Оқулық физика 9 проект башарұлы Р. т б

166
ПРОЕКТ
мұндағы: 
x(t) – берілген t уақытқа сәйкес келетін дененің координатасы; 
α  –  ОВ  радиусының  осы  уақыт  аралығында  бұрылған  бұрышы;  sinα  – 
периодты өзгеріп отыратын функция.
Дененің шеңбердің 
В нүктесіне жеткен кездегі 
ω бұрыштық жылдам-
дығы  өзімізге  кинематика  тарауынан  белгілі  мына  формула  бойынша 
табылады:
 = /t;
бұдан 
ОВ радиусының қандай бұрышқа бұрылғанын анықтай аламыз:
                                                                 
α = ωt.  
 
                      (5.6)
Дене  шеңбер  бойымен  қозғалысын  жалғастырып, 
t  =  Т/4  уақыт 
аралығында  2-нүктеге  жетеді.  Бұл  кезде 
R  =  ОВ  =  А  радиусы  90
°-қа 
бұрылады:  = 90
° = /2; sin90° = 1. Ендеше, уақыт t = Т/4 болғанда (5,5) 
пен анықталатын ауытқу ең үлкен шамаға жетеді:
x(t) = Аsin = А sin 90
° = А.
Олай болса, (5.5) теңдеуін (5.6) формуласын ескеріп, мына түрде жаза 
аламыз:
                                   x(t) = А sin = А sinωt. 
 
            (5.7)
Дененің 
x  ауытқуын  уақыттың  функциясы  ретінде  көрсе-тетін  бұл 
теңдеу гармоникалық (синусоидалық) тербелмелі қозғалыстың теңдеуі 
деп аталады. 
2. Егер дене шеңбер бойымен қозғалысын жоғарыда айтқанымыздай 
1-нүктеден  емес,  одан  да  ертерек  бастаған  болса,  онда 
ОВ  радиуcы 
дене осы нүктеге жеткенше белгілі бір  бұрышқа бұрылар еді. Бұндай 
бұрышты  тербелмелі  қозғалыстың 
бастапқы  фазасы  деп  атайды  да, 
  бұрышына  қосып  жазады  ( + ).  Ендеше,  (5.7)  теңдеуін  бастапқы 
фазасы нөлге тең тербелістер үшін қолданады, ал бастапқы фазасы бел- 
гілі  бір    бұрышын  құрайтын  тербелмелі  қозғалыстың  теңдеуі  мына 
түрде жазылады:
                                     
x(t) = Аsin(ωt + φ).  
                      (5.8)
Мұндай  теңдеудің  графигі  де  периодты  өзгеретін  синусоида  қисы-
ғымен  бейнеленеді.  (5.7)  және  (5.8) 
теңдеулері  амплитудалары  да,  пе- 
риодтары  да,  бұрыштық  жылдам-
дықтары  да  бірдей  болатын  тербел-
мелі  қозғалыстарды  сипаттайды. 
Алайда (5.8) теңдеуіндегі синусоида 
қисығы      фазасына  ығысып  салы-
нады (сурет 5.7).
x
0
A
t

2
Сурет 5.7
Т

167
ПРОЕКТ
Синус  функциясы  периодты  өзгеретін  функция  болғандықтан,  жо-
ғарыдағы (5.7 және 5.8) формулаларымен сипатталатын қозғалыстарды 
периодты деп те, гармоникалық немесе синусоидалық қозғалыстар деп 
те атай береді.
3. Дененің шеңбер бойымен толық бір айналып шығуына бір период 
уақыт кетеді (
t = Т). Осы уақытта оның Ох өсіндегі проекциясы толық 
бір  тербеліс  жасайды.  Бұны 
бір  цикл  деп  атайды.  Бір  циклде  денемен 
бірге  шеңбердің 
ОВ  радиусы,    =  360
° = 2π градусқа бұрылады (сурет 
5.7). Бір циклге сәйкес келетін дененің бұрыштық жылдамдығын цикл-
дік жиілік деп атайды да, мына формуламен анықтайды:
                                          
ω =
2
=
2
.
π
π
t
T
   
 
            (5.9)  
Екінші жағынан 
т периодпен ν жиіліктің арасында кері пропорция-
лық байланыстың бар екенін  білеміз:
                                           
т = 1/n = 1/ν.   
 
           (5.10)
Олай болса, (5.9) формуласы мына түрге келеді:
                                           
ω = 2 π n = 2 π ν,  
 
           (5.11) 
мұндағы 
n  =  ν  –  дененің  шеңбер  бойымен  1  с  ішіндегі  айналым  саны 
немесе толық тербелістер саны. Оны 
меншікті жиілік (қысқаша жиілік) 
деп атайды.
4.  (5.8)  формуласымен  сипатталатын  тербелмелі  қозғалыстың  тең-
деуін циклдік немесе меншікті жиіліктер арқылы да жаза аламыз:
                              x(t) = Аsin(ωt + φ) = Аsin(
2

T
t + φ)               (5.12) 
немесе 
                               x(t) = Аsin(ωt + φ) = Аsin(2 πνt + φ).                  (5.13)
1.  Гармониялық (синусоидалық) тербелмелі қозғалыстың теңдеуі деп қандай 
теңдеуді айтады? Ондағы шамалар нені білдіреді? Графикте көрсетіңдер.
2.  Тербелмелі  қозғалыстың  бастапқы  фазасы  деп  нені  атайды?  Бастапқы 
фазасы бар тербелмелі қозғалыстың теңдеуі қалай жазылады?
3.  Синус функциясымен сипатталатын тербелістерді не себептен периодты 
немесе синусоидалы тербелістер деп атайды?
4.  Циклдік жиілік деп нені айтады? Циклдік жиілік пен тербеліс жилігінің 
байланысы қандай формуламен сипатталады?
Сұрақтар
?

168
ПРОЕКТ
5.  Периодты  қозғалыстардың  теңдеулері    период  және  жиілік  арқылы 
қалай жазылады?
6. Төмендегі мысалда келтірілген есептің шығару жолдарын түсіндіріңдер.
Есеп шығару мысалы
1-есеп. Гармоникалық тербелістің қозғалыс теңдеуі 
x = 0,06•cosπt (м) 
өрнегімен берілген. Тербелістің амплитудасын, жиілігін және периодын 
табыңдар.
Жаттығу 5.2
Берілгені
х = 0,06 · cosπt (м)
 
А – ?, Т – ?, ν – ?
Есеп мазмұнын талдау
Гармоникалық  тербеліс  периодты  өзгеретін 
синус  немесе  косинус  функцияларымен  сипатта-
лады.  Жалпы  алғанда  гармоникалық  тербелістер 
мына теңдеулермен сипатталады:
                       x = Asin(ωt + ϕ
0
) немесе 
x = Acos(ωt + ϕ
0
).                 (1)
Есептің  шарты  бойынша 
x  =  0,06  cosπt.  Бұл  өрнекті  (1)  теңдеуімен 
салыстырып, мына шамалардың мәндерін табамыз:
А = 0,06 м; ω = π; ϕ
0
 = 0.
Екінші жағынан 
ω
π
=
T
2
.  Олай болса 
π
π
Τ
=
2
,  бұдан Т = 2 с. 
Жиілік периодқа кері шама:  ν =
T
=
c
=
c =
Ãö.
1
1
2
0 5
0 5
1
,
,
−
Жауабы: А = 0,06 м; T = 2 c; ν = 0,5 Гц. 
1.  Амплитудасы 0,1 м, периоды 4 с, бастапқы фазасы нөлге  тең гармония-
лық тербелістің теңдеуін жазыңдар.
2.  Көрсетілген  графиктегі  қисық  (сурет  5.8) 
қандай  қозғалысты  сипаттайды?  Осы  қи-
сықпен  сипатталатын  қозғалыстың  тең-
деуін жазыңдар.
3. Периодты қозғалыстың бір минутында 150 
тербеліс жасалады. Тербелістің амплитуда-
сы 5 см, ал бастапқы фазасы /4 деп есеп-
теп,  тербелмелі  қозғалыстың  теңдеуін  жа-
зыңдар. графигін сызып көрсетіңдер.
4.  Амплитудасы  50  мм,  периоды  4  с,  бастапқы  фазасы  /4  болатын  гар-
мониялық  тербелістің  теңдеуін  жазыңдар.  Уақытты 
t
1 
=  0  секундтан 
1   2   3  4  5     6   7   8   9  
t,c
    
3
    2
    1
    0
–1
–2
–3
X, м
Сурет 5.8

169
ПРОЕКТ
бастап  жарты  секундқа  (0,5  с)өсіре  отырып,  оларға  сәйкес  келетін 
х 
ауытқулардың мәндерін анықтаңдар да, тербелістің графигін салыңдар.
5.  Алдыңғы  есеп  бойынша  салған 
графиктеріңді осы есепте көрсетілген 
графикпен (сурет 5.9) салыстырың- 
дар.  Бұл  графиктер  бір-біріне  дәл 
келулері керек. Дәл келмесе қайсы-
сында қате кеткенін анықтаңдар.
6.  Төмендегі  төрт  графикті  (сурет 
5.10)  пайдаланып,  гармоникалық 
тербелістердің амплитудаларын, пе-
риодтарын,  жиіліктерін,  циклдік 
жиіліктерін  және  бастапқы  фаза-
ларын анықтаңдар. Тербелістердің теңдеулерін жазып көрсетіңдер.
x, см
x, см
    5
   0
–5
0,05
t, c
   2
   1
   0
–1
–2
0,05
1,0
1,5
t, c
x, см
   10
    5
    
    0
  –5
–10
1
2
t, c
   0,2
   0,1
     0
–0,1
–0,2
1 2 3
4 5 6 t, 10
–3
 
c
Сурет 5.10
x, см
x, м
0, 06
0, 04
0, 02
–0, 02
–0, 04
–0, 06
0
0,
 1
0,
 2
0,
 3
0,
 4
0,
 5
0,
 6
0,
 7
0,
 8
t, c
Сурет 5.9

170
ПРОЕКТ
1.  Тербелмелі  жүйедегі  гармоникалық  қозғалыстар  кезінде  меха-
никалық  энергия  бір  түрден  екінші  түрге  үнемі  айналып  отырады; 
алайда жүйенің толық энергиясы өзгеріссіз сақталады. Оған көз жеткізу 
үшін  тұйық  жүйедегі  ауырлық  (сурет  5.11)  және  серпімді  (сурет  5.13) 
күштердің әрекетінен орындалатын тербелістерді қарастырайық.
Е
k 
= 0
B
2
 
h
 
mgh
 
Е
n 
= 0
O
 
B
1
 
mgh
 
;
Е
k 
= 0
h
 
v

mg

T

mv
2
2
Сурет 5.11
. Ауырлық күші әрекетінен орындалатын
тербелістегі энергия түрленуі
Ауырлық  күші  әрекетінен  (сурет  5.11)  дене  оң  жақтағы  ең  үлкен 
ауытқуға сәйкес келетін 
В
1
 нүктесінен тербеле бастасын дейік. Тербеліс-
тегі  дененің 
В
1
  нүктедегі  күйі  ауытқудың 
x(t)  графигінде  де  В
1
  (сурет 
5.12, жоғарғысы) нүктесімен бейнеленген. 
В
1
 нүктедегі ауытқу 
A = +x
max
 
максимум амплитудалық шамасына сәйкес келеді. Бұл нүктеде дене бір 
сәтке тоқтап (ϑ = 0), кері бағытта қозғалыс жасай бастайды. 
В
1
 нүктесінде 
дененің потенциалдық энергиясы ең үлкен шамаға жетеді (
һ = һ
max
), ал 
кинетикалық энергия нөлге теңеледі:
Е
п
 = 
mgh
max
; 
Е
к
 = (
mϑ
2
/2) = 0.
Сөйтіп,  жүйенің 
В
1
  нүктедегі  толық  механикалық  энер-гиясы  тек 
потенциалдық энергиядан тұрады:
Е = Е
п 
+ 
Е
к
 = 
mgh
max
.
Бұдан кейін дене 
t = Т/4 уақыт өткізіп, тепе-теңдік күйге сәйкес келе-
тін 
О нүктесіне жетеді. Тербелістегі дененің бұл нүктедегі күйі синусои-
да қисығының горизонталь 
Оt өсінің бойында жатқан О
1
 нүктесіне сәй-
кес келеді (сурет 5.12, жоғарғысы). Бұл нүктеде жүйенің потенциалдық 
энергиясы нөлге теңеледі (
һ = 0), оның есесіне кинетикалық энергия ең 
үлкен шаманы қабылдайды (ϑ =ϑ
max
):
§29.
 
       тЕрБЕЛіСтЕр КЕЗіНдЕгі ЭНЕргИяНЫң түрЛЕНуі

171
ПРОЕКТ
Е
п
 = 0; 
Е
к
 = 
m(ϑ
max
)
2
/2.
Сөйтіп,  жүйенің 
О  нүктедегі  толық  механикалық  энергиясы  тек 
кинетикалық энергиядан тұрады:
Е = Е
к 
+ 
Е
п
 = 
m(ϑ
max
)
2
/2.
Дене қозғалысын жалғастырып, 
В
1
 нүк- 
теден  есептегенде 
t = Т/2  уақыт  өткенде 
сол жақтағы ең шеткі 
В
2
 ауытқу нүктесіне 
жетеді де, бір сәт тоқтап (ϑ = 0), қайтадан 
кері  бағытта  қозғалыс  жасай  бастайды. 
Тербелістегі  дене 
В
2 
нүктеде  ең  үлкен 
A  =  –x
м
  ауытқу  жасайды.  Дененің  бұл 
нүктедегі  күйіне  синусоида  қисығының 
да 
В
2 
нүктесі  сәйкес  келеді  (сурет  5.12). 
В
2 
нүктесінде  де  дененің  потенциалдық 
энергиясы  ең  үлкен  шамаға  жетеді,  ал 
кинетикалық энергия нөлге теңеледі. Де- 
ненің  бұдан  әрі  қозғалысында  оның  по-
тенциалдық  энергиясы  кеми  береді  де, 
кинетикалық  энергиясы өсіп,  тепе-теңдік 
күйін сипаттайтын 
О нүктесінде ең үлкен 
шамасына  жетеді.  Дененің  екінші  рет 
оралған  бұл  нүктедегі  күйіне  синусоида 
қисығының  горизонталь  өстегі 
О
2
  нүктесі  сәйкес  келеді  (сурет  5.12, 
жоғарғысы). Дене бұдан кейін тағы да 
t = Т/4 уақыт өткізіп, алғашқы 
орны 
В
1
  нүктесіне  оралады.  Дененің  бұл  нүктедегі  күйіне  синусоида 
қисығының 
В
3
  нүктесі  сәйкес  келеді  (сурет  5.12,  жоғарғысы). 
В
3
  нүк-
тесінде  де  дененің  потенциалдық  энергиясы  ең  үлкен  шамаға  жетеді, 
ал кинетикалық энергия нөлге теңеледі. Бұл нүктеге қайыра оралғанда 
дене бір период (
Т) уақыт өткізіп толық бір тербеліс жасайды. Дененің 
бұдан кейінгі тербелістері кезінде де энергия түрленулері жоғарыда си-
патталған түрленулерді қайталайды. Міне, осылайша 
F
a
 = mg ауырлық 
күшінің әрекетінен туындайтын синусоидалық тербеліс кезінде жүйенің 
механикалық энергиясы бір түрден екінші түрге алма-кезек ауысады:
mgh
max
 = 
m(ϑ
max
)
2
/2.
2. 
F
с
 = k|x| серпімділік күшінің (сурет 5.13) әрекетінен туындайтын 
синусоидалық тербеліс кезінде де серіппенің 
Е
п
 потенциалдық энергиясы 
мен дененің 
Е
к
 кинетикалық энергиясы да бір-біріне алма-кезек түрленіп 
отырады:
x B
1
 
B
2
 
B
3
 
О
2
 
О
1
 
+
x
m
0
0
0
–
x
m
v
a
+
x
m
–
x
m
+
2
x
m
–
2
x
m
t
t
t
3
 
T/4
T/2
T/4
Сурет 5.12.
х(t), ϑ(t) және а(t) шамаларының 
тербеліс графиктері

172
ПРОЕКТ
Сурет 5.13. Серпімділік күші әрекетінен орындалатын тербелістегі энергия түрленуі
g

О
x
max
v = 0
x = 0
W
n
 
– max
W
n
 
– max
W
k
 
– max
x
x
v
v
v
max
x
max
v = 0
ә)
 
k(x
max
)
2
/2 = 
m(ϑ
max
)
2
/2.
Ауырлық  және  серпімді  күштердің  әрекетінен  орындалатын  тер-
белістердегі  энергия  түрленулерін  қарастыра  отырып,  мынадай  қоры-
тынды жасаймыз: 
тербелістер барысында потенциалдық энергия ки-
нетикалық энергияға және керісінше түрлене алады, алайда тұйық 
жүйелердегі механикалық энергия тұрақты сақталады:
е = е
п
 + 
е
к
 = 
const.
3. Тербелмелі қозғалыс кезінде дененің 
х ауытқуымен қоса оның ϑ 
жылдамдығы  мен  а  үдеуінің  шамалары  да  периодты  өзгереді.  Алайда 
олардың 
Т  периодтары  да, 
ν  жиіліктері  де,  ω  циклдік  жиіліктері  де 
бірдей мәндерді қабылдайды да, тек 
А амплитудалары мен 
φ фазалары 
ғана әртүрлі болып келеді. Мысалы, гармоникалық тербелістегі 
x ауыт-
қудың  бастапқы  фазасын  ϕ  =  0
°,  ал  амплитудасын  А  деп  алсақ,  онда 
тербелістің сәйкес уақыттағы ϑ жылдамдығының бастапқы фазасы 
ϕ
π
=
2
,  
амплитудасы 
А
v
 = ω
А  мәндерімен  анықталады.  Сол  сияқты  тербелмелі 
қозғалыстың 
а үдеуінің бастапқы фазасы ϕ = π мәнін, ал амплитудасы А
а
 
= ω
2
А мәнін қабылдайды.
Міне, сондықтан тербелмелі қозғалыстағы уақыттың 
t кезеңіне сәй-
кес келетін 
х ауытқудың, ϑ жылдамдықтың және а үдеудің теңдеулері 
мына формулалармен сипатталады:
x(t) = Asinωt;
ϑ(t) = ωAsin(ωt + 
π
2
);
a(t) = ω
2
Asin(ωt + π).
Бұл формулалардан мынадай қорытындылар туындайды: біріншіден, 
графиктерде 
x(t) синусоидасына қарағанда ϑ(t) синусоидасының бастап-
қы  фазасы 
π
2
  шамасына,  ал 
а(t)  синусоидасының  бастапқы  фазасы  π 

173
ПРОЕКТ
шамасына  ығысып  салынады  (сурет  5.12);    екіншіден,  ығысудың 
А 
амплитудасына  қарағанда  жылдамдықтың  амплитудасы  ω  есе  артық 
(
А
ϑ
 = ω
А), ал үдеудің амплитудасы ω
2
 есе артық (
А
а
 = ω
2
А); үшіншіден, 
циклдік  жиіліктері  (ω),  меншікті  жиіліктері  (ν)  және  периодтары  (
Т) 
бірдей шамаларды қабылдайды.
Ауытқу  мен  жылдамдықтың  және  үдеудің  формулалары  бойынша 
олардың графиктерін салғанда төмендегі кестелердің үлгілерін пайдалану 
қажет:
х, м x
1
x
2
...
t, c t
1
t
2
...
1.  Ауырлық  және  серпімділік  күштері  әрекет  ететін  тербелмелі  жүйеде 
механикалық энергия қалай түрленеді? Энергия түрленулерінен қандай 
қорытынды туындайды?
2. Гармоникалық тербелістегі ауытқу мен жылдамдықтың теңдеулері қа-
лай жазылады? Неге?
3.  Гармоникалық тербелістегі үдеудің теңдеуі қалай жазылады? Неге?
4.  Гармоникалық  тербелістегі  ауытқу  мен  жылдамдықтың  және  үдеудің 
амплитудалары қалай анықталады?
5.   Гармоникалық  тербелістегі  ауытқу  мен  жылдамдықтың  және  үдеудің 
графиктері қалай салынады?
6. Төмендегі мысалда келтірілген есептің шығару жолдарын түсіндіріңдер.
Есеп шығару мысалы
1-есеп. Ығысу модулі амплитуданың жартысына тең болса, онда тер-
белістің фазасы қандай болады?
ϑ, м/c ϑ
1
ϑ
2
...
t, c
t
1
t
2
...
a, м/c
2
a
1
a
2
...
t, c
t
1
t
2
...
Сұрақтар
?
Берілгені
х = 
1
2
A = A
t
sin
ω
 
А
 ω
t – ?
Есеп мазмұнын талдау
Тербелістің  теңдеулерінің  аналитикалық  өрнектері  бе-
рілмеген. Сондықтан тербелістің бастапқы фазасын ϕ
0
 = 0
° 
деп  алып,  периодты  функцияның  төмендегі  екі  түрін  де 
пайдаланамыз:
x = Asinωt; x = Acosωt.
Есептің шарты бойынша: 
1
2
A = A
t
sin
ω  немесе 
1
2
A = A
t.
cos
ω   Тер-
белістің  фазасын  ϕ = ω
t  деп  белгілеп,  соңғы  теңдіктерден  периодты 
функцияның екі түрі үшін ϕ
1
 және ϕ
2
 мәндерін табамыз.

174
ПРОЕКТ
Шешуі: 
1
2
1
= sin
;
ϕ   немесе  sin30°  =  sinϕ
1
;  Олай  болса, 
ϕ
π
1
=
=
30
6

.
Толық тербеліс жасаған сайын бұған 2π қосылады.
1
2
= cos
ϕ
2
 немесе cos60° = cosϕ
2
; 
ϕ
π
2
= 60 =

3
.
Жауабы: 
ϕ
π
1
=
6
 т. с. с; 
ϕ
π
2
=
3
 т. с. с
1.  Тұрып  қалған  қабырға  сағатының  маятнигін  тербеліске  келтіру  үшін 
оған  потенциалдық  энергияны  және  кинетикалық  энергияны  қалай 
беру керек?
2.  Массасы  400  г  жүк  қатаңдығы  250  Н/м  серіппеде  тербеледі.  Тербеліс 
амплитудасы 15 см. Тербелістің толық механикалық энергиясын және 
жүктің ең үлкен қозғалыс жылдамдығын анықтаңдар.
3. Қатаңдығы 0,4 кН/м серіппеге бекітілген массасы 640 г жүк тепе-тең-
дік  күйінен  1  м/с  жылдамдықпен  өту  үшін  оны  тепе-теңдік  күйінен 
қандай қашықтыққа ауытқыту қажет?
4. Қатаңдығы 0,5 кН/м серіппеде тербеліп тұрған жүк тербеліс амплитуда-
сы  6  см  болғанда  ең  үлкен  3  м/с  жылдамдықпен  қозғалады.  Жүктің 
массасы қандай?
5. Гармониялық тербеліс 
х = 0,3 sin (t + 0,5) м теңдеуімен сипатталады. 
Мына тапсырманы орындаңдар: 1) тербелістің периодын, амплитудасын 
және  бастапқы  фазасын  анықтаңдар;  2)  қозғалыс  жылдамдығы  мен 
үдеуінің теңдеулерін құрыңдар; 3) гармоникалық тербеліс ауытқуының, 
жылдамдығының және үдеуінің графиктерін салыңдар.
1. Тербелмелі жүйелердің қарапайым түрі – 
математикалық маят-
ник (сурет 5.14, ә). Математикалық маятник деп массасын елемеуге бо-
латын созылмайтын жіпке ілінген өлшемдері кішкентай денені айтады.
Маятниктердің қозғалысын бақылай отырып, Галилео Галилей мына-
дай эксперименттік заңдарды тағайындады:
Жаттығу 5.3

жүктеу/скачать 5,74 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: