Рис. 21 α O А а s А 1 А 2 Рис. 22

ми s и а в плоскости АА
1
А
2
является центральной
симметрией относительно точки О
=
s
а;
7) значит, точки А и А
2
симметричны относи
тельно точки О и в плоскости АА
1
А
2
, и в про
странстве;
8) поэтому
a ×
s
=
О.
Задача 3
(17, д, рис. 23). Замысел решения.
Воспользуемся свойствами поворота.
Доказательство.
1) Любое движение (значит, и поворот во
круг оси) сохраняет параллельность прямой
и плоскости;
2) так как при повороте вокруг оси s
s
s
s
s
®
®
ü
ý
ï
þï
Þ
,
,
||
||
.
a
a
a
a
1
1
§ 4. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС, ВИНТОВОЕ
ДВИЖЕНИЕ
4.1. Теория
Продолжим доказательство теорем 2.
1. д) 1) Этот способ основан на свя
зи параллельного переноса простран
ства с параллельным переносом плоско
сти. Параллельный перенос простран
ства на вектор, параллельный плоско
сти АВВ
1
A
1
, вызывает в этой плоскости
параллельный перенос на тот же век
тор
r
m (рис. 24);
2) параллельный перенос плоско
сти является движением;
3) поэтому АВ
=
А
1
В
1
.
—
20
—
α
α
1
s
Рис. 23
Рис. 24
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

1. е) Последовательное выполнение (композиция) движений есть
движение. Поэтому винтовое движение является движением.
2. а) 1) Пусть при центральной симметрии с центром О прямая АВ
переходит в прямую А
1
В
1
(рис. 25). Прямые АВ, А
1
В
1
и точка О лежат
в одной плоскости;
2) поэтому прямую А
1
В
1
можно рассматривать как образ прямой АВ
при центральной симметрии плоскости AВА
1
В
1
относительно того же
центра;
3) как известно из планиметрии, при центральной симметрии пря
мая переходит в параллельную прямую. Следовательно, АВ || А
1
В
1
.
2. б) 1) Пусть при параллельном переносе на вектор
r
m (рис. 26) пря
мая АВ переходит в прямую А
1
В
1
. Ранее было доказано, что AB
¾ ®
¾
=
A B
1
1
¾ ®
¾
;
2) отсюда следует, что AB
¾ ®
¾
|| A B
1
1
¾ ®
¾
;
3) поэтому АВ || А
1
В
1
.
По аналогии с планиметрией можно сформулировать следующее
определение.
—
21
—
А
В
m
α
B
1
А
1
Рис. 26
А
B
O
α
А
1
B
1
Рис. 25
Рис. 27
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Две фигуры называются равными, если существует движение, кото
рое одну из них переводит в другую.
Существуют и другие примеры движений. Приведем их определения.
Скользящей симметрией (рис. 27, а) называется последовательное
выполнение симметрии относительно плоскости
a
и параллельного
переноса на вектор
r
m, параллельный этой плоскости.
Поворотной симметрией (рис. 27, б) называется последовательное
выполнение симметрии относительно плоскости
a
и поворота на неко
торый угол
j
вокруг оси s, перпендикулярной к этой плоскости.
4.2. Примеры решения задач
Задача 1
(20, а, рис. 28). В данной за
даче предлагается доказать одно из
свойств параллельного переноса.
Доказательство.
1) Пусть А
Î
а и
r
m А
А
( )
=
1
. Тогда
AA
m
1
¾ ®
¾
=
r
(по определению параллель
ного переноса);
2) так как AA
m
1
¾ ®
¾
=
r
, то АА
1
||
r
m;
3) имеем: а ||
r
m (по условию) и АА
1
||
r
m (по п. 2);
4) поэтому прямые а и АА
1
совпадают (как параллельные прямые,
имеющие общую точку А); значит, А
1
Î
а;
5) это означает, что любая точка А прямой а при параллельном пере
носе на данный вектор
r
m переходит в точку А
1
Î
а;
6) значит,
r
m a
a
( )
=
.
Задача 2
(20, в, рис. 29).
Решение.
1) По определению параллельного
переноса AA
m
1
¾ ®
¾
=
r
;
2) по определению координат век
тора AA х а y b z
c
1
¾ ®
¾
-
-
-
(
;
;
);
3) поэтому
х – а
=
2, у – b
=
3, z – c
=
4;
4) отсюда х
=
а
+
2, у
=
b
+
3, z
=
c
+
4.
Ответ:
А
1
(а
+
2; b
+
3; c
+
4).
—
22
—
Рис. 29
А
а
m
А
1
Рис. 28
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Задача 3
(20, е, рис. 30). Данная за
дача является типичным примером
задачи на применение метода гео
метрических преобразований.
Доказательство.
1) Пусть точка А принадлежит ли
нии пересечения плоскостей
a
и
g
, точ
ка В — линии пересечения плоскостей
b
и
g
. Воспользуемся параллельным пе
реносом на вектор
r
m
AB
=
¾ ®
¾
;
2) так как при параллельном пере
носе плоскость переходит в параллель
ную плоскость, то
r
m( )
a
b
=
;
3)
r
m( )
g
g
=
;
4) так как при параллельном переносе (как и при любом движении)
перпендикулярность плоскостей сохраняется, то
a g
a
b
g
g
b g
^
=
=
ü
ý
ï
þï
Þ ^
,
( )
,
( )
r
r
m
m
.
§ 5. ГОМОТЕТИЯ КАК ПРИМЕР ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ПОДОБИЯ
5.1. Теория
Гомотетией с центром О (рис. 31) и ко
эффициентом k
¹
0 называется такое пре
образование пространства, при котором
каждая точка Х переходит в точку X
1
та
кую, что OX
1
¾ ®
¾
=
kOX
¾ ®
¾
.
Теоремы 3
1. Гомотетия является преобразова
нием подобия.
2. При гомотетии прямая переходит
в параллельную прямую, плоскость —
в параллельную плоскость.
—
23
—
O
А
B
X
С
В
1
А
1
С
1
X
1
Рис. 31
А
α
β
В
γ
m
Рис. 30
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Доказательства.
1. 1) Точки О, A, В, А
1
, B
1
лежат в од
ной плоскости
b
(рис. 32);
2) гомотетия пространства с цен
тром О вызывает в этой плоскости гомо
тетию с тем же центром;
3) причем, как известно из планимет
рии, А
1
В
1
=
|k| АВ.
2. 1) Гомотетия пространства с цен
тром О вызывает в плоскости
b
гомоте
тию с тем же центром. Как известно из
планиметрии, гомотетия прямую пере
водит в параллельную прямую;
2) поэтому А
1
В
1
|| АВ;
3) кроме того, в силу теоремы 1.6 гомотетия плоскость будет перево
дить в параллельную плоскость.
5.2. Примеры решения задач
Задача 1
(см. рис. 32). Гомотетия пространства задана центром О
и парой гомотетичных точек А и А
1
. Дана некоторая точка В, не при
надлежащая прямой ОА. Постройте точку В
1
, гомотетичную точке В
в заданной гомотетии.
Решение.
1) Через прямую ОА и точку В проведем плоскость
b
;
2) в плоскости
b
проведем прямую АВ и прямую А
1
В
¢
, параллель
ную прямой АВ;
3) точку B
1
строим как точку пересече
ния прямых А
1
В
¢
и OB. Точка B
1
— искомая
точка (докажите это).
Задача 2
(23, б, рис. 33).
Построение. 1) На прямой а возьмем
произвольную точку М и построим ее образ
М
1
в данной гомотетии:
М
1
=
АМ
m,
где прямая m проходит через точку А
1
и m || AM;
—
24
—
O
B
В
1
А
А
1
B
α
β
?
Рис. 32
O
M
M
1
А
А
1
m
а
а
1
Рис. 33
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

2) через точку М
1
проведем прямую а
1
, параллельную прямой а.
Прямая а
1
— искомая прямая, гомотетичная прямой а в данной гомоте
тии.
Доказательство и исследование проведите самостоятельно.
Задача 3
(23, в, рис. 34).
Поиск решения. 1) Искомую точку Х нетрудно построить, если вна
чале построим гомотетичную ей точку Х
1
. Узнаем, какими свойствами
обладает точка Х
1
;
2) точка Х
1
должна принадлежать данной плоскости
a
(по усло
вию). Кроме того, она лежит на прямой m, проходящей через точку А
1
и параллельной прямой а;
3) итак, точка Х
1
находится как точка
пересечения прямой m и плоскости
a
:
Х
1
=
m
a
;
4) зная точку Х
1
, строим точку Х.
Построение. Строим:
1) m: А
1
Î
m, m || а;
2) Х
1
=
m
a
;
3) OХ
1
;
4) Х
=
OХ
1
а.
Точка Х — искомая точка.
Доказательство и исследование про
ведите самостоятельно.

жүктеу/скачать 9,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: