координаталық  жазықтықтағы  координаталары  екі  айнымалысы

185
Түзуді салу үшін оның бойындағы екі 
нүктенің координаталарын табу жеткілікті.
Онда 
екі  айнымалысы  бар  сызықтық 
теңдеудің  графигін  салу  үшін,  оның  екі 
нүктесінің  координаталарын  тауып,  сол 
екі нүкте арқылы түзу жүргізу керек. 
іі. егер
 ах + bу + с = 0 теңдеуіндегі a  0, 
b = 0, с  0 болса, ах + 0 · у + с = 0 немесе 
ах + с = 0.
2-мысал. 4
х–8=0, яғни 4х+0·у–8=0, х=2. 
Теңдеудің  шешімдері 
х=2,  ал  у  –  кез 
келген  сан  болатын  барлық  (
х;  у)  сандар 
жұптары.  Мысалы,  (2;  –1),  (2;  0),  (2;  1)
және  т.б.  сандар  жұбы.  Бұл  жағдайда 
теңдеудің графигі 
Ох абсциссалар осімен (2; 
0)  нүктесінде  қиылысатын  және 
Оу  орди-
наталар осіне параллель түзу болады (10.3, 
а-сурет). 
ііі.  егер 
ах  +  bу  +  с  =  0  теңдеуіндегі  
а = 0;  b  0 және  с  0  болса, 0 · х + bу + с = 0 
немесе 
bу + с = 0.
3-мысал. 0 · 
х+3у–9=0, яғни 3у–9=0; у=3. 
Теңдеудің  шешімдері 
у=3,  ал  х  кез 
келген  сан  болатын  барлық  (
х;  у)  сандар 
жұптары. 
Мысалы, (–2; 3), (0; 3), (4; 3) және т. б. 
сандар жұптары.
Бұл  жағдайда  теңдеудің  графигі  –  ор-
динаталар осімен (0; 3) нүктесінде қиылысатын, ал О
х абсциссалар осіне 
параллель түзу (10.3, 
ә-сурет). 
ах+bу+с=0  екі  айнымалысы  бар  сызықтық  теңдеудің  ең 
болмағанда  бір  айнымалысының  коэффициенті  нөлге  тең  болмаса, 
оның графигі түзу болады.
IV. егер 
а = 0;  b = 0 және  с  0  болса, теңдеудің шешімдері бол-
майды.
V. егер 
а = 0;  b = 0 және  с = 0  болса, координаталық жазықтықтағы 
кез келген нүктенің координаталары теңдеудің шешімдері болады.
екі  айнымалысы  бар  сызықтық  теңдеудің 
а≠0  және  b≠0  болған-
дағы графиктерін салу тәсілдерін қарастырайық.
1-тәсіл.  Теңдеудің  графигі  болатын  түзудің  координаталар 
осьтерімен қиылысу нүктелерін тауып, теңдеудің графигін салу.
4-мысал. 5
х–4у+20=0 теңдеуінің графигін салайық.
y
O
x
0
4x 
–8= 0
а)
10.3-сурет
y
O
x
3
у –9 = 0
ә)

186
Ш е ш у і . 1. Егер  
х=0 болса, 5 · 0 – 4у+20=0,
                                          –4
у=–20,
                                             
у=5.
            2. Егер  
у=0 болса, 5x–4 · 0+20=0,
                                        5
x=–20,
                                          
х=–4.
3.  
Oxу координаталық жазықтығында (0; 5) және (–4; 0) нүктелері 
арқылы түзу жүргіземіз. Сол түзу 5
x–4y+20=0 теңдеуінің графигі бола-
ды (10.4, 
а-сурет).
2-тәсіл. у-ті х арқылы өрнектеп алып, х-ке мәндер беру керек.
5-мысал. 2
х + у – 7 = 0
 
теңдеуінің графигін салайық.
Ш е ш у і . 
1.  
у-ті х арқылы белгілеу керек;
у=–2х+7.
Егер 
x=3 болса, у=1;
Егер 
x=1 болса, у=5.
2. 
Oxу  координаталық  жазықтықта  (3;  1)  және  (1;  5)  нүктелерін 
белгілейміз.
3. (3; 1) және (1; 5) нүктелері арқылы түзу   жүргіземіз. Сол түзу 
2
x+y–7=0 теңдеуінің графигі болып табылады (10.4, ә-сурет).
1.  Екі  айнымалысы  бар  сызықтық  теңдеудегі  ең  болмағанда  бір  айнымалының 
коэффициенті нөлге тең болмаса, оның графигі қандай сызық болады? 
2. Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеудің графигін қалай салады? 
3. 
у-тің коэффициенті (b=0) нөлге тең болғанда теңдеудің графигі қандай сызық?
1390. Мына теңдеулердің қайсысының графигі түзу сызық болады: 
 
1) 5
х+4у–20=0; 
 
3)  y
x
=
7
;     
     5) 
х
2
–
у=3; 
 
2) 
ху=12;   
 
4) 7
х+3у–21=0; 
     6) 3
х–2у=0?
ә)
10.4-сурет
y
0
1
1
2х 
+ 
у – 7 = 0
3
а)
y
x
0
5х 
– 4
у + 20 = 0
1
1
5
–4
5
x
O
O

187
10.5-сурет
      а)     
                    ә)
y
O
x
A
B
D
C
y
O
x
A
B
D
C
а
1391.   Теңдеудің графигін салыңдар: 
 
1) 
х+у–3=0; 
 
3) 
х+4у–3=0;  
5) 
х+9=0;
 
2) 2
х–у–4=0; 
 
4) 3
х+у–2=0;  
6) 4
у+8=0. 
1392.   1) 
А(3; 0); 2) В(2; 5); 3) С(–3; 10); 4) D(–6; 15) нүктесі 5х+3у=15 
теңдеуінің графигіне тиісті ме? 
1393.   1) 2
х+у–5=0 теңдеуінің графигін салыңдар. Графиктен абсцисса-
сы 2-ге тең нүктенің ординатасын табыңдар; 
 
2) 
х+3у+7=0 теңдеуінің графигін салыңдар. Графиктен ордината-
сы 1-ге тең нүктенің абсциссасын табыңдар. 
1394.   10.5-суреттегі 
АВ  және  CD  түзулерін  екі  айнымалысы  бар 
сызықтық  теңдеудің  графиктері  ретінде  қарастырып,  олардың 
әрқайсысының теңдеуін 
aх+bу=c түрінде жазыңдар.
 
1395.  
с-нің қандай мәндерінде: 
 
1) 
х–у=с;   
2) 3
х+1,5у=2+с; 
 
3) 4
х–3у=с–3
 
теңдеулерінің графиктері координаталар басынан өтеді?
1396. 
  Есепті теңдеу құру арқылы шығарыңдар. 
 
Қазір  тәуліктің  қалған  уақыты  тәуліктің  өткен  уақытының  
1
2
3
-сіне тең. Қазір сағат неше?
В 
1397.   –2
х+3у–12=0 теңдеуінің графигін салыңдар. Графиктен: 
 
1) ординатасы 2-ге тең нүктесінің абсциссасын табыңдар; 
 
2) абсциссасы 3-ке тең нүктесінің ординатасын табыңдар.
 
1398.   Теңдеудің графигін салып, графиктердің әрқайсысының ордина-
талар осімен қиылысу нүктесін координаталарымен жазыңдар: 
 
1) 3
х+у–6=0; 
3) 2,5
х+у–5=0; 
 
5) –3
х+5у–15=0; 
 
2) –3
х+2у–4=0;  4) 4х+3у–12=0; 
 
6) 
х+2у+4=0. 
0
0

188
10.6-сурет
y
O
x
A
B
D
C
F
E
1399.   10.6-суретте графиктері берілген 
АВ, 
CD және EF түзулерінің теңдеулерін 
жазыңдар. 
1400.   Екі  айнымалысы  бар  сызықтық 
теңдеудің  берілген  коэффициент-
тері  және  бос  мүшесі  бойынша 
теңдеу құрып, графигін салыңдар: 
 
1) 
а=1;      b=2;   с=4;
 
2) 
а=0;      b=–1;   с=6;
 
3) 
а=3;      b=0;   с=–9;
 
 4) 
а=4;      b=1;   с=–2.
1401. 
  Сырт  пішіндері  бірдей  сақиналар  4  пакетке  салынған.  Үш 
пакеттегі  сақиналардың  әрқайсысы  30  г,  ал  бір  пакеттегі 
сақиналардың  әрқайсысы  29  г.  Қай  пакетке  қандай  массалы 
сақиналардың салынғаны белгісіз. Көрсеткіші бар таразымен бір 
рет қана өлшеп, әрқайсысының массасы 29 г сақиналардың қай 
пакетке салынғанын қалай табуға болады? 
1402. 
  Бір кітап пен бір альбомның құны 4 фломастердің құнына тең. 
Альбомның  бағасы  3  сызғыштың  құнына  тең.  2  сызғыш  пен  1 
альбомның  құны  кітаптың  бағасына  тең.  Фломастердің  бағасы 
неше сызғыштың құнына тең?
с 
1403.   Екі  белгісізі  бар  теңдеуді 
ах+by+с=0  түріне  келтіріп,  графигін 
салыңдар:
 
1) –9
х+2у–20=–13х+7у; 
 
2) 2(
х+2у)–3=3(х+у)+1;
 
 3) 
x
y
4
3
1
+ = ;. 
 
1404.   2
х+у=6  және  –х+у=3  теңдеулерінің 
графиктерін  бір  координаталық  жа- 
зықтықта  салыңдар.  Берілген  тең- 
деулердің  графиктерінің  қиылысу 
нүктесінің  координаталарын  жазың- 
дар. 
1405.   10.7-суретте  берілген 
а,  b,  с  және  d 
түзулерінің: 
 
1) теңдеуін жазыңдар; 
10.7-сурет
y
O
x
a
d
c
b

189
 
2) түзулердің қиылысуынан пайда болған фигураның периметрін 
бірлік кесінді есебімен табыңдар.
1406. 
  Амалдарды орындаңдар: 
 
2
5
18
1 25
4
1
9
7
15
5
12
5
3
5
9
2 2
2
15
3
11
−




−




+
−
−




−

,
:
·
,
· 


−




1
7
9
2
2 25
· ,
.
 
 
 
тақырыптың түйіні.
екі айнымалысы бар сызықтық теңдеудің графигі.
екі  айнымалысы  бар 
ах+bу+c=0    теңдеуіндегі  ең  болмағанда  a0   
немесе 
b0 болса, оның графигі түзу болады.
мысалы, 3
х+2у–6=0 теңдеуінің графигін салайық.
3
х+2у–6=0  теңдеуінің  графигі  түзу 
болады.  Түзуді  жүргізу  үшін,  оның  екі 
нүктесінің координаталарын білу жеткілікті. 
3
х + 2у–  6=0  теңдеуінің  графигі  болатын 
түзудің  екі  нүктесінің  координаталарын 
табайық.
Егер 
х = 0 болса, берілген теңдеу 2у –6=0 
теңдеуі түрінде жазылады. Осыдан 
у = 3. 
Егер 
у = 1,5  болса,  берілген  теңдеу 
3
х + 2·1,5–6=0  теңдеуі  түрінде  жазылады. 
Осыдан 
х = 1.
Ізделінді  түзу  бойындағы  нүктелер  –  
А (0; 3) және В (1;1,5) нүктелері. А (0; 3) және  
В (1;1,5) нүктелері арқылы жүргізілген түзу 
3
х + 2у–6=0 екі айнымалысы бар сызықтық теңдеуінің графигі болып та-
былады (1-сурет).
 
     ▲  1396.
 сағат 9. 
1397.
 1) 
х=–3; 2) у=6.  
1398.
 1) (0;6);  2) (0;2)  3) (0;5).
  
1402.
 2 сызғыштың. 
1404.
 
х = 1; у = 4. 
1405.
 2) 24 бірлік кесіндіге. 
1406.
 
1
2
3
.
10.3. екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйелері 
есеп.  Тік  төртбұрыштың  ұзындығы  енінен  4  см  ұзын,  ал  оның 
периметрі 36 см. Тік төртбұрыштың ұзындығы мен енін табыңдар. 
1-сурет
1
О
2
3
–1
1
2
3
4
х
у
А
В
•

190
Шешуі. 
х – тік төртбұрыштың ұзындығы. 
    
у – тік төртбұрыштың ені. 
Есептің шарты бойынша: 
х–у=4 және 2(х+у)=36. 
Екі  айнымалысы  бар  екі  сызықтық  теңдеу  құрылды.  Бірінші 
теңдеудегі 
х-тің  мәні  екінші  теңдеудегі  х-тің  мәніне  тең.  Бірінші 
теңдеудегі 
у-тің  мәні  екінші  теңдеудегі  у-тің  мәніне  тең.  Сондықтан  х 
пен 
у-тің мәндерін табу үшін, екі теңдеу бір жүйеге біріктіріледі, себебі 
олардың шешімдері ортақ. жүйедегі теңдеулер бірінің астына екіншісі 
жазылып, фигуралық жақшаға алынады. Сонда берілген екі теңдеуден:
x y
x y
− =
+
(
)
=




4
2
36
,
 
екі  айнымалысы  бар  сызықтық  теңдеулер  жүйесі  құрылады.  Берілген 
теңдеулер  жүйесіндегі  айнымалылардың  ортақ  мәндер  жұбы  теңдеулер 
жүйесінің  шешімі  болады.  Айнымалылардың 
х=11,  у=7  мәндерін 
теңдеулердің әрқайсысына қойсақ, олардың әрқайсысы тура теңдікке ай-
налады: 
11 7
4
2 11 7
36
− =
+
(
)
=




,
.
Онда (11; 7) сандар жұбы берілген теңдеулер жүйесінің шешімі бо-
лады. 
екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйесіндегі теңдеулердің 
әрқайсысын  тура  теңдікке  айналдыратын  айнымалылардың  мән-
дерінің жұбын сол теңдеулер жүйесінің 
шешімі деп атайды. 
Теңдеулер жүйесін шешу дегеніміз – оның барлық шешімдерін табу 
немесе оның шешімдерінің болмайтынын дәлелдеу. 
Шешімдері  бірдей  екі  теңдеулер  жүйесі  мәндес  теңдеулер  жүйесі 
деп  аталады.  Қайсыбір  жағдайларда  шешімдері  болмайтын  теңдеулер 
жүйелері де мәндес теңдеулер жүйесі болады.
Екі айнымалысы бар сызықтық теңдеулер жүйелері жалпы жағдайда 
мына түрде жазылады:
   
 
a x b y c
a x b y c
1
1
1
2
2
2
0
0
+
+
=
+
+
=



,
.
Мұндағы: 
а
1
, 
b
1
, 
с
1
, 
а
2
, 
b
2
, 
с
2
  – берілген сандар.
1.  Екі  айнымалысы  бар  сызықтық  теңдеулер  жүйесінің  анықтамасын 
тұжырымдаңдар.
2. Теңдеулер жүйесін шешу дегеніміз не?

191
1407.  
х=3, у=–1 сандар жұбы  
x y
x y
− − =
+ − =



4
0
2
0
,
 
теңдеулер жүйесінің шешімі бола ма?
а
1408.  
x=5; y=2 сандар жұбы
 
1) 
x
y
x y
−
+ =
+ − =



3
1
0
2
8
0
,
;
                     2) 
3
17
0
4
3
0
x y
x
y
+ −
=
−
+ =



,
                       
 
             теңдеулер жүйесінің қайсысына шешім болады?
 
  
 
1409.   (–2; 4); (–1; –3); (3; 4) сандар жұбының қайсысы
 
1) 
5
14
0
2
6
0
x y
x
y
− +
=
+
− =



,
;
   
     2)  
4
8
0
1
0
x y
x y
− − =
− + =



,
 
 
 
теңдеулер жүйесіне шешім болады?
1410. 
x y
x
y
+ − =
− +
+ =



7
0
2
4
0
,
  теңдеулер  жүйесіне:  1)  (3;  2);  2)  (6;  1)  сандар 
жұбының қайсысы шешім болады?
1411.   (–2;3); (4; 1) және (1; 3) сандар жұбының қайсысы, қай теңдеулер 
жүйесіне шешім болады:
 
1)  
− + − =
+
− =



x y
x
y
5
0
2
4
0
,
;
        2) 
6
3
0
3
6
0
x y
x y
− − =
+ − =



,
?
1412.   Қабырғасы 30 см квадрат периметрі 2,4 см квадраттарға бөлінді. 
Соңғы  квадраттардың  әрқайсысы  өзара  тең  екі  тік  бұрышты 
үшбұрыштарға бөлінді.
 
1) Неше үшбұрыш пайда болды?
 
2) Үшбұрыштардың әрқайсысының ауданы неше квадрат санти-
метр?
1413.   Теңдеуді шешіңдер:
 
1) 5
|х| – 4 = |х|;  3) |–х| + 6 = 2|–х|;  5) 7|х| – 4 = |х|;
 
2) 
|х| – 5 = 3|х|;  4) 8|х| – |х| = 14;  6) 6|х| + |х| – 3 = 5|х|.
B
1414.   (1;2); (–3; –1); (2;4) сандар жұбының қайсысы
 
1) 
2
0
3
2
2
0
x y
x
y
− =
−
+ =



,
;
          2) 
2
4
0
5
2
1
0
x y
x
y
+ − =
−
− =



,
 
 теңдеулер жүйесіне шешім болады?

192
1415.   (4; –2) сандар жұбы:
 
1) 
0 5
3
8
0
4
1
0
,
,
;
x
y
x
y
−
− =
+
+ =



  
2) 
− +
+ =
+ =



x
y
x y
2
8
0
2
,
 
теңдеулер жүйесінің қайсысына шешім болады?
1416.   (3;  –3);  2)  (2;  7)  3)  (5;  –1)  сандар  жұбы  шешімдері  болатын 
теңдеулер жүйесін құрастырыңдар.
1417.  
х=2; y=–3 сандар жұбы – 
 
 
 
 
x
y c
x y c
+
−
=
− + +
=




1
3
0
0
1
2
,
 
 
 
 
 
 теңдеулер жүйесінің шешімі. 
c
1
 және   
c
2
-нің мәндерін табыңдар.
1418.   Сыйымдылықтары 9 л және 5 л ыдыстарды пайдаланып, өзеннен  
2 л суды қалай құйып алуға болады?
C
1419. 1)  
1
2
1
3
1
1
4
2
3
3
x
y
x
y
−
=
+
=






,
;
      2)  
1
6
1
4
1 5
2
3
1
2
5
x
y
x
y
+
=
+
=






, ,
;
     3) 
3
4
1
2
3
5
8
2
3
1
x
y
x
y
−
=
−
=






,
.
 
 Теңдеулер  жүйесінің  шешімдері  болатын  сандар  жұбын  таңдап 
алыңдар:
 
а. (8; 6);   В. (4;3);     с. (5; –2);      D. (6;2).
1420.  1) 
х=4; y=–3;  
2) 
x=–2; y=–1;   
3) 
x=6; y=1.
 
Сандар 
жұбы 
шешімдері 
болатын 
теңдеулер 
жүйесін 
құрастырыңдар.
1421. 
3
4
0
1
3
6
0
1
2
x
y c
x
y c
−
+
=
+
−
=




,
  
теңдеулер жүйесінің шешімдері:
 
 
 
x=3; y=0,5.     с
1 
және    
с
2
-нің мәндерін табыңдар.

жүктеу/скачать 7,07 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: