Теоремы 1 1. Движение и преобразование подобия переводят точки, лежа

2) точки A
1
, B
1
, C
1
не лежат на одной прямой. Проведем через них
плоскость
a
1
. Докажем, что П(
a
)
= a
1
;
3) для этого возьмем произвольную точку М
Îa
и докажем, что
П(M)
Îa
1
. Пусть K — точка пересечения прямых АС и MB. Образ точки
K — точка K
1
— должен лежать на прямой A
1
C
1
. Отметим точку
K
1
Î
A
1
C
1
;
4) тогда прямая ВK должна перейти в прямую B
1
K
1
, а точка М
Î
ВK —
в точку M
1
Î
B
1
K
1
;
5) так как M
1
Î
B
1
K
1
и B
1
K
1
Ì a
1
, то M
1
Îa
1
;
6) нетрудно теперь доказать, что произвольная точка T
1
Îa
1
являет
ся образом некоторой точки T
Îa
;
7) в итоге получаем, что П(
a
)
= a
1
.
6. 1) Докажем, что если преобразо
вание П переводит прямую в парал
лельную прямую, то преобразование
П плоскость переводит в параллель
ную плоскость. Пусть П(
a
)
= a
1
(рис. 5);
2) в плоскости
a
возьмем две пере
секающиеся прямые а и b;
3) пусть П(a)
=
a
1
, П(b)
=
b
1
. Пря
мые a
1
и b
1
пересекаются и принадле
жат плоскости
a
1
;
4) по условию а || а
1
, b || b
1
. Тогда
на основании признака параллельности двух
плоскостей
a
||
a
1
.
1.3. Примеры решения задач
Задача 1
(6, а, рис. 6).
Решение.
1) Пусть М(х
1
; у
1
; z
1
) и N(х
2
; у
2
; z
2
) — две про
извольные точки пространства. Тогда точки
М
1
(х
1
; у
1
; z
1
+
3) и N
1
(х
2
; у
2
; z
2
+
3) — их образы;
2) найдем квадраты расстояний MN и M
1
N
1
:
MN
2
=
(х
2
– х
1
)
2
+
(у
2
– у
1
)
2
+
(z
2
– z
1
)
2
,
M
1
N
1
2
=
(х
2
– х
1
)
2
+
(у
2
– у
1
)
2
+
(z
2
+
3 – z
1
– 3)
2
;
—
10
—
b
b
1
a||a
1
а
α
а
1
α
1
Рис. 5
B
В
1
С
С
1
O
x
y
z
Рис. 6
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

3) отсюда MN
=
M
1
N
1
и, значит, данное преобразование является
движением;
4) поэтому это преобразование переводит прямые в прямые;
5) прямая ВС (см. рис. 6) перейдет в прямую, проходящую через
точки B
1
(1; 2; 6) и C
1
(–1; –2; 0).
Задача 2
(6, в, рис. 7).
Решение.
1) Так как данное преобразование яв
ляется движением, то оно плоскость пере
водит в плоскость;
2) плоскость MNP перейдет в плос
кость, проходящую через точки M
1
(4; 0; 3),
N
1
(0; 3; 3), P
1
(0; 0; 5);
3) найдем уравнения плоскостей MNP
и M
1
N
1
P
1
. Воспользуемся общим уравне
нием плоскости:
Ах
+
Ву
+
Сz
+
D
=
0.
(*)
Для плоскости MNP имеем:
А
В
С
D
А
В
С
D
А
В
С
D
× + × + × + =
× + × + × + =
× + × + × + =
4
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2
0
,
,
,
А D
В
D
С D
ì
í
ï
îï
+ =
+ =
+ =
ì
í
ï
îï
4
0
3
0
2
0
,
,
Þ
A
D
B
D
C
D
= -
= -
= -
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
1
4
1
3
1
2
,
,
.
Выражения для А, В и С подставим в выражение (*):
-
-
-
+ =
1
4
1
3
1
2
0
Dx
Dy
Dz
D
,
-
-
-
+ =
1
4
1
3
1
2
1 0
x
y
z
.
Получаем уравнение плоскости MNP: 3x
+
4y
+
6z – 12
=
0.
Для плоскости M
1
N
1
P
1
имеем:
А
В
С
D
А
В
С
D
А
В
С
D
× + × + × + =
× + × + × + =
× + × + × + =
4
0
3
0
0
3
3
0
0
0
5
0
,
,
,
ì
í
ï
îï
4
3
0
3
3
0
5
0
А
С D
В
С D
С D
+
+ =
+
+ =
+ =
ì
í
ï
îï
,
,
Þ
C
D
B
D
A
D
= -
= -
= -
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
1
5
2
15
1
10
,
,
.
—
11
—
x
М
М
P
y
N
N
z
O
1
1
1
P
Рис. 7
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Выражения для А, В и С подставим в выражение (*):
-
-
-
+ =
1
10
2
15
1
5
0
Dx
Dy
Dz
D
,
-
-
-
+ =
1
10
2
15
1
5
1 0
x
y
z
.
Получаем уравнение плоскости M
1
N
1
P
1
: 3x
+
4y
+
6z – 30
=
0.
Ответ:
3x
+
4y
+
6z – 12
=
0, 3x
+
4y
+
6z – 30
=
0.
Задача 3
(6, ж, рис. 8).
Замысел доказательства. Воспользу
емся методом геометрических преобра
зований.
Доказательство.
1) Пусть а
a =
А. Так как А
Îa
, то по
условию точка А является неподвижной.
Значит, образ прямой а — прямая а
1
—
проходит через точку А;
2) так как движение сохраняет пер
пендикулярность прямой и плоскости, то
a
a
a
a
®
®
^
ü
ý
ï
þï
Þ
^
,
;
а
а
а
а
1
1
,
3) через точку А к плоскости
a
можно провести только одну перпен
дикулярную прямую. Поэтому прямые а и а
1
совпадают;
4) следовательно, в данном движении прямая а переходит сама
в себя.
§ 2. ВИДЫ ДВИЖЕНИЙ. СИММЕТРИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТИ, ЦЕНТРАЛЬНАЯ
СИММЕТРИЯ
2.1. Определения
Если плоскость
a
проходит через середину отрезка АA
1
(рис. 9, а)
и перпендикулярна к нему, то точки А и A
1
называются симметричны
ми относительно плоскости
a
.
Если точка принадлежит плоскости
a
, то относительно этой плос
кости она считается симметричной сама себе.
—
12
—
a
А
α
a
1
Рис. 8
© 
НМУ
«
Национальный
институт
образования
» 
© 
ОДО
«
Аверсэв
»

Преобразование, при котором каждая точка А (рис. 9, б) переходит
в симметричную ей точку А
1
относительно плоскости
a
, называется
симметрией относительно плоскости. Плоскость
a
называется плоско
стью симметрии.
Записывают:
a
(A)
=
A
1
. Эта запись означает, что при симметрии от
носительно плоскости
a
точка А переходит в точку A
1
.
Если
a
(А)
=
А
1
, то и наоборот,
a
(А
1
)
=
А. Говорят, что точки А и А
1
являются взаимно симметричными относительно плоскости
a
.
Если прямая s проходит через середину отрезка АА
1
(рис. 10, а)
и перпендикулярна к нему, то точки А и А
1
называются симметричны

жүктеу/скачать 9,35 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: