Оқулық «Білім беруді дамыту федералдық институты»

89
89
4.5. 
4.4-
сурет
Синусоидалық ток үшін әсерлік мәнді амплитудалық арқылы 
анықтау қиынға соқпайды:
∫
∫
−
=
=
T
m
T
m
dt
t
T
I
tdt
I
T
I
0
0
2
2
2
2
cos
1
1
sin
1
ω
ω
және де 
,
0
T
dt
T
=
∫
ал 
0
2
cos
0
=
∫
T
tdt
ω
болғандықтан
: 
2
/
m
I
I
=
(4.5) 
Осыған ұқсас кез
-
келген басқа да синусоидалық шамалар (ЭҚК, 
кернеу, магнит ағыны және т.б.) үшін 
)
sin(
a
m
t
A
a
ψ
ω +
=
орташа
және 
әсерлік мәндері
:




≈
=
≈
=
m
m
m
m
ор
A
A
A
A
A
A
707
,
0
2
/
;
637
,
0
/
2
π
СИНУСОИДАЛЫҚ ШАМАЛАРДЫ ӨРНЕКТЕУ 
ӘДІСТЕРІ 
 
Синусоидалық өзгеретін шамаларды: тригонометриялық 
функциялар (4.2), графиктер (4.2
-
суретті қараңыз), айналмалы 
векторлар мен кешенді сандар түрінде өрнектеудің бірнеше әдістері 
мәлім. 
Синусоидалық өзгеретін шамаларды айналмалы векторлар мен 
кешенді сандар түрінде өрнектеуді қарастырайық
.
Синусоидалық шамаларды айналмалы векторлармен 
өрнектеу
. 
Синусоидалық өзгеретін шаманы ψ
а
бастапқы фазасымен 
айналмалы вектормен өрнектеу үшін 
)
sin(
a
m
t
A
a
ψ
ω
+
=
(4.6)

90
90
осы шаманың
, 
ұзындығы (тұрғызу масштабында) 
A
m
амплитудасына 
тең және көлденең
оске ψ
а
бұрышымен орналасқан, 
A
m 
радиус
-
векторын 
(4.5-
сурет
, 
а
) 
құрастырайық.
Бұл оның 
t =
0 уақыт санағы 
басталған мезеттегі бастапқы орыны болады.
Егер, 
а
синусоидалық шаманың 
𝜔
бұрыштық жылдамдығына 
сандық жағынан тең болатын, тұрақты Ω бұрыштық жылдамдыққа 
ие радиус
-
векторді сағат тілінің қозғалыс бағытына кері бағытта 
айналдырсақ, онда оның тік оске проекциясы 
)
sin(
a
m
t
A
ψ
ω +
тең 
болады. Осы шамалардың мәндері бойынша синусоидалық 
шаманың 
𝜔𝑡
фазасынан немесе t уақытына тәуелділік графигін 
тұрғызуға болады. Мұндай құрастыру
t
-
ң кейбір мәндері үшін 4.5, 
б 
суретінде келтірілген. 
Айналмалы векторларды қолдану
бір суретте бірдей жиілікті 
түрлі синусоидалық өзгергіш шамалардың жиынтығын шағындап 
көрсетуге мүмкіндік береді.
Синусоидалық шамаларды кешенді сандармен өрнектеу.
Синусоидалық шамаларды айналмалы радиус
-
векторлармен 
өрнектеуден синусоидалық шамаларды кешенді сандармен 
өрнектеуге өту қиын емес.
ψ
а
бастапқы фазалық синусоидалық шаманы кешенді санмен 
өрнектеу үшін 
)
sin(
a
m
t
A
a
ψ
ω +
=
(4.7) 
егер бұрыш мәні 
)
0
(
0
<
>
a
a
ψ
ψ
болса, кешенді жазықтықта (4.6
-
сурет) координаттар басынан ψ
а
бұрышымен нақты шамалар осьіне 
сағат тіліне қарсы (сағат тілімен) ұзындығы кеңістік масштабында 
синусоидалық шаманың 
A
m
амплитудасына тең вектор жүргізейік. 
а
б
4.5-
сурет

91
91
Осы вектордың соңы, синусоидалық шаманың 
кешенді 
амплитудасы
– 
кешенді саны сәйкес келетін нүктеде орналасқан:
a
m
j
m
m
A
e
A
А
a
ψ
ψ
∠
=
==
•
. 
Осылайша, кешенді амплитудаға сәйкес келетін
вектор кешенді 
жазықтықта белгіленеді.
ω
t +
ψ
ɑ
синусоидалық шаманың фазасын уақыт бойында 
арттырған кезде осьі
мен вектор арасындағы бұрыш өседі, ал 
вектордың өзі айналмалы вектор болады
)
sin(
)
cos(
)
(
a
m
a
m
t
j
m
t
jA
t
A
e
A
a
ψ
ω
ψ
ω
ψ
ω
+
+
+
=
+
Айналмалы вектордың жалған бөлігі берілген синусоидалық 
шамаға (4.7) тең екендігін оңай көруге болады. Синусоидалық 
шамны
Ȧ
т
кешенді амплитудасымен және оған сәйкес келетін 
кешенді кеңістіктегі 
вектормен өрнектеу, сол синусоидалық 
шаманы айналмалы 
A
m
радиус
-
векторымен 
t 
= 0 уақыт мезетінде 
өрнектеуге геометриялық ұқсайды (
4.5, 
а
суретін
қараңыз)
. 
Сондықтан да, синусоидалық шаманың екі өрнегі де бір
-
біріне ұқсас 
деген пікір туындауы мүмкін. Шындығында келгенде олай емес. 
Синусоидалық шамаларды кешенді сандармен өрнектеу кезінде 
синусоидалық тогы бар электр тізбектерін талдаудың тиімді кешенді 
әдістерін қолдануға болады, ол қазіргі уақытта барлығын 
мойындатты. 
Кешенді жазықтықтағы, тұрғызылу масштабындағы ұзындығы 
синусоидалық шаманың әсерлік мәніне тең вектор және сәйкес 
кешенді сан 
синусоидалық шаманың кешенді әсерлік мәні
деп 
аталады:
a
j
m
A
Ae
А
А
a
ψ
ψ
∠
=
=
=
•
•
2
/
(4.8) 
Кешенді жазықтықтағы вектордың өзі де белгіленеді (
4.6-
суретті қараңыз)
. 
Синусоидалық шаманың кешенді әсерлік мәнін жазудың үш 
түрі қолданылады:
■
көрсеткіштік түрі 
a
j
A
Ae
А
a
ψ
ψ
∠
=
=
•

(4.9)
 
 
■ 
тригонометриялық түрі
;
sin
cos
a
a
jA
A
А
ψ
ψ
+
=
•
(4.10)
4.6-
сурет

92
92
■
алгебралық түрі
;
Im
Re
•
•
•
+
=
А
j
А
А
(4.11) 
мұндағы 
a
A
А
ψ
cos
Re
=
•
және
a
A
А
ψ
sin
Im
=
•
—
синусоидалық 
шаманың кешенді әсерлік мәнінің нақты және жалған құраушылары 
•
•
•
•
=
+
=
A
A
arctrg
A
A
A
a
Re
Im
;
)
)
(Im
)
(Re
2
2
ψ
. 
Көрсеткіштік түрден тригонометриялық түрге өту Эйлер 
формуласының көмегімен орындалады
: 
;
sin
cos
a
a
j
j
e
a
ψ
ψ
ψ
±
=
±
(4.12) 
Бұрыштарының мәні 
2
/
π
ψ =
a
және 
2
/
π
ψ
−
=
a
болған кезде 
(4.12)-
ден
j
e
j
=
2
/
π
және 
j
e
j
/
1
2
/
=
−
π
(4.13)
 
шығады, мұндағы 
1
−
=
j
— 
жалған бірлік.
 
Синусоидалық тоқтты тізбекті талдау кезінде синусоидалық 
шамалардың кешенді әсерлік мәндерін қолданады. Оларды қысқаша 
кешенді мәндер
деп, ал кешенді жазықтықтағы сәйкес векторларды 
– 
кешенді мәндер
векторлары деп атайды
.
Бір жиілікті синусоидалық шамалардың кешенді мәндерінің 
векторларының жиынтығы 
векторлық диаграмма
деп аталады. 
Векторлық диаграмманы қолдана отырып, кешенді мәндерді қосып
-
алуды сәйкес векторларды қосып
-
алумен алмастыруға болады. Бұл 
есептеулерді қысқартып, көрнекі етеді.
Егер барлық кешенді мәндердің ψ
а
бастапқы фазасын бір шамаға 
кемітсек (арттырсақ), кешенді мәндер векторларының векторлық 
диаграммадағы бір
-
біріне қатысты орналасуы өзгермейді. Бұл 
барлық векторлардың бір
уақытта бірдей бұрышқа бұрылуын 
білдіреді. Көбінесе тізбектерді сараптау кезінде векторлық 
диаграмманы, бір кешенді мәннің векторы нақты шамалар осьінің 
бойымен бағытталған болатындай етіп тұрғызады. Мұндай вектор 
бастапқы вектор
деп аталады. Оның бастапқы фазасы ψ
а
=0. 
Синусоидалық шамалардың ток,
кернеу және басқалары) 
тізбектегі бағыттары периодты түрде өзгереді, алайда екі бағыттың 
бірі оң деп алынады.
Бұл бағыт дербес таңдап алынады және 
тізбектің сәйкес бөлігіндегі схемада бағыттауыш сызығымен 
көрсетіледі. Таңдап алынған оң бағытта синусоидалық шама 

93
93

94
94
)
sin(
a
m
t
A
a
ψ
ω +
=
лездік мәнімен және сәйкес 
a
A
А
ψ
∠
=
•
(4.8) кешенді мәнімен өрнектеледі. 
Демек, синусоидалық шаманы (токтар, кернеу мен 
т.б.) лездік және кешендік мәндер түрінде өзара
-
бірмәнді өрнектеуге олардың бірдей оң бағыттары 
сәйкес келеді (
4.7-
сурет
). 
Синусоидалық шаманың лездік мәніне қарағанда оларға сәйкес 
келетін кешенді мәндер өлшемділігі жоқ екендігін айта кетейік.
Мысал 4.1.
)
4
/
sin(
10
)
sin(
π
ω
ψ
ω
+
=
+
=
t
t
I
i
i
m
А синусоидалық ток 
пен
)
6
/
sin(
50
)
sin(
π
ω
ψ
ω
−
=
+
=
t
t
U
u
u
m
В (
4.8-
сурет
, 
а
) кернеу үшін 
оларға сәйкес келетін
𝐼̇
ток пен 
𝑈̇
кернеу мәнін жазу және олардың 
кешенді жазықтықтағы векторын тұрғызу.
Шешімі.
)
4
/
sin(
10
)
sin(
π
ω
ψ
ω
+
=
+
=
t
t
I
i
i
m
А 
синусоидалық 
тогына
токтың
𝐼̇
=
𝐼
𝑚
√2
𝑒
𝑗𝜓
𝑖
=
10
√2
𝑒
𝑗𝜋
/
4
=
10
√2
∠𝜋
/4
кешенді мәні және 
кешенді жазықтықтағы вектор (
4.8-
сурет
, 
б
) сәйкес келеді.
)
6
/
sin(
50
)
sin(
π
ω
ψ
ω
−
=
+
=
t
t
U
u
u
m
В 
синусоидалық 
кернеуіне, 
кернеудің 
𝑈̇
=
𝑈
𝑚
√2
𝑒
𝑗𝜓
𝑢
=
50
√2
𝑒
−𝑗𝜋
/
6
=
50
√2
∠
(
−
𝜋
6
)
кешенді мәні мен 
кешенді жазықтықтағы вектор (
4.8-
сурет
, 
б
) сәйкес келеді
.
 
4.8-
сурет
б 
4.7-
сурет

95
95

жүктеу/скачать 21,72 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: