Перевод профессионально

Virtually  all  important  mathematical  structures  come  with  a  notion  of 

equivalence.  For  instance,  we  regard  two  groups  as  equivalent  if  they 

are  isomorphic,  and  we  regard  two  topological  spaces  as  equivalent  if 

there  is  a  continuous  map  from  one  to  the  other  with  a  continuous 

inverse (in which case we say that they are 

). In general, 

a  notion  of  equivalence  is  useful  if  properties  that  we  are  interested  in 

are  unaffected  when  we  replace  an  object  by  an  equivalent  one:  for 

example, if 

G

 is a finitely generated Abelian group and 

is isomorphic to 

, then 

 is a finitely generated Abelian group.  

A  useful  notion  of  equivalence  for  algebraic  varieties  is  that  of 

birational

 equivalence. Roughly speaking, two varieties 

 and 

 are said 

to be birationally equivalent if there is a rational map from 

V

 to 

 with a 

 and 

 are presented as solution sets of equations 

in  some  coordinate  system,  then  these  rational  maps  are  just  rational 

functions  in  the  coordinates  that  send  points  of 

  to  points  of 

. 

However, it is important to understand that a rational map from 

 to 

 is 

 to 

, because it is allowed to be undefined 

at certain points of 

V

. 

Consider,  for  example,  how  we  might  map  the  infinite  cylinder  {(

, 

y

, 

z

): 

²+

y

² = 1} to the cone {(

x

, 

y

, 

z

): 

²+

y

² = 

z

²}. An obvious map would be 

the function 

f 

(

x

, 

y

, 

z

) = (

zx

, 

zy

, 

z

), which we could try to invert using the 

map 

g

 (

x

, 

y

, 

z

) = (

x/z

, 

y/z

, 

z

). However, 

 is not defined at the point (0, 0, 

0).  Nevertheless,  the  cylinder  and  the  cone  are  birationally  equivalent, 

and algebraic geometers would say that 

“blows up” the point (0, 0, 0) to 

, 

y

, 

z

): 

² + 

² = 1, 

 = 0}.  

 

49 

The  main  property  of  a  variety 

V

  that  is  preserved  by  birational 

equivalence  is  the  so-called 

function  field

  of 

V

,  which  consists  of  all 

rational  functions  defined  on 

V

.  (What  precisely  this  means  is  not 

completely  obvious:  in  some  contexts, 

V

  is  a  subset  of  a  larger  space 

such  as  Cⁿ  in  which  we  can  talk  about  ratios  of  polynomials,  and  then 

one  possible  definition  of  a  rational  function  on 

V

  is  that  it  is  an 

equivalence  class  of  such  ratios,  where  two  of  them  are  counted  as 

equivalent if they take the same values on 

V

). 

A  famous  theorem  of  Hironaka,  proved  in  1964,  states  that  every 

algebraic variety (over a field of characteristic 0) is birationally equivalent 

to  an  algebraic  variety  without  singularities,  with  some  technical 

conditions on the birational equivalence that are needed for the theorem 

to  be  interesting  and  useful.  The  example  given  earlier  is  a  simple 

illustration:  the  cone  has  a  singularity  at  (0,  0,  0)  but  the  cylinder  is 

smooth everywhere. Hironaka‟s proof was well over two hundred pages 

long, but his argument has since been substantially simplified by several 

authors. 

From ―The Princeton Companion to Mathematics‖ (2008),  

edited by Timothy Gowers

.   

2. Nota bene! 

 

жүктеу/скачать 0,86 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: