Оқулық Алматы «Атамұра» 2018 математика 1-3417

201
Теңдеулер жүйесін шешу тәсіліне назар аударыңдар. 
есеп. Екі санның қосындысы 21-ге, ал айырмасы 9-ға тең. Осы сандарды табыңдар. 
х – бірінші сан, у – екінші сан. 
1) Теңдеулер жүйесін құрайық:  
   
 
 
 
x y
x y
+ =
− =



21
9
,
;
2)  Теңдеулердің  сол  жағын  және  оң  жағын  мүшелеп  қосайық,  сонда  қосынды 
2
х=30 – бір айнымалысы бар теңдеу, осыдан х=15; 
3) Айнымалының табылған мәнін жүйедегі теңдеулердің қалаған біреуіне қойып, 
екінші айнымалының мәнін табу керек:
15+
у=21;  
 
      
15 6
21
15 6
9
+ =
− =



,
;
   
21 21
9
9
=
=



,
.
у=21–15;  
Т е к с е р у :                 
у=6.
Жауабы: х=15; у=6. 
Осы тәсілмен 
x
y
x
y
+
=
−
=



2
9
2
1
,
теңдеулер жүйесін шешіп үйреніңдер. 
10.5. екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер 
жүйесін қосу тәсілімен шешу 
Екі  айнымалысы  бар  сызықтық  теңдеулер  жүйесін  қосу  тәсілімен 
шешуді қарастырайық. 
Екі  айнымалысы  бар  сызықтық  теңдеулер  жүйесін  қосу  тәсілімен 
шешуде айнымалылардың коэффициенттеріне байланысты көбінесе мы-
надай жағдайлар кездеседі. 
і  жағдай.  Теңдеулер  жүйесіндегі  айнымалылардың  біреуінің 
коэффициенттері – қарама-қарсы сандар. 
1-мысал.                                3
2
6
0
6
2
30
0
x
y
x
y
−
− =
+
−
=



,
.
                                                           (1)
теңдеулер жүйесін қосу тәсілімен шешейік. 
Теңдеулердің сол және оң жақтарын мүшелеп қосайық: 
+
+ =
− =
{
=
6
2
30
3
2
6
9
36
x y
x y
x
,
.
Берілген  жүйенің  бір  теңдеуін  9
х=36  теңдеуімен  алмастырайық. 
Сонда алғашқы берілген (1) теңдеулер жүйесімен мәндес
                                    
9
36
6
2
30
x
x
y
=
+
=



,
.                                     (2)
(2) теңдеулер жүйесі шығады, ондағы бірінші теңдеуден 
х=4. х-тің мәнін 
жүйенің екінші 6
х+2у=30 теңдеуіне қойсақ: 
6 · 4+2
у=30, 24+2у=30, у=3.

202
Теңдеулер жүйесінің бір ғана
 х=4, у=3 шешімі бар.
Қысқаша: 
3
2
6
6
2
30
9
36
x
y
x
y
x
−
=
+
=



=
,
,
 
 
      
х=4;        6 · 4+2у=30, 2у=6, у=3.
Жауабы: (4; 3). 
іі  жағдай.  Теңдеулер  жүйесіндегі  айнымалылардың  біреуінің 
коэффициенттері тең. 
2-мысал .  2
5
16
2
7
20
x
y
x
y
+
=
+
=



,
 
теңдеулер жүйесін шешейік. 
Теңдеулердің  біреуінің  екі  жағын  да  –1-ге  көбейтіп,  теңдеулерді 
мүшелеп қосу керек немесе теңдеулердің біреуінен екіншісін азайту керек:
                          
2
5
16
2
7
20
2
4
2
x
y
x
y
y
y
+
=
−
−
= −



−
= −
=
,
,
     
немесе    
 
2
5
16
2
7
20
2
4
2
x
y
x
y
y
y
+
=
+
=



−
= −
=
,
,
.
 
у-тің табылған мәнін жүйедегі теңдеулердің кез келген біреуіне қоямыз.
Мысалы,  
2
х+5 · 2=16, 
   
 
2
х=16–10,
   
 
2
х=6, 
   
 
х=3.
Жауабы: (3; 2).
ііі жағдай. Теңдеулер жүйесіндегі айнымалылардың ешқайсысының 
коэффициенттері өзара тең емес және қарама-қарсы сандар да емес. 
3-мысал.  2
3
7
5
25
x
y
x
y
−
−
=



=4,  
теңдеулер жүйесін шешейік. 
Теңдеулер жүйесіндегі айнымалылардың біреуінің коэффициенттері 
қарама-қарсы сандар болатындай көбейткіштерді таңдап алу керек. Со-
нан соң теңдеулердің әрқайсысының екі жағын да тиісті көбейткіштерге 
көбейтіп, берілген жүйені мәндес жүйемен алмастыру керек. 3-мысалдағы 
теңдеулер  жүйесінің  бірінші  теңдеуінің  екі  жағын  да  7-ге,  екінші 
теңдеуінің екі жағын да –2-ге көбейту керек: 
+
–
+

203
2
3
7
5
25
7
2
x
y
x
y
−
−
=



−
( )
=4
;
·
·
  сонда  
14
21
28
14
10
50
11
22
2
x
y
x
y
y
y
−
=
−
+
= −



−
= −
=
,
,
.
 
у-тің  табылған  мәнін  жүйедегі  теңдеулердің  кез  келген  біреуіне 
қоямыз: 
2
х–3 · 2=4,    
Т е к с е р у : 
2
х=4+6,
2
х=10,
х=5. 
 
 
Жауабы: (5; 2).
Екі  айнымалысы  бар  сызықтық  теңдеулер  жүйесін  қосу  тәсілімен 
шешу үшін: 
1)  айнымалылардың  біреуінің  коэффициенттері  (бірінші  және 
екінші  теңдеудегі)  қарама-қарсы  сандар  болатындай  көбейткіштерге 
(көбейткішке)  жүйенің  теңдеулерінің  екі  жағын  да  (бір  теңдеуін) 
көбейту керек;
2)  жүйе  теңдеулерінің  оң  жақтарын  және  сол  жақтарын  мүшелеп 
қосып немесе азайтып, оны бір айнымалысы бар теңдеуге айналдыру керек;
3)  шыққан  бір  айнымалысы  бар  теңдеуді  шешіп,  айнымалының 
біреуінің мәнін табу керек; 
4)  айнымалылардың  біреуінің  табылған  мәніне  сәйкес  екінші 
айнымалының мәнін табу керек. 
Егер  айнымалылардың  біреуінің  коэффициенттері  қарама-қарсы 
сандар болса, онда жүйені шешуді бірден теңдеулерді мүшелеп қосудан 
бастау керек.
 
1.  Теңдеулер  жүйесіндегі  айнымалылардың  біреуінің  ғана  коэффициенттері 
қарама-қарсы сандар болса, теңдеулер жүйесін қалай шешуге болады?
2. Айнымалылардың біреуінің сәйкес коэффициенттері өзара тең болса, теңдеулер 
жүйесі қалай шешіледі? 
3. Айнымалылардың сәйкес коэффициенттері өзара тең де, қарама-қарсы сандар да 
болмаса, теңдеулер жүйесін қосу тәсілімен қалай шешеді? 
1460.   1)  x y
x y
+ =
− =



12
2
,
;
 
2)  x y
x y
+ =
− + =



19
1
,
;
 
3)  2
10
2
x y
x y
+ =
− =



,  
 
теңдеулер жүйелерінің қайсысына: а)
 х=9; у=10; ә) х=7; у=5;  
б) 
х=4; у=2 мәндер жұбы шешім болады (а у ы з ш а )? 
а
 
1461.   Теңдеулер жүйесін қосу тәсілімен шешіңдер: 
 
1)  5
20
2
1
x y
x y
+ =
− =



,
;
    
3)  2
3
2
2
5
18
x
y
x
y
+
=
−
+
= −



,
;
 
 
+

204
 
2)  2
3
9
4
3
27
x
y
x
y
−
=
+
=



,
;
    
4)  x
y
x y
+
=
− =



4
39
2
15
,
.
1462.   Теңдеулер жүйесін қосу тәсілімен шешіңдер: 
 
1)  7
2
9
5
2
11
x
y
x
y
+
=
+
=



,
;
   
3)  x
y
x
y
+
=
+
=



7
19
5
13
,
;
 
2)  9
2
17
2
7
x
y
x
y
−
= −
−
=



,
;
   
4)  5
2
15
2
7
x
y
x y
−
=
− =



,
.
1463.   Теңдеулер жүйесін шешіңдер: 
 
1)  3
5
16
2
3
9
x
y
x
y
+
=
+
=



,
;
   
3)  3
5
23
2
3
9
x
y
x
y
−
=
+
=



,
;
 
2) 
9
7
95
4
34
x
y
x y
−
=
+ =



,
;
 
 
4) 
6
5
0
2
3
8
x
y
x
y
+
=
+
= −



,
.
1464.   Теңдеулер жүйесінің шешімі табыла ма, табылса, неше шешімі 
бар: 
 
1) 
2
5
1
6
15
3
x
y
x
y
−
=
−
=



,
;
 
2) 
x
y
x y
+
=
+ =



7
19
2
12
,
;
 
3) 
5
3
3
5
3
8
x
y
x
y
−
= −
−
+
=



,
?
 
 Теңдеулер жүйесін құрып, оны қосу тәсілімен шешіңдер (1465–
1472). 
1465.   Екі  санның  арифметикалық  ортасы  19-ға  тең,  айырмасы  4-ке 
тең. Осы сандарды табыңдар. 
1466.   Теплоход 2 сағ ағыспен жүзіп, 50 км қашықтыққа барды, 3 сағ 
ағысқа  қарсы  жүзіп,  одан  10  км  қашықтықты  артық  жүзді. 
Теплоходтың  меншікті  жылдамдығын,  ағыс  жылдамдығын 
табыңдар. 
1467.  
Асхат қорадағы жайылып жүрген лақтардың және тауықтардың 
аяқтарын санағанда, барлығы 46 аяқ болды. Олардың бастарын 
санағанда,  барлығы  17  болды.  Асхаттың  қорасында  неше  лақ, 
неше тауық жайылып жүр?
1468.   Екі санның қосындысында 3 жүздік, 5 ондық және 4 бірлік бар. 
Осы екі санның айырмасында 3 ондық 6 бірлік бар. Бірінші сан-
ды, екінші санды табыңдар. 
1469.   Тік  төртбұрыштың  ені  ұзындығынан  6  см  қысқа,  ал  ұзындығы 
енінен  1,4  есе  ұзын.  Тік  төртбұрыштың  ұзындығы  неше  санти-
метр? Ені неше сантиметр? 

205
1470.   Екі  балада  15  алма  бар.  Егер  бірінші  бала  екінші  балаға  4  ал-
масын  берсе,  оның  өзінде  екінші  баладағыдан  2  есе  кем  алма 
қалады. Балалардың әрқайсысында неше алма бар?
1471.   Ұзындығы  120  м  шеңбер  бойымен  екі  бала  бір  жерден  қарама-
қарсы жүгірсе, 15 секундта кездеседі. Егер осы шеңбер бойымен 
балалар бірінен соң бірі жүгірсе, 1 мин өткен сайын кездесіп оты-
рады. Балалардың әрқайсысының жылдамдығын табыңдар. 
1472.   Моторлы қайық ағыспен жүзгенде 3 сағатта 105 м қашықтыққа 
барады, ал ағысқа қарсы жүзсе, 4 сағатта 116 км қашықтыққа 
барады.  Ағыс  жылдамдығы  сағатына  неше  километр?  Моторлы 
қайықтың меншікті жылдамдығы сағатына неше километр?
1473.
   Теңдеуді шешіңдер: 
  1) 
7 2
4
2
5
110 2 3 8
,
, : , ;
x
x
+
=
    
3) 
3 4
0 4
0 2
1 52
8 32
, ·
,
,
,
,
;
x
+
(
)
+
=
 
  2) 
3
3
4
1
3
0 4
1 1
x ·
,
, ;
+




=
 
 
4) 
44 62
7 8 0 5
26 51 31 11
,
: ,
,
,
,
.
+
(
)
+
=
x
 
В 
1474.   Теңдеулер жүйесін қосу тәсілімен шешіңдер: 
 
1) 
2
7
44
0
2
3
36
x
y
x
y
+
−
=
−
= −



,
;
  
 
3) 
15
11
47
0
5
17
0
x
y
x y
+
−
=
− +
=



,
;
 
 
2) 
x
y
x
y
−
−
=
+
−
=



8
17
0
3
4
23
0
,
;
   
 
4) 
8
9
21
0
3
2
12
0
x
y
x
y
−
−
=
−
−
=



,
.
1475.   Теңдеулер жүйесін қосу тәсілімен шешіңдер: 
 
1) 
0 2
15
9 8
0 75
10
3
,
, ,
,
;
x
y
x
y
+
=
−
= −



 
 
3) 
15
11
25
5
4
10
x
y
x
y
−
=
−
=



,
;
 
2) 
0 3
0 5
0
0 1
2
6 5
,
,
,
,
, ;
x
y
x
y
−
=
+
=



   
 
4) 
0 7
6
27 9
1 5
2
14 5
,
, ,
,
, .
x
y
x
y
+
=
−
= −



1476.   Теңдеулер жүйесінің шешімін қосу тәсілімен табыңдар: 
 
1) 
2
3
9
6
3
2
30
x
y
x
x
y
x
+
(
)
+ = +
−
(
)
= +




,
;
 
 
3) 
4 3
1
2
2 4
19
x y
y
x
x y
x
+
(
)
− = −
−
(
)
+
= −




,
;
 
2) 
5 3
2
7 12
4
31
x
y
x y
x
+
(
)
= +
+
(
)
+ =




,
;
 
 
4) 
2
2
7
6
5 2
2
60
x
y
y
x y
x
y
+
(
)
−
=
+
(
)
− =
+




,
.

206
1477.   Теңдеулер жүйесін қосу тәсілімен шешіңдер: 
 
1) 
x
y
x
y
3
2
6
2
3
2 5
+ =
− =






,
, ;
    2) 
x
y
x
y
6
4
6
8
2
1
+ =
− = −






,
;
     3) 
x
y
x
y
3
4
4
2
4
1
+ =
− =






,
;
   4) 
x
y
x
y
12
5
8
4
7
2
+ =
− = −






,
.
 
 
Теңдеулер жүйесін құрып, оны қосу тәсілімен шешіңдер (1478–
1486). 
1478.   Елдос  пен  Мираста  36  марка  бар.  Егер  Елдос  Мирасқа  өз 
маркаларының 40%-ін берсе, Елдостың маркалары Мирастың мар-
каларынан  2  есе  кем  болады.  Алғашқыда  Елдоста  неше  марка,  
Мираста неше марка болды? 
1479.   Оқушы  екі  сан  ойлады.  Бірінші  сан  мен  2  еселенген  екінші 
санның айырмасы 4-ке тең. Бірінші сан мен 3 еселенген екінші 
санның қосындысы 39-ға тең. Оқушы қандай сандарды ойлады?
1480.   2 қорапша кәмпит пен 4 орам жаңғақтың массасы 1,7 кг. 5 қо- 
рапша кәмпит пен 3 орам жаңғақтың массасы 2,15 кг.
 
.
 1 қорапша кәмпиттің массасы неше грамм?
 
.
 1 орам жаңғақтың массасы неше грамм? 
1481.   7  қайықпен  31  адам  өзеннің  арғы  жағасына  өтулері  керек. 
Қайықтар  үшорындық  және  бесорындық.  Осы  адамдарды  түгел 
өзеннің арғы жағасына өткізу үшін неше бесорындық, неше үш-
орындық қайық керек?
1482.   
1
2
м
3 
болат  пен  0,3  м
3 
шойынның  массасы  6  т.
 
0,3  м
3 
болат  пен 
 
1
2
м
3  
шойынның массасы 5,84 т. 1м
3 
болат 1м
 3 
шойыннан қанша 
ауыр?
1483.   Автобустың  3  сағатта  жүрген  жолын  пойыз  2  сағатта  жүреді. 
Саяхатшылар  4  сағ  автобуспен  және  3  сағ  пойызбен  жүргенде 
барлығы  408  км  жол  жүрді.  Автобустың  жылдамдығын  және 
пойыздың жылдамдығын табыңдар. 
1484.   Өткен  жылы  50  га  жерге  бидай  және  30  га  жерге  қарабидай 
егіліп, 990 ц өнім алынды. Осы жылы 20 га жерге бидай және 
40 га жерге қарабидай егіліп, 760 ц өнім алынды. Екі жылдағы 
егіс  өнімдері  бірдей  деп  есептегенде  1  га  жерден  неше  центнер 
бидай және 1 га жерден неше центнер қарабидай алынды?

207
1485.   (
Әзіл есеп.) Хорға қатысқан қыздардың 
1
3
-і, ұлдардың 
1
4
-і өлеңді айқайлап айт-
ты.  Қалғандары  ауыздарын  жыбырлатып 
тұрды.  Өлеңді  айқайлап  айтқан  қыздар 
мен  ұлдардың  саны  8.  Өлеңді  айқайлап 
айтқан  қыздардың  ұлдардан  2-уі  артық. 
Хорға неше қыз, неше ұл қатысты?
 
1486.   Екі санның айырмасының 50%-і 9,5-ке тең. Бірінші санның 25%-і 
екінші саннан 44-ке кем. Осы сандарды табыңдар. 
  а. 75; 56;         В. 84; 65; 
     с. 72; 53;             D. 80; 61. 
1487.
   Өрнектің мәнін табыңдар: 
 
1) 
8
8
3
2
5
x
y
+
−
,
 мұндағы 
x y
+ = 1 25
,
;
 
 
2) 
0 4
2
5
9 8
,
· , ,
x
y
−




 мұндағы 
x y
− = 3 5
, ;
 
 
 3) 
12
4
5
1 25
x
y
· ,
,
 мұндағы 
x y
·
;
=
5
8
 
4) 
3
5
0 6
2 25
x
y
+




,
· ,
,
 мұндағы 
x y
+ = 2
2
9
.

жүктеу/скачать 7,07 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: