a
a
,  яғни 
0
3

a
  екенін 
табамыз. Енді теңдеулер жүйесінің түрі мынадай болады: 
.
,
a
a
;
,
a
a
0271
0
2
0
2
1
2
2
2
1



 
Оны  шеше  отырып, 
06
0
1
,
a 
, 
44
0
2
,
a 
  екенін  анық-
таймыз.  Енді  берілген 
 
t

  кездейсоқ  процесінің 
 
t
x
  нақты-
ламасын  модельдейтін  (6.9)  формуласының  түбегейлі  түрін 
жазуға болады: 
   
 
1
44
0
06
0




j
j
u
,
u
,
m
t
x
j
, 
4
3
2
1
,
,
,
j 
. 
Стационарлы процестерді модельдеу алгоритмі екі сатыдан 
тұрады. 
 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
73
Алдын-ала даярлану сатысы: 
1-қадам.  (6.8)  қатынасымен 
а
і
, 
n
,
i
1

  параметрлерін 
есептеу.  
Негізгі саты: 
2-қадам. Дисперсиясы 
2

 және математикалық үміті нөлге 
тең 

  кездейсоқ  шамасының 
1
2
2
1

n
y
,...,
y
,
y
  нақтыламаларын 
модельдеу.  
3-қадам. 
1

j
 деп алайық. 
4-қадам.  (6.7)  формуласы  бойынша 
 
j
t
x
  нақтыламасын 
есептеу.  
5-қадам. 
1

 j
j
 болсын.  
6-қадам. 
n
j 
  шартының  орындалуын  тексеру.  Бұл  шарт 
орындалмаған жағдайда 4-ші қадамға қайта оралу.  
7-қадам. 
 


j
t
x
 нақтыламаларын баспалау.  
   
6.3. Марков процестерін модельдеу 
 
Марков  процестері  деп  [19,20],  олардың  алдағы  уақыттағы 
ықтималдылық сипаттамаларын болжау үшін, бұл процестердің 
қазіргі  уақыттағы  сипаттамаларын  білу  жеткілікті  болатын, 
кездейсоқ процестерді айтады.  
Саналымды  ғана  күйлері 
i
S , 
n
,
i
1

  бар  және  осы  күйлері 
бір-біріне  дискретті  мезгілдерде  ғана  көше  алатын  біртекті 
марков процестерін қарастырайық.  
Марков  процестерін  толық  анықтау  үшін  бастапқы 
 
0
i
P
, 
n
,
i
1

 
ықтималдылықтарын 
және 
өту 
ықтималдылығы 
матрицасын беру қажетті: 
 

Д.Н. Шоқаев 
 
 
74















nn
n
n
n
n
p
p
p
p
p
p
p
p
p
P







2
1
2
22
21
1
12
11
.                  (6.11) 
Мұндағы 







i
j
ij
S
S
P
p
  –  алдағы  қадамда  процесс 
i
S
 
күйінде  болса,  келесі  қадамда 
j
S
  күйіне  көшудің  шартты 
ықтималдылығы.  
Марков  тізбегіндегі  кездейсоқ  процесс,  алдын-ала  белгі-
ленген 
n
t
,...,
t
,
t
2
1
  моменттерінде  кездейсоқ  жағдайда,  өзінің  бір 
i
S
 күйінен екінші 
j
S
 күйіне көшуін бейнелейді, мысалы,  
...
S
S
S
S
S





4
1
2
3
1
           (6.12) 
Демек,  марков  процестерін  модельдеу  (6.12)  сипатты 
тізбектерді  анықтаудан  тұрады  және  келесі  сұлба  бойынша 
орындалады [21,22]. 
Ең  бірінші, 
 
,
p
P
i
i
0
0 
 
n
,
i
1

  ықтималдылықтарының 
көмегімен  марков  тізбегінің  бастапқы  күйі  таңдалып  алынады. 
Ол үшін (6.13) ықтималдықтар кестесімен берілген оқиғалардың 
толық  тобын  модельдеу  әдісін  қолданып,  марков  тізбегінің 
бастапқы күйін, мысалы, 
m
S -ді табу керек. 
 
 
n
n
p
p
p
S
S
S
0
02
01
2
1


                     (6.13) 
Сол сияқты бұл тізбектің келесі мүшесін де табуға болады. 
Алайда,  бұл  жерде  (6.13)  кестесінің  төменгі  жол  элементтері 
ретінде  (6.11)  матрицасының  m-ші  жолының  элементтері 
пайдалынады.  Осы  көрсетілген  әдісті  бірнеше  рет  қайталау 
нәтижесінде  марков  процесінің  мүмкін  болатын  бір  нақты-
ламасын аламыз: 
i
K
m
S
S
S




. 

Компьютермен модельдеу негіздері 
 
 
75
Осы  сұлба  бойынша  күрделі  марков  процестерін,  мысалы, 
біртекті емес марков процестерін де модельдеуге болады. 
Дискретті 
n
  күйі  бар  біртекті  марков  процестерін 
модельдейтін нақтылы алгоритмді келтірейік: 
1-қадам. 
1

i
 және 
0

k
 деп алайық. Мұндағы 
i
 – марков 
тізбегінің қадамының нөмірі, 
k
 – марков процесінің күйлерінің 
индексі. 
2-қадам. 
kj
j
p
p 
, 
n
,
j
1

 болсын. 
3-қадам.  Базалық 

  кездейсоқ  шамасының 
z
    нақтылама-
сын табу керек. 
4-қадам. 
1

k
, 
k
p
R 
 деп алайық. 
5-қадам. 
R
z 
 шартын тексеру. Бұл шарт орындалса, 7-ші 
қадамға көшу.  
6-қадам. 
1

 k
k
  және 
k
p
R
R


  болсын.  5-ші  қадамға 
оралу. 
7-қадам. 
k
i
S
S 
 және 
1

 i
i
 деп алайық. 
8-қадам.  Марков  тізбегінің  барлық  қадамы  модельденгенін 
n
i 
  шарт  арқылы  тексеру  керек.  Шарт  орындалмаса  2-ші 
қадамға қайта оралу. 
9-қадам. Алынған нәтижелерді баспалау. 
 

жүктеу/скачать 2,94 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: