Оқулық Өзбекстан Республикасы Халыққа білім беру министрлігі баспаға ұсынған

110
Теорема.
Үшбұрыш ауданын есептейтiн формуланы шығару үшiн параллелограмм 
түрiне келтiру тәсiлiн пайдаланамыз.
Үшбұрыштың ауданы оның табаны мен осы табанына түсiрiлген 
биiктiктiң жарты көбейтiндiсiне тең болады:
=
⋅
a
S
a h
1
2
,
бұл жерде: 
а
 – үшбұрыштың табаны, 
h
a
 – табанға түсірілген биіктік.
Дәлелдеу.
 
АВС
  үшбұрышы  берiл-
ген  делiк  (1-сурет).
 
r
ABC
 
суретте 
көрсетiлгендей
 
ABCD 
(табаны 
BC
) 
параллелограмына 
айналдырамыз.
 
r
BAC
=
r
DCA
 
өзара  тең,  өйткенi    па-
рал  лелограмның  диагоналi  оны  тең 
екi  үшбұрышқа  бөледi.  Демек,   
ABCD
  
параллелограмының ауданы 
 
r
ABC
 
екi 
еселенген көлемiне тең болады. Яғни
 
2
S
  
= 
a · h
н
.
 
Бұдан 
. Теорема дәлелдендi.
Үшбұрыштың ауданын есептеу формуласын басқаша оқуға да болады:  
үшбұрыштың ауданы оның орта сызығы мен биiктiгiнiң көбейтiндiсiне 
тең 
(2-сурет):
⋅
=
2
a
a
S
h
.
1-салдар.
 
Тiк  бұрышты  үшбұрыштың  ауданы  катеттерiнiң  көбей-
тiн дiсiнiң  жарымына  тең, 
себебi  бiр  катеттi  —  табан,  ал  екiншiсiн  – 
биiктiк етiп алуға болады.  (3-сурет).
2-салдар.
 
Екi  үшбұрыш  аудандарының  өзара  қатынасы  олардың 
табандары мен биiктiктерiнiң қатынасындай болады
 (4-сурет).
Дәлелдеу.
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1
0,5
0,5
ABC
A B C
S
AC BD
AC BD
S
A C B D
A C B D
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
.
48. ҮШБҰРЫШТЫҢ АУДАНЫ
      BC
 
=
 
a
AP 
⊥
 BC
     AP
 = 
h
a
h
a
B
P
C
A
D
1
A
BC
 
=
 
a
AP 
⊥
 AC
AP
 = 
h
a
AD
 
=
 
DB
AE
 = 
EC
DE
 = 0,5
a
 
2
A
B
P
C
D
E
C
B
a
b
 3
A
D
C A
1
D
1
C
1
B
4
B
1
http:eduportal.uz

111
3-салдар.
 
Табандары  тең  екi  үшбұрыш  аудандарының  қатынасы 
биiктiктерiнiң қатынасындай 
(5-сурет).
Дәлелдеу.
 
1
1
2
2
0,5
0,5
ABC
DBC
S
a h
h
S
a h
h
⋅
⋅
=
=
.
4-салдар.
  Биiктiктерi  тең  екi  үшбұрыш  аудандарының  қатынасы 
табандарының қатынасындай
 (6-сурет).
Дәлелдеу.
 
⋅
⋅
⋅
⋅
=
=
=
1
1
0,5
0,5
ABC
A BE
S
BC h
BC
a
S
BE h
BE
a
, бұдан 
BC
 = 
a
, 
BE
 = 
a
1
.
5-салдар. 
Табандары  мен  биiктiктерi  тең  үшбұрыштар  –  теңау-
данды 
(7-сурет).
Дәлелдеу.
 
S
BAC
 = 
S
BDC
 = 
S
BEC
 = 0,5
ah
н
.
6-салдар.   
Үшбұрыштың  ауданы  оның  екі  қабырғасы  мен  олардың 
ара сындағы бұрыш синусы көбейтіндісінің жарты сына тең (8-сурет).
Дәлелдеу.    АВС 
үшбұрышының  қабырғалары 
ВС  =  а,  АС  =  б,  АВ=с  
болсын.  Ондай  жағдайда 
1
2
sin
S
bc
A
=
  екенін  дә-
лел дейміз.  Бұл  үшін 
АВС 
үш  бұ рышының 
BD = h
b
 
биіктігін жүргіземіз (8-су  рет). 
h
b
-ны 
с
 қабырға мен 
А
  бұрыштың  сину сы мен  өрнектейміз: 
h
b
 
= 
c 
sin
A
. 
Үшбұрыштың 
ауда нын 
есеп теу 
формуласы 
1
2
b
S
bh
=
-ға 
h
b
-
ның  осы  өрне гін  қо йып,  мына  фор-
муланы шығарамыз: 
=
1
2
sin
S
bc
A
.
Үшбұрыштың ауданын 
а, б
 қабырғалары және 
С
 бұрышының си нусы, 
а, с 
қабырғалары және 
В
 бұрышының синусы арқылы есептеу формулала-
ры осыған ұқсап шығарылады.
Сонымен  үшбұрыштың  ауданы  екі  қабырғасы  мен  олардың  ара-
сындағы бұрыш синусына орай осы формулалар бойынша есептеледі:
 
1
1
1
2
2
2
sin
sin
sin
S
ab
C
ac
B
bc
A
=
=
=
.
Үшбұрыштың  ауданын  қабырғалары  арқылы  есептеу  формуласын 
І  ғасырда  өмір  сүрген  ежелгі  грек  ғалымы 
Герон 
тапқандықтан,  ол 
A
 
D
 
8
C
 
B
 
h
b
AB
 
=
 
c
BC
 
=
 
a
AC
 
=
 
b
A
D
B
E
C
F
h
1
h
2
   
                
BC
 = 
a
AE 
⊥
 BC
      AE
 = 
h
1
     DF
 
⊥
 
BC
    F
 = 
h
2
    
 
B
C
E
h
A
A
1
5
6
7
B
C
a
A D
E
h
a
http:eduportal.uz

112
Герон  формуласы
  деп  аталады.  Герон  формуласы  үшбұрыштың  үш 
қабырғасының  ұзындығы  белгілі  болғанда  оның  ауданын  табу  үшін 
қолданылады.
Герон формуласының дәлелдемесін келтіріп шығарамыз.
Белгілі  болғанындай,  үшбұрыштың  ауданы  оның  табаны  мен  биіктігі 
көбейтіндісінің жартысына тең:
1
1
1
2
2
2
a
b
c
S
a h
b h
c h
=
⋅
=
⋅
=
⋅
.
Биіктіктің  орнына  оның  үшбұрышы  қабырғалары  арқылы  өрнек-
телгенде:
2
(
)(
)(
)
a
a
h
p p a p b p c
=
−
−
−
β
 
=
 
90°,
2
(
)(
)(
)
b
b
h
p p a p b p c
=
−
−
−
 және
2
(
)(
)(
)
c
c
h
p p a p b p c
=
−
−
−
ларды қойып, оны ықшамдап, мына Герон формуласын шығарамыз: 
(
)(
)(
)
S
p p a p b p c
=
−
−
−
, бұл жерде  
2
a b c
p
+ +
=
. 
1-есеп. 
Үшбұрыштың  медианасы  оны  екі  теңауданды  үшбұрышқа 
бөлетінін дәлел деңдер.
Дәлелдеу.
 
ВD  —  АВС 
үшбұрышының 
медианасы делiк (9-сурет). 
АВD
 және 
СВD
 
үшбұрыштарының 
АD 
және 
DС
 қабырғалары 
өзара  тең,  сондай-ақ  олардың  ортақ 
ВР
 
биiктiгi де бар, яғни олар үшбұрыштардың 
5-салдарына  орай  теңаудандылар  болып 
табылады: 
 
S
ABD
 
=
 S
CBD
. 
2-есеп. 
Берiлгенi: 
АВСD
  —  тiк    төрт-
бұ рыш,
 АС
 = 20 см, 
ВР=
 =12 см  
ВР 
⊥
 АС
 
(10-сурет).
Табу   керек:
 
S
ABCD
.
Шешуі.
 1) 
S
ABC
 = 0,5
AC
 ·
 BP
 =
= 0,5
 
·
 
20
 
·
 
12 = 120 (см
2
).
2) 
S
ABCD
 = 2
 
·
 S
ABC
 = 2
 
·
 
120 = 240  (см
2
).
Жауабы:
 
S
ABCD
 = 240 см
2
.
?
 1. 
1) Үшбұрыштың ауданы неге тең?
 
2) Тiк бұрышты үшбұрыштың ауданы қалай есептеледi?
 
3) Қабырғаларына орай үшбұрыштың ауданы қалай есептеледі?
 2. 
Тiк бұрышты үшбұрыштың катеттерi: 1) 4 см және 7 см;
   2)  1,2  дм және 25 см. Тiк бұрышты үшбұрыштың ауданын тап.
C
A
P
D
A
D
B
      AD
 
=
 
DC
BP 
⊥
 AC   
9
10
 B
C
P
Сұрақтар, есептер және тапсырмалар
http:eduportal.uz

113
 
3. 
Бiр  үшбұрыштың  табаны  20  см,  биiктiгi  8  см.  Екiншi  үшбұрыштың 
табаны  40  см.  Үшбұрыштар  теңауданды  болуы  үшiн  екiншi  үш-
бұрыштың биiктiгi қандай болуы керек?
 
 4.  ABC
  үшбұрышта 
AB
 = 5
AC
.  Үшбұрыштың 
C
  және 
B
  төбелерiнен 
жүргiзiлген биiктiктерiнiң қатынасы нешеге тең?
 5.  a
 — үшбұрыштың  табаны, 
h
 — табанына  түсiрiлген  биiктiк, 
S
 — 
үшбұрыштың ауданы. Белгiсiз шамаларды тап.
 
 
1 
   2 
3 
4 
5 
6
a 
69 см 
 0,8 дм 
? 
0,25 м 
? 
0,9 м
h
a
 
0,5 м 
? 
20 дм 
 100 см 
4,8 см 
?
 
S
 
? 
4 см
2 
2000
 
см
2
 
? 
9,6 мм
2 
36 дм
2
 6.  
Катеттердің (
a
 және 
b
) көбейтіндісі  гипотенуза 
(с)
 
мен  тікбұрыш  төбесінен  гипотенузаға  түсі рілген 
биіктіктің (
h
c
) көбейтіндісіне тең  (11-сурет).
 
Шешуі. 
Егер катеттердің біреуін табан деп қа был-
дасақ, ол жағдайда  екіншісі биіктік болады. Сон-
дықтан тікбұрышты үшбұрыштың ауданы ка теттер 
көбейтіндісінің жартысына тең болады:
 
=
1
2
S
ab
, бұдан 
ab 
=
 
2
S
; 
=
1
2
c
S
ch
, бұдан 
ç
c
 
=
 
2
S
. 
 
Демек, 
ab 
=
 ç
c
 екен. Осыны дәлелдеу талап етілген 
еді. 
 
Үшбұрыштың катеттері:  1) 12 см және 16 см;  2)  5 см және 12 см-ге тең. 
с
-ны (Пифагор теоремасына орай) және 
h
c
 (
ab 
=
 ç
c
 -қа орай) табыңдар.
 7. 
12-суреттен  теңауданды  үшбұрыштарды  көрсетіңдер.  Жауаптарыңды 
негіздеңдер.
 8.
  Қабырғалары: 1) 39 см, 42 см, 45 см; 2) 35 см, 29 см, 8 см; 3) 20 см, 
 
20 см, 32 см-ге тең болған үшбұрыштың ауданын табыңдар.
 9. 
13-суреттегі 
S
  пішіннің  ауданы    параллелограмм  ауданының  қандай 
бөлігін құрайды?
10. 
Үшбұрыштың ауданы 150 см²-қа тең.  Үшбұрыштың биіктіктері  15 см, 
12 см және 20 см-ге тең болса, оның периметрін табыңдар.
11. 
Үшбұрыштың екі қабырғасы 5 дм және 6 дм, олардың арасындағы бұ-
рыш 30º. Үшбұрыштың ауданын табыңдар. Есепті екі әдіспен шешіңдер.
A
D
P
C
B
A
a
11
b
h
c
 D
AB
 
=
 
c

жүктеу/скачать 5,14 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: