16
Физическая картина при этом процессе дает строго определенные по
амплитуде колебания. В частности, на длине
l
может умещаться в данном
случае лишь целое число полуволн:
l
=
n
· (
λ / 2).
Таким образом, в решении этого уравнения появляются некоторые
целые значения числа
n
= 1, 2, 3, 4... Соответственно, энергии и частоты
колебаний струны могут принимать лишь определенные дискретные
значения.
Аналогичные выводы могут быть сделаны также в отношении
двумерных и трехмерных осцилляторов с граничными условиями.
Принимая в расчет корпускулярно-волновой дуализм электрона и
другие накопленные к тому времени наукой знания об атоме, Э. Шредингер
выдвинул концепцию о том, что состояние электрона в атоме может быть
описано волновым уравнением с граничными условиями. В качестве таковых
предположено равенство нулю волновой функции
Ψ,
аналогичной
Φ
, при
нулевой и при бесконечной координате электрона относительно ядра:
Ψ│
x
= 0
= 0,
Ψ│
x
=
∞
= 0.
Для того чтобы отличать волновую функцию от амплитуды
механического осциллятора, ей присвоено обозначение
Ψ.
Вводя в уравнение
стоячей волны соотношение де Бройля, выражение для кинетической энергии
и энергии притяжения электрона к положительно заряженному ядру, а также
производя необходимые математические преобразования, можно получить
так называемое волновое уравнение Э. Шредингера:
∇
2
x,y,z
Ψ
+ ( 8
π
2
m
e
/
h
2
) · (
E – E
пот
) · Ψ = 0 .
Здесь
∇
2
x,y,z
есть оператор Лапласа, предписывающий двукратное
дифференцирование функции
Ψ
по трем координатам
x, y
и
z
;
m
е
–
масса
электрона;
h
–
постоянная Планка;
E
и
E
n
–
общая и потенциальная энергии
электрона, соответственно, а
Ψ
–
волновая функция.
В упрощенном виде это уравнение может быть представлено как
Ĥ
Ψ =
Е
· Ψ,
где
Ĥ
есть оператор Гамильтона, предписывающий соответствующие
математические операции над волновой функцией.
Таким образом, решение волнового уравнения Шредингера означает
нахождение вида волновой функции
Ψ
.
Волновая функция
Ψ
является ключевым понятием современной
теории атома. Очевидно, что здесь не может идти речи об амплитуде
колебаний материального объекта, как в случае механического осциллятора.
Волновая функция представляет собой некоторую характеристику электрона,
|