Қазақстан Республикасының Білім және ғылым министрлігі Д. Серікбаев атындағы шығыс қазақстан мемлекет

 
71 
а
n
А
    вектор    АО
1 
  бойымен  бағытталған,  ал    а
τ
А
  –    АО
1 
  -ге 
перпендикулярболады; бұл векторларды сызщбаға саламыз. 
В  нүкте сырғаққа да жатқан салдарынан  а
В
 сырғақтың бағыттаушысына 
параллель  келеді.  а
В
    векторды,  оның    V
B
    бағытымен  бағыттас  екенін  ескере 
тұрып, сызбаға саламыз.  
а
В
   үдеуді анықтау үшін келесі теңдеуді пайдаланамыз:  
 
 а
В
 = а
τ
А
 + а
n
А
 + а
τ
ВА
 + а
n
ВА
.                                                                      (2.14) 
 
a
n
BA
  (В нүктеден  А  нүктеге дейін  ВА  бойымен)  мен   a
τ
BA
  (қай жаққа 
болса  да    ВА-ға  перпендикуляр)  векторларды  сызбаға  бейнелейміз;      сан 
жағынан    a
n
BA
  =  ω
2
3
·ℓ
3
.  Алдында  анықталған  3    ӛзек    жылдамдықтар  лездік 
орталығы арқылы  ω
3
  -ті табамыз:   
 
 ω
3
 = V
A
 / C
3
A = V
A
 / ℓ
3
cos30º = 0,66 c
-1
   және   a
n
BA
 = 0,61 м/с
2
.         (2.15) 
 
Сонымен, (2.14) теңдеуге кіретін   а
В
  мен  а
τ
ВА
  шамалардың тек қана сан 
мағыналары белгісіз; оларды, (2.14) теңдеудің екі жағын да кейбір екі осьтерге 
проекциялап алып, анықтауға болады.     
  а
В
  үдеуді  анықтау  үшін    (2.14)  теңдеудің  екі  жағын  да  белгісіз      а
τ
ВА 
 
векторге  перпендикуляр  болып  келетін 
 
АВ  бағытқа  проекциялаймыз  (х  осі). 
Сонда шығарып алатынымыз  
 
а
В
сos30º = a
τ
A
cos60º - a
n
A
cos30º + a
n
BA
.                                                    (2.16) 
 
 (2.13)  және  (2.15)  теңдеулерден  бар  шамалардың  сандарын    (2.16) 
теңдеуге қойып, санап шыққанда алатынымыз   
 
 а
В
 = 0,72 м/с.                                                                                             (2.17) 
 
а
В
  >  0    болып  шыққан  соң,  а
В
    вектордың  бағыты    2.11-суретте 
кӛрсетілгендей болып келеді.   
5.  3  ӛзектің    ε
3 
    бұрыштық  жылдамдығын  анықтау.  ε
3
-ті  табу  үшін 
алдымен 
 
а
τ
ВА
-ны анықтаймыз. Ол үшін  (2.14)  теңдеудің екі жағын   АВ–ға (у  
осі) перпендикуляр бағытқа проекциялаймыз. Сонда шығарып алатынымыз  
 
- а
В
sin30º = a
τ
A
sin60º + a
n
A
sin30º + a
τ
BA
.                                                 (2.18) 
 
(2.17)  және  (2.13)  теңдеулерден  бар  шамалардың  сандарын    (2.18) 
теңдеуге қойып, санап шығаратынымыз   
 
а
τ
ВА
 = - 3,58 м/с
2
.  
 
Минус  таңбасы      а
τ
ВА
  –ның  нақты  бағыты    2.9  суретте  кӛрсетілген  бағытқа 
қарама-қарсы келеді деп кӛрсетеді.  

 
72 
Енді келесі теңдеуден:  
 
а
τ
ВА
 = ε
3
 ℓ
3
   
 
шығаратынымыз 
 
ε
3
 = │а
τ
ВА
│/ ℓ
3
 = 2,56 с
-2
. 
 
 
Жауабы: V
B
 = 0,46 м/c;  V
E
 = 0,46 м/c;  ω
2
 = 0,67 c
-1
;  a
B
 = 0,72 м/c
2
;   
  
                 ε
3
 = 2,56 c
-2
. 
 
2.10 Нүктенің күрделі қозғалысы 
 
Егер  нүкте  екі  немесе  одан  да  кӛп  қозғалысқа  қатысатын  болса,  онда 
нүктенің  мұндай  қозғалысын  күрделі  қозғалыс  дейді.    Күрделі  қозғалысты 
зерттеу  үшін  әдетте  бірі  қозғалмайтын  (O
1
x
1
y
1
z
1
),  ал  екіншісі  кез  келген  түрде 
қозғалыс  жасайтын,  жылжымалы  координаталар  жүйелері  енгізіледі  (Oxyz).  
Нүктенің жылжымалы жүйеге қатысты  қозғалысын  – салыстырмалы қозғалыс, 
оның  қозғалмайтын  жүйеге    қатысты  қозғалысын  –  абсолют  қозғалыс,  ал 
нүктемен  бірге  жылжымалы  жүйенің  қозғалмайтын  жүйеге  қатысты 
қозғалысын – тасымал қозғалыс дейді.  
 
Жылдамдықтарды қосу туралы теорема:     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r
O







,         
r
z
k
y
j
x
i







. 
 
 
)
dt
dz
k
dt
dy
j
dt
dx
i
(
)
z
dt
k
d
y
dt
j
d
x
dt
i
d
(
dt
d
dt
d
v
O



















; 
 
k
,j
,
i



- жылжымалы координаталық жүйенің орттары (бірлік векторлар), орт 
ӛстің тӛңерегінде айналмалы қозғалыс жасайды, сондықтан оның ұшындағы 
жылдамдық болады   
i
dt
i
d
e






 және с.с. 

: 
х
1
y
1
z
1
r

o
O
1

O
M
y
х
z

 
73 
)
dt
dz
k
dt
dy
j
dt
dx
i
(
)
z
k
y
j
x
i
(
dt
d
v
e
O



















,          ;      
r
rz
ry
rx
v
v
k
v
j
v
i
dt
dz
k
dt
dy
j
dt
dx
i













– салыстырмалы жылдамдық. 
 
r
e
O
v
r
v
v










;  
 
Тасымал  жылдамдық: 
r
v
v
e
O
e








,  сондықтан  нүктенің  абсолют 
жылдамдығы  тасымал  (v
e
)  және  салыстырмалы  (v
r
)  жылдамдықтардың 
геометриялық қосындысына тең, яғни   
 
r
e
v
v
v





,       ал модуль шамасы:        
)
v
,
v
cos(
v
v
2
v
v
v
r
e
r
e
2
r
2
e





  немесе 
проекция әдісі де қолданылады. 
Үдеулерді қосу туралы теорема (Кориолис теоремасы):  
 
 
c
r
е
a
a
a
a







,   мұндағы  
r
e
c
v
2
a





 –  Кориолистік үдеуі. 
 
Кориолис  теоремасы:  күрделі  қозғалыстағы  нүктенің  абсолютті  үдеуі 
тасымал,  салыстырмалы  және  кориолистік  үдеулердің  геометриялық 
қосындысына тең.   
 Кориолис  үдеуі  салыстырмалы  қозғалыстағы  тасымал,  тасымал 
қозғалыстағы салыстырмалы жылдамдықтың ӛзгеруін сипаттайды. 
 
Кориолистік үдеудің  модулі мен бағыты. 
Кориолистік  үдеудің    модуль  шамасы  мен  бағыты  екі  вектордың  векторлық 
кӛбейтіндісі ережесімен анықталады. Үдеудің модулі:  
 
а
с
= 2

|

e

v
r
|

sin(

e
^
v
r
), 
 
бағыты  Н.Е.  Жуковский  ережесі  бойынша  анықталады:  салыстырмалы 
жылдамдық 
векторын 
тасымал 
бұрыштық 
жылдамдық 
векторына 
перпендикуляр жазықтыққа проекциялап, одан кейін бұл  проекцияны  тасымал 
бұрыштық  жылдамдық  векторының  айналыс  бағытындағы  90
о
  бұрышқа 
бұрамыз. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
90
о

а
с
v
r

v
r
sin


 
74 
Кориолистік үдеудің физикалық мағанасы. 
 
Кориолистік үдеудің шамасы үш жағдайда нӛлге тең болатын жағдайлары:  
1)  

e
=0 – тасымал  қозғалыс ілгерілемелі болғанда;  
2)  v
r
=0 – салыстырмалы қозғалыс жоқ болғанда;  
3)  sin(

e
^
v
r
)=0,  яғни 

(

e
^
v
r
)=0  –  нүктенің  салыстырмалы  қозғалысының 
жылдамдық векторы  қарастырылып  отырған  жағдайда  айналу  ӛсіне  параллель 
болады.  Бір  жазықтықтағы  қозғалыс  жағдайында  –  v
r
  және 

e
  векторларының 
арасындағы бұрыш 90
о 
тең болса, sin90
o
=1, а
с
=2

e

v
r
. 
 
 
  2.11  7-ші есеп. Күрделі қозғалыстағы материялық нүктенің абсолют 
жылдамдығы мен абсолют үдеуін анықтау 
                                                                         
Дененің  бетімен  онымен  байланысты  емес  кез  келген  М  нүктесі 
қозғалсын делік. М нүктесінің қозғалысын тасымал қозғалыс деп атаймыз. Ал М 
нүктесінің ӛзінің денеге қатысты  қозғалысын – салыстырмалы қозғалыс дейміз. 
Салыстырмалы  және  тасымал  қозғалыстардың  теңдеулері  арқылы  t=t
1 
уақыттағы нүктенің абсолют жылдамдығы мен абсолют үдеуін табындар. 
Тетіктер схемалары 2.10(а,б,в) және 2.11(а,б,в)-суреттерде келтірілген. 
7-ші есеп – нүктенің күрделі қозғалысын зерттеуге арналған. Оны шығару 
үшін  жылдамдықтарды  қосу  және  үдеулерді  қосу  туралы  теоремаларды 
қолдану керек. Есептеуге кірісерге дейін есеп шарттары бойынша уақыт  t
1
 = 1 с  
болғанда    М    нүктенің  тілімше  бетіндегі  орнын  анықтап  алу  қажет,  және  дәл 
осы  орнын  суретте  бейнелеу  керек  (  есеп  шарттарында  нүктенің  кездейсоқ 
орны кӛрсетілген).   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
75 
1.
 
 
2.                                           
 
3.
 
 
 
4.
 
  
5.
 
 
 
6
. 
  
7.
 
 
 
8.
 
 
 
9. 
 
10. 
 
2.10(а)-сурет 

 
76 
11.  
 
12.       
                                      
13. 
 
14.  
 
15.  
 
16
.
  
 
17.  
 
18.  
 
19. 
 
20. 
 
2.10(б)-сурет 

 
77 
21.  
 
22.     
                                        
23. 
 
24.  
 
25.  
 
26
.
  
 
27.  
 
28.  
 
29. 
 
30. 
 
2.10(в)-сурет – 7-ші есептің схемалары. 

 
78 
1.  
 
 
2.   
                                         
3. 
 
 
4.  
 
5.  
 
 
6
.
  
 
7.  
 
 
8.  
 
9. 
 
 
10. 
 
2.11(а)-сурет 

 
79 
11.  
 
 
12.         
                                   
13. 
 
 
14.  
 
15.  
 
16
.
  
 
 
 
 
17.  
 
 
18.  
 
19. 
 
 
20. 
 
2.11(б)-сурет 

 
80 
21.  
 
22.     
  
                                      
23. 
 
24.  
 
25.  
 
26
.
  
 
27.  
 
28.  
 
29. 
 
30. 
 
 
2.11(в)-сурет – 7-ші есептің схемалары. 
 

 
81 
7-ші есептің шығару үлгісі. 
 
Берілген  М  нүктенің салыстырмалы қозғалыс теңдеуі және   D  дененің 
тасымалды  қозғалыс  теңдеуі  арқылы  М    нүктенің  аболют  жылдамдығы  мен 
абсолют үдеуін уақыт  t = t
1
 үшін санап шығару керек.  
 
Берілгені:  механизм схема (2.12-сурет); φ
e
 = 0,9t
2
 – 9t
3
 рад;  s
r
 = OM = 16 – 
8cos 3πt см;  О
1
O = a = 20 см ; t
1
 = 2/9 c. 
 
Есеп   шешімі : 
 
1. 
Санақ 
уақыт 
мезетінде 
сурет 
жазықтығы 
(2.12-сурет) 
D 
үшбұрыш  
жазықтығымен  беттеседі  деп  санаймыз.    D  
дене  бойындағы    М    нүктенің  орны  s
r
  =  OM 
арақашықтықпен анықталынады.  
Уақыт  t = 2/9 c  болғанда: 
s
r
 = 16 – 8cos (3π·2/9) = 16 + 4 = 20 см. 
 
2.  М    нүктенің  абсолют  жылдамдығын 
оның 
салыстырмалы 
және 
тасымалды 
жылдамдықтарының  геометриялық  қосынды 
саны деп табамыз: 
 
 
V = V
r
 + V
e
.                                              (2.19) 
 
Салыстырмалы жылдамдықтың модулі  
 
V
r
 = ds/dt = 24π·sin 3πt. 
 
Уақыт  t = 2/9 c  боғанда 
 
V
r
 = 24π·
3
 /2 = 65,2 см/c;    V
r
 = 65,2 см/c. 
 
V
r
    шаманың  оң  таңбасы      V
r
    вектордың      s
r
    ұлғайған  жаққа  қарай 
бағытталғанын кӛрсетіп тұрады.  
Тасымалды жылдамдықтың модулі  
 
V
e
 = R·ω
e
, 
 
қайда   R – дәл осы уақыт мезетінде  М  нүктемен беттесетін дене нүктесі 
сызған  L  шеңбердің радиусы,   
 
R = О
1
М = 
  

0
1
2
2
1
60
cos
2





ОМ
О
О
ОМ
О
О
  =  20 см; 
s
r 
а 
М 
О 
О
1 
φ
е 
60
º 
D 
2.12-сурет. 

 
82 
ω
e
 – дененің бұрыштық жылдамдық модулі  
 
ω
е
 = dφ/dt = 1,8t – 27t
2
  (c
-1
). 
 
Уақыт  t = 2/9 c  мезетінде  
 
ω
e
 = 1,8·2/9 - 27·4/81 = - 0,93 c
-1
 
;  
 ω
e
 = 0,93 c
-2
. 
 
ω
е
   шаманың теріс таңбасы үшбұрыштың  О
1
  нүктеге қатысты айналуы   
φ    бұрыштың  санақ  бағытына  қарсы  екенін  кӛрсетеді  (2.13-сурет).  Сондықтан 
үшбұрыш  жазықтығына  перпендикуляр  бағытталып    О
1
    нүктеден  ӛтетін      ω
е
 
вектор бізден сурет жазықтығына қарай бағытталып тұр.  
Тасымалды жылдамдық  
 
V
e
 = О
1
М·ω
е
 = 20·0,93 = 18,6 см/c. 
 
V
r
    вектор    L    шеңберге    жанама  бойымен  дененің  айналу  жағына  қарай 
бағытталған.  Абсолют  жылдамдықтың  модулін  табу  үшін  берілген  жағдайда 
(2.19) формуланы  х пен  у  координаталық осьтерге проекциялаған жӛн келеді, 
сонда:  
 
                                     
 
 
V
x
 = - V
r
·cos60º + V
e
·cos30º =  - 65,2·0,5 + 18,6·0,866 = -16,49 см/с, 
 
V
y
 = V
r
·sin60º - V
e
·sin30º = 65,2·0,866 - 18,6·0,5 = 47,16 см/с, 
 
Ақырғы нәтижесінде  
у 
х 
L 
V
a 
V
e
 
V
r 
М 
О 
О
1 
φ
е 
D 
ω
e
 
          2.13-сурет. 
60
º 

 
83 
 
V = 
2
2
у
х
V
V

 = 
2
2
16
,
47
49
,
16

 ≈ 50 м/с 
 
3.  Нүктенің  абсолют  үдеуі  салыстырмалы,  тасымалды  және  кориолистік 
үдеулердің геометриялық қосынды санына тең:  
  
a = a
r
 + a
e
 + a
c
  
 
немесе кең түрдегі кӛрінісі  
 
a = a
r
 + a
e
τ
 + a
e
n
 + a
c
 .                                                                                 (2.20) 
 
Салыстырмалы үдеудің модулі  
 
a 
r
 = dV
r
 /dt = 72π
2
 ·cos 3πt. 
 
Уақыт  t = 2/9 c  мезетінде 
 
a 
r
 = -36π
2
 = - 355 см/с. 
a 
r
    үдеудің  теріс  таңбасы    a
r
    вектор      s
r
  –дің  теріс  сан  жағына  қарай 
бағытталғанын кӛрсетеді.  
Тасымалды жанама үдеудің модулі   
a
e
τ
 = R· ε
e 
, 
қайда  ε
e
 – D  дененің бұрыштық үдеуінің модулі;  
ε
e
 = dω
e
 / dt = 1,8 – 54t. 
 
 
           
 
 
Уақыт  t = 2/9 c  мезетінде 
у 
х 
ω
e 
ε
e
 
L 
a
c 
a 
r 
a
e
τ 
М 
О 
О
1 
60
º 
a 
e 
a
e
n
 
φ
е 
2.14-сурет. 

 
84 
 
ε
e
 = 1,8 – 54·2/9 = - 10,2 с
-2
. 
 
ε
е
  және  ω
е
 –нің бірдей таңбалары  D  дененің айналу қозғалысы үдемелі 
екенін кӛрсетеді.  
 
 a
e
τ
 = 20· 10,2 = 204 см/с
2
. 
 
a
e
τ
  вектордың бағыты   V
e
   вектордың бағытымен сәйкес келеді.  
Тасымалды нормаль үдеудің модулі   
 
a
e
n
 = R· ω
e
2
 = 20· 0,93
2
 = 17,3 см/с
2
 
. 
 
a
e
n
   вектор  L   шеңбердің центріне қарай бағытталған. 
Кориолистік үдеу 
 
а
с
 = 2ω
е
 х V
r
. 
 
Кориолистік үдеудің модулі  
 
a
с
 = 2ω
е
V
r
sin (ω
е
,V
r
). 
 
Берілген жағдайда  
 
sin (ω
е
,V
r
) = sin90º = 1 
 
болғандықтан, бізде 
  
 а
с
 = 2·0,93·65,2·1 ≈ 121 см/с
2
. 
 
Векторлық  кӛбейту  ережелері  бойынша    а
с
    вектор    V
r 
    векторге   
перпендикуляр болып   ω
е
 -нің
 
 айналу жағына қарай бағытталған (2.14-сурет).  
М    нүктенің  абсолют  үдеу  модулін  проекциялау  тәсіл  арқылы 
анықтаймыз:  
   
а 
х
 = a
r
·cos60º + a
e
τ
 ·cos30º - a
e
n
 ·cos60º + a
c
 ·cos30º = 
 
= 355·0,5 + 204·0,866 – 17,3·0,5 + 121·0,866  =  
 
= 177,5 + 176,66 – 8,65 +104, 786 = 450,296 см/с
2
, 
 
а 
у
 = -a
r
 ·sin60º - a
e
τ
 ·sin30º - a
e
n
 ·sin60º + a
c
 ·sin30º = 
 
=  - 355·0,866 - 204·0,5 – 17,3·0,866 + 121·0,5 =  
 

 
85 
= - 307,43 – 102 – 14,98 + 60,5 = -363,91 см/с
2
, 
 
а = 
2
2
у
х
а
а

 = 578,96 см/с
2
. 
 
Есептеудің ақырғы нәтижелері  2.5-кестеде берілген. 
 
2.5-кесте – 7-ші есептің сан нәтижелері. 
 
 
 
ω
е
, 
с
-1
 
 
Жылдамдық, см/с 
 
 
 
ε
е
,  
с
-2 
 
Үдеу, см/с
2
 
 
V
e
 
 
V
r
 
 
V 
 
 
a
r
 
 
a
e
τ 
 
a
e
n
 
 
a
c
 
 
a 
 
0,93 
 
 
18,6 
 
65,2 
 
50 
 
10,2 
 
355 
 
204 
 
17,3 
 
121 
 
578,96 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
86 
3.  ДИНАМИКА 
  

жүктеу/скачать 4,25 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: