Логика в школьном курсе математики
жүктеу/скачать 207,37 Kb. Pdf көрінісі
|
logic 2 глава
| « Обвинитель
: «Если подсудимый виновен, то у него был сообщник». Защитник : «Это неверно!» Ничего хуже защитник сказать не мог. Почему?» Перейду к примерам из математики. Пусть предложение имеет форму конъюнкции, дизъюнкции или импликации. Вы увидите на лицах учеников отсвет недоумения, предложив им сформулировать верное отрицание, например, таких предложений. 1 ) Число 6 делится на 3 и число 5 делится на 3. 2) Число 5 делится на 3 или число 7 делится на 3. 3 ) Число 5 делится на 3 либо число 7 делится на 3. (Здесь - разделительная дизъюнкция) 4 ) Если число 6 делится на 3, то число 5 делится на 3. 5 ) Данная фигура – квадрат или прямоугольник. 6 ) Данная фигура – прямоугольник и квадрат. 7 ) Данная фигура – квадрат либо прямоугольник. (Здесь - разделительная дизъюнкция) 8 ) Данная фигура – не квадрат и даже не прямоугольник. 9 ) Данная фигура – не только квадрат или прямоугольник. 10 ) Данная фигура – только не квадрат или прямоугольник. 11 ) Диагонали параллелограмма, пересекаясь, делятся точкой пересечения пополам. 12 ) Медианы треугольника, пересекаясь, делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, считая от вершины. 13 ) Если функция чётная или нечётная, то ее график симметричен относительно начала координат и относительно оси ординат. 14 ) Если в четырёхугольнике стороны равны, а диагонали взаимно перпендикулярны, то он является квадратом. 15 ) Два равновеликих треугольника равны, если они имеют пару соответственно равных сторон. Уже простейшие эти примеры показывают наличие трудностей при освоении отрицания. Но учитель отрицает постоянно – неверные ответы или решения учеников. Отрицая их, требуется демонстрировать ученикам свои, построенные отрицания и объяснять, почему они построены именно так. В некоторых случаях приходится использовать доказательство от противного, для этого надо понимать, в чём оно состоит и уметь строить контрапозицию к данной теореме. Без отрицания тут не обойтись.
Возникает соблазн – известным образом формализовать построение отрицания: развесить кванторы и затем обработать их соответствующим образом. Но нужна ли такая формализация, может быть, полезнее добиваться от учеников верного содержательного построения отрицания? А если да — учить манипуляциям с кванторами, то когда это начинать?
Другого типа трудности возникают при растолковании теорем, когда нам требуется сформулировать теорему , обратную заданной. Несложно это получается разве что в тех случаях, когда в условии и заключении теоремы всего одно утверждение, хотя и тут не всё гладко – об этом дальше.
Прямое и обратное утверждение. путают не только ученики, но и мои коллеги. Например, недавно в газете «Математика» мне попалась следующая «находка». Её автор приводит утверждение «Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, то один из его корней равен 1». А доказывает его так: подставим в квадратное уравнение вместо переменной число 1 и увидим, что сумма его коэффициентов равна нулю. Вот так!
более одного утверждения. Бывает, что её непросто даже сформулировать. В частности, возникает вопрос, как поступать с разъяснительной частью прямой теоремы при переходе к обратной: оставлять такой же или как-то видоизменять? Как, например, выглядит предложение, обратное теореме «Два перпендикуляра, проведённые к одной плоскости, параллельны»? Или теореме «Диагонали параллелограмма, пересекаясь, делятся точкой пересечения пополам»? А о теореме :«Диагонали ромба взаимно перпендикулярны» я прочитал как – то , что она не имеет обратной. Возьмём теорему «Если прямая касается окружности, то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен этой прямой». Аккуратная формулировка обратного предложения выглядит так: «Если радиус, проведённый в точку касания прямой с окружностью, перпендикулярен к этой прямой, то прямая касается окружности», но такая формулировка кажется неудачной. На практике создается другое предложение, близкое по смыслу данному , которое и называют обратным. Надо подумать, что для нас является дидактической целью. Получить верное предложение, связанное по смыслу с данным, но при этом достаточно вольно обращаться с разъяснительной частью и простыми высказываниями, входящими в формулировку теоремы, а потом назвать полученное верное предложение обратной теоремой? Или же выстроить согласно неким предписаниям структуру обратного предложения и установить, будет ли оно истинным, после чего, возможно, называть его обратной теоремой?
Добавлю к месту ещё несколько замечаний. •
Не для каждого предложения есть обратное. Примеры: утверждение «1 > 0» (дети тут же скажут, что обратным ему будет такое: «0 < 1»); теоремы существования (или не существования); теоремы единственности. •
жүктеу/скачать 207,37 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|