Есептерін шешу әдістері туралы жалпы мағлұматтар

 
87 
Механикалық жүйеге әсер еткен барлық күштер бір жазықтықта орналасқан, 
сондықтан тіректердің реакциялары да сол жазықтықта орналасқаны айқын.  
Есепті шығаруға кіріскенше, алдымен Даламбер принципі және даламберлік 
инерция күштері туралы қысқаша мағлұматпен танысқан жӛн келеді.   
Инерция  күші  берілген  массаға  әсер  етпейді,  ӛйткені  ол  нақты  күш  емес, 
бірақ ол байланыс ретінде болып тұрған денеге әсерін түсіреді.  
Инерция  күштері  байланыстардың  реакцияларын  ӛзгертеді,  сондықтан,  ол 
байланыс  ретіндегі  денелерде,  бізге  белгілі  басқа  күштердей,    ӛзгерістерді 
ӛткізеді:  формасын  ӛзгертеді  (деформация),  дене  ішінде  кернеу  күштерін 
туғызады, тіпті денені қиратып жіберуі мүмкін.  
Инерция  күшінің  әсерінен  пайда  болған  байланыс  реакциясы  динамикалық  
реакция деп аталынады. 
 
3.2 Материалдық нүкте динамикасы 
          
Динамиканың  негізгі  аксиомалары  (заңдары)  алғаш  рет  И.Ньютон 
тұжырымдаған. 
1)  Бірінші аксиома  - инерция  заңы (Галилей, 1636 ж.). 
Егер  материалдық  нүктеге  ешбір  күш  әсер  етпесе,  онда  ол  ӛзінің 
тыныштық күйін немесе түзу сызықты бірқалыпты қозғалысын сақтайды. 
2)  Екінші  аксиома  –  динамиканың  негізгі  заңы  (И.Ньютон,  1687  ж.). 
Материалдық  нүктеге  әсер  етуші  күш  осы  нүкте  үдеуімен  бағытталады  және 
шамасы үдеуге: 
m
F
a

 . 
3)  Үшінші аксиома – әсер және кері әсер теңдігінің заңы. 
4)  Күштер  суперпозиция  аксиомасы:   егер материалдық нүктеге бір  уақытта 
бірнеше күш әсер етсе, онда олар бір күшке, яғни осы күштердің геометриялық 
қосындысына тең болатын тең әсер күшіне эквивалент болады 
 






n
k
n
m
F
m
F
m
F
m
F
a
1
2
1
...
 . 
Динамиканың есептерін шығару  үшін  материалдық нүкте  қозғалысының 
дифференциалдық теңдеулері құрылады.  
  Материалдық 
нүкте 
қозғалысының 
ИСЖ-дегі 
дифференциалдық 
теңдеулері: 
- нүкте қозғалысының векторлық тәсілмен берілген кезде: 


n
n
F
r
m
1


, 
- нүкте қозғалысының координаталық  тәсілмен берілген кезде: 


n
kx
F
x
m
1


,      


n
ky
F
y
m
1


  ,    


n
kz
F
z
m
1


 

 
88 
- нүкте қозғалысының табиғи тәсілмен берілген кезде: 
                     


n
k
F
s
m
1



,            



n
kn
F
v
m
1
2
,          0 = 

n
kb
F
1
.                   
 
Нүкте  және  нүктелер  жүйесі  динамикасында  келесі  негізгі  екі  есеп 
қарастырылады: 
         1)  бірінші есеп -  нүктенің берілген қозғалыс заңы мен массасы бойынша 
оған әсер ететін күшті анықтау керек;   
         2) кері есеп  - нүктеге әсер етуші күш пен нүктенің массасын біле отырып, 
оның  кинематикалық  сипаттамаларын  анықтау  (үдеуін,  жылдамдығын, 
қозғалыс заңын және  т. б.). 
 
Материалдық нүкте динамикасының жалпы теоремалары. 
Материалдық нүкте мен механикалық жүйенің қозғалыс мөлшері 
 
Материалдық  нүкте  қозғалысының  мӛлшері  деп  бағыты  жылдамдықпен 
бағыттас,  ал  шамасы  масса  мен  жылдамдық  модулінің  кӛбейтіндісіне  тең 
векторды айтамыз:  
v
m
q

 
Механикалық  жүйенің  қозғалыс  мӛлшері  –  жүйе  нүктелерінің  қозғалыс 
мӛлшерлерінің векторлық қосындысына тең  


n
k
k
v
m
Q
1
 
Жүйенің  қозғалыс  мӛлшері  жүйенің  массасы  мен  массалар  центрінің 
жылдамдық кӛбейтіндісіне тең: 
 
c
v
M
Q

, 
 
мұндағы        М  -  жүйе  массасы,    бүкіл  нүктелерінің массаларының  қосындысы,  
ал  
с
v  - мехеникалық жүйенің массалар центрінің жылдамдығы. 
Механикалық жүйенің қозғалыс мӛлшерінің ӛзгеруі туралы тероема:  
Бірінші  түрі  (диф.  түрдегі  жүйенің  қозғалыс  мӛлшерінің  ӛзгеру  туралы 
теорема) 
                                                   


n
e
k
F
dt
Q
d
1
                                                              
Жүйенің  қозғалыс  мӛлшерінің  уақыт  бойынша  туындысы  жүйегі  әсер 
ететін барлық сыртқы күштердің қосындысына тең.  
Екінші түрі (диф. түрдегі нүкте қозғалыс мӛлшерінің ӛзгеруі туралы теорема) 
                                       
 


n
e
k
dt
F
Q
d
1
 -импульстар теоремасы                                 

 
89 
Үшінші  түрі  (интегралдық  түрдегі  жүйе  қозғалыс  мӛлшерінің  ӛзгеруі  туралы 
теорема)                                              
 










n
t
t
k
dt
F
Q
Q
1
0
0
 
Егер  k = 1 болса, онда бір материлдық нүкте үшін қозғалыс мӛлшерінің ӛзгеруі 
туралы теоремасын аламыз: 
                         
 
F
dt
v
m
d

,   
 
dt
F
v
m
d

,  
.
0
0



t
t
dt
F
v
m
v
m
                      
Жүйе  үшін  қозғалыс  мӛлшерінің  ӛзгерісі  туралы  теоремадан 
тӛмендегідей бірнеше салдар шығады: 
1)  Егер  жүйеге  әсер  ететін  барлық  сыртқы  күштердің бас  векторы  нӛлге 
тең болса, онда материалдық жүйе қозғалысының мӛлшері векторының шамасы 
да, бағыты да ӛзгермейді.  
    2)  Егер  жүйеге  әсер  ететін  барлық  сыртқы  күштердің  бас  векторының 
белгілі бір қозғалмайтын ӛстегі проекциясы нӛлге тең болса, онда  материалдық 
жүйе қозғалысы мӛлшерінің векторының осы ӛстегі проекциясы тұрақты. 
 
3)  Ішкі  күштер  материалдық  жүйе  қозғалысы  мӛлшерінің  ӛзгерісіне 
тікелей әсер етеді. 
 
Механикалық жүйе массалары центрінің қозғалысы туралы теорема 
 
Механикалық  жүйенің  массалар  центрінің  қозғалыс  заңын  біле  отырып, 
бүкіл механикалық жүйе қалай қозғалатынын айтуға болады.  
          Теорема:    механикалық  жүйенің  массалар  центрі  материялдық  нүкте 
сияқты қозғалады. Бұл нүктенің массасы тұтас жүйенің массасына тең, ал оған 
әсер етуші күш сыртқы күштердің бас векторына тең. 
M
 
e
n
e
k
c
R
F
a



1
 
Бұл  векторлық  теңдеудің  екі  жағын  координаттық  ӛстерге  проекцияласақ 
механикалық  жүйенің  массалар  центрінің  қозғалысының  дифференциалдық 
теңдеуін аламыз: 
M


n
e
kx
c
F
x
1


;   M


n
e
ky
c
F
y
1


;   M


n
e
kz
c
F
z
1


 
 
Қозғалыс мөлшерінің моменті 
 
Нүктеге  және  ӛске  қатысты  күш  моментін  статика  бӛлімінде 
қарастырғанбыз.  Нүктеге,  центрге,  ӛске  қатысты  материалдық  нүктенің 
қозғалыс  мӛлшерінің  моментін  де  сол  сияқты  анықтайды.  Мысалы,    қандайда 
бір О нүктесіне қатысты материалдық нүктенің қозғалыс мӛлшерінің моментін 
анықтау  үшін,  О  нүктесінен  қозғалыс  мӛлшерінің  сызығына  перпендикуляр 
түсіріп, ұзындығын анықтап, есептейміз                                              

 
90 
                                                     М
0
(m
v
) = 

 mv
.
h                                                                                             
 
 
 
 
 
 
 
 
          Тұрақты  ӛстен  айналатын  қатты  дененің  кин.  моменті  оның  осы  ӛске 
қатысты инерция моменті мен бұрыштық жылдамдығының кӛбейтіндісіне тең 
 
K
z
 = J
z

 
мұндағы J
z
 – айналу ӛсіне қатысты дененің ӛстік инерция моменті. 
          Материалдық  дене  нүктелерінің  механикалық  жүйесінің  z  ӛсіне  қатысты 
инерция  моменті  деп  жүйенеің  барлық  нүктелерінің  массаларының,  берілген  z 
ӛсінен  қашықтығының  квадрат  кӛбейтіндісінің  қосындысына  тең  скаляр 
шаманы айтады 
                                                        J
z
 = 
 

n
k
k
h
m
1
2
                                                
Қандай да болмасын бір ӛске қатысты дененің инерция моменті (Штейнер 
теоремасы  бойынша)  оның  массалар  центрі  арқылы  ӛтетін  параллель  ӛске 
қатысты  инерция  моменті  мен  дене  массасы  және  ӛстердің  арақашықтығының 
квадратының кӛбейтіндісімен қосындысына тең болады 
                                                            J
zz
 =J
zc
  + мd
2       
                                      
мұндағы  d - ӛстер арасының арақашықтығы. 
Механикалық жүйенің кез келген жылжымайтын О центріне және z ӛсіне 
қатысты  кинетикалық  моментінің  ӛзгеруі  туралы  теорема  келесі  түрде 
жазылады: 
 


n
e
k
F
M
dt
k
d
1
0
0
 
 


n
e
k
z
z
F
M
dt
dk
1
 
Сол  сияқты  механикалық  жүйенің    кинетикалық  моментінің  ӛзгеруі 
туралы  теорема  жүйенің  массалар  центріне  және  центрлік  ӛстерге  қатысты 
болады: 
 


n
e
k
c
c
F
M
dt
k
d
1
 

 
91 
 


n
e
k
zc
zc
F
M
dt
dk
1
 . 
Теорема:    Жүйенің  кез  келген  қозғалмайтын  центрге  қатысты 
кинетикалық  моментінен  уақыт  бойынша  алынған  бірінші  туынды  барлық 
сыртқы күштердің сол центрге қатысты бас моментіне тең.  
         Дербес  жағдайда  ретінде  қозғалмайтын  центрге  қатысты  механикалық 
жүйенің кинетикалық моментінің сақталу заңын алуға болады. 
        Қозғалмайтын  центрге  қатысты  механикалық  жүйенің  кинетикалық 
моменті  уақыт  бойынша  ӛзгермейді,  егер  осы  центрге  қатысты  жүйенің 
нүктелеріне  түсірілген  сыртқы  күштер  моменттерінің  қосындысы  нӛлге  тең 
болса.   
 
   3.3  8 есеп. Тұрақты күштердің әсерінен қозғалатын материялық 
нүктенің дифференциалдық қозғалыс теңдеулерін интегралдау 
 
 
Массасы  m-ге  тең  D  жүк  А  нүктеден  V
0
  бастапқы  жылдамдықпен 
вертикаль  жазықтықта  орналасқан  АВС  имек  құбыр  бойымен  қозғалады. 
Құбырдың  телімдері  немесе  екеуі  де  жантайған,  немесе  біреу  горизонталь,  ал 
екіншісі жантайған болып келеді (3.1-сурет). 
 
АВ телімде нүктеге салмақ күшінен басқа тұрақты  Q күш әсер етеді; АВ 
телімде жүктің құбырмен үйкелісу күшін еске алмау керек. 
 
Ӛзінің жылдамдығын ӛзгертпей  D жүк  В нүктеде құбырдың ВС теліміне 
ауысады.  ВС  телімде  нүктеге  салмақ  күшінен  басқа  үйкеліс  күші  әсер  етеді 
(жүктің құбырмен үйкелісу коэффициенті f=0,2). 
 
Жүкті  материялық  нүкте  ретінде  қабылдап,  және  АВ=l  арақашықтықты 
немесе А нүутеден В нүктеге дейін жүктің жүрген t
1
 уақытты біле тұра, жүктің 
ВС  телімдегі  кинематикалық  қозғалыс  теңдеуін  (яғни  x=f(t),  мұнда  х=BD) 
анықтау керек. 
 
3.1-кесте – 8-ші есептің шарттары 
 
Нұсқаудың 
№ 
m, кг 
V
0
, м/с 
Q, Н 
l, м 
t
1
, c 
1 
2 
12 
6 
2 
- 
2 
4 
24 
10 
- 
3 
3 
6 
16 
12 
4 
- 
4 
3 
10 
6 
- 
2 
5 
4 
20 
7 
2 
- 
6 
2 
24 
8 
- 
3 
7 
6 
22 
14 
5 
- 
8 
5 
18 
5 
- 
2 
9 
4 
16 
10 
4 
- 
10 
2 
14 
11 
- 
3 

 
92 
 
1. 
 
2. 
 
3. 
 
4. 
 
5. 
 
6. 
 
7. 
 
8. 
 
9. 
 
10. 
 
 
3.1-сурет 
 
 
8-ші есептің шығару үлгісі. 
 
Құбырдың  АВ  вертикаль  телімінде  массасы  m  D  жүкке  Р  салмақ  күші 
және тұрақты Q күш әсер етеді (3.2-сурет). А мен В нүктелердің аралығы АВ=l; 

 
93 
А нүктеде жүктің жылдамдығы V
A
=V
0 
. Құбырдың ВС кӛлбеу телімінде жүкке 
ӛзінің Р салмақ күші әсер етеді. 
Берілген: m=2кг, Q=4Н, V
0
=5м/с, l=2,5м, f=0,2, α=30
0
. 
Құбырдың ВС теліміндегі жүктің x=f(t) кинематикалық қозғалыс теңдеуін 
анықтау керек. 
 
Есеп шешімі: 
 
1. Жүкті материялық нүкте ретінде санап, оның АВ телімдегі қозғалысын 
зерттейміз. Жүктің негізсіз орынын кескіндейміз де оған әсер еткен Р=mg және 
Q күшті кӛрсетеміз (3.2-сурет). 
Жүкке 
қатысты 
материялық 
нүкте 
динамикасының негізгі теңдеуін құрастырамыз: 
 
Q
P
a
m





 
 
Аz  ӛсін  кіргіземіз  де,  оған  қатысты  жүктің 
дифференциалдық қозғалыс теңдеуін жазамыз: 
 


kz
2
2
F
dt
z
d
m
,             
Q
P
dt
z
d
m
2
2


. 
 
Бұл теңдеуді мына түрде кӛрсетуге болады: 
 
Q
mg
z
m




, 
1
C
t
m
Q
g
z






 


, 
2
1
2
C
t
C
2
t
m
Q
g
z







 

. 
 
Интегралдық  тұрақтыны  анықтау  үшін  есептің  бастапқы  қозғалыс 
шарттарын қолданамыз: бастапқа уақытта 
0
0
0
0
V
z
,
0
z
,
0
t




. 
Интегралдағанда алынған теңдеулерді уақыт t=0 үшін құрастырайық: 
 
2
0
1
0
Ñ
z
,
Ñ
z



. 
Тұрақтыларды табамыз: 
0
Ñ
,
V
Ñ
2
0
1


. 
Сонда 
0
V
t
m
Q
g
z






 


, 
t
V
2
t
m
Q
g
z
0
2






 

. 
 
A 
B 
D 
D 
у
F

 
P

 
P

 
Q

 
x 
z 
y 
N

 
C 

 
3.2-сурет 

 
94 
Соңғы  теңдеу  жүктің  АВ  телімдегі  кинематикалық  қозғалыс  теңдеуі 
болады. Жүк осы телімнен кеткенде уақыт 


t
 с және  
 
l
z
,
V
z
1
B
1



, 
яғни 
0
B
V
m
Q
g
V







 

, 








 

0
2
V
2
m
Q
g
l
, 
қайдан 
0
l
2
V
2
m
Q
g
0
2










 
, 
немесе 


0
5
10
81
,
7
5
,
2
2
5
2
2
/
4
81
,
9
2
2













. 
Осыдан 




81
,
7
2
/
16
10
81
,
7
2
/
5
81
,
7
4
100
10
2
,
1












. 
 
Сонымен, жүктің АВ телімнен кеткен уақыты 
 
c
4
,
0
81
,
7
/
3
81
,
7
2
/
6





. 
 
Енді жүктің В нүктедегі жылдамдығын табамыз: 
 
ñ
/
ì
8
5
4
,
0
81
,
7
V
81
,
7
V
0
B







. 
 
2.  Енді  жүктің  ВС  телімдегі  қозғалысын  қарастырайық.  Анықталған 
B
V
 
жылдамдық  бұл  телімде  бастапқы  жылдамдық  болып  келеді 
B
0
V
V

.  Жүктің 
(негізсіз  орнын)  және  оған  әсерлі 
mg
P


  салмақ  күшінің, 
N

  кӛлбеу  беттің 
реакциясының, 
F

ү
 үйкеліс күштің кескіндерін келтіреміз  (2.16-сурет). Жүкті D 
материялық  нүкте  ретінде  аламыз  да,  ол  үшін  нүкте  динамикасының  негізгі 
теңдеуін мына түрде жазамыз: 
F
N
P
a
m







ү
. 
 
 
В  нүктеден  Вх  пен  Ву  координаталық  осьтер  ӛткіземіз  де  жүктің 
дифференциалдық қозғалыс теңдеулерін құрастырамыз: 
 
F
cos
P
dt
/
mdV
x



ү
, 
 
N
sin
P
dt
/
mdV
ó




. 
Соңғы теңдеуден 


sin
P
N
   (ӛйткені 
0
a
y

). 
Үйкеліс күші  
F
ү
=f∙N=f∙P∙sinα =f∙mg∙sinα. 
 

 
95 
 
Енді  жүктің  дифференциалдық  қозғалыс  теңдеуін  мына  түрде  жазуға 
болады: 






sin
f
cos
mg
dt
/
mdV
x
. 
 
Теңдіктің екі жағын да m шамаға бӛліп, мынаны санап: 
 




5
,
7
30
sin
2
,
0
30
cos
841
,
9
sin
f
cos
g
0
0






, 
 
келесі дифференциалдық теңдеуді аламыз: 
 
5
,
7
dt
/
dV
x

 
 
Теңдеудің екі жағын да dt-ге кӛбейтіп интегралдаймыз. Сонда 
 
3
5
,
7
С
t
V
x


 
 
Енді  уақытты жүк В нүктеде болған мезеттен бастап санаймыз, яғни бұл 
уақытты бастапқы деп аламыз: t=0. Сонда уақыт t=0 мезетінде V=V
0
=V
B
 , x
0
=0. 
Бұл жүктің ВС телімдегі бастапқы қозғалыс шарттары болады. Олар арқылы С
3
 
тұрақтыны анықтаймыз: 
С
3
=V
B
=8м/с, 
Сонда  
V
x
=dx/dt=7,5t+8 
 
Теңдеудің екі бӛлімін де dt-ге кӛбейтеміз, содан сон оны интегралдаймыз: 
 
x=7,5t
2
/2+8t+C
4
. 
 
Бастапқы  қозғалыс  шарттары  бойынша  C
4
=0.  Ақырғы  нәтижесінде  есеп 
мәселесінде ізделінген жүктің кинематиқалық қозғалыс теңдеуі: 
 
x=3,75t
2
+8t, 
қайда х – метрде, t – секундта. 

жүктеу/скачать 4,25 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: