Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
| — £ lL £ s
Г ~ е < Г а * Положив с\ = е<>=1 и е = 1, составить таблицу значений данной функ ции для г = 1, 2, 3, ..., 10 и построить ее график, соединив найден ные точки «плавной» линией. 6. Записать функцию, выражающую зависимость радиуса г цилиндра от его высоты Һ при данном объеме V — Вычислить значения г при следующих значениях Һ: 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5. Построить график функции. 7. Выразить площадь равнобочной трапеции с основаниями а и Ь как функцию угла а при основании а. Построить график функции при а = 2, Ь = 1. 8. Выразить зависимость длины Ь одного катета прямоугольного треугольника от длины а другого при постоянной гипотенузе с = Ъ. Построить график этой функции. 9. Даны функции а> °> ■ ? м = 1т т г 1- Паіітп: / ( 0); / ( 1); / (2); / ( — 2); / ( — 1-); / 0 ^ 2) ; |/(J- )|; 9(0); с ( 1); ср(2); 10. Дана функция / ( и) = ил— 1. Найти: /'(1); f (а); / (а — 1); / ( а — 1); 2/ ( 2а). 11. Даны функции F ( z ) = ‘2z - и о (2") = 21 ‘ 1 — Найти: F (0); F ( 2); Ғ (3); Ғ (— 1); Ғ(2,5); Ғ (— 1,5) и <р(0); ? (2); <р(х); 12. Дана функция = Найти: ф(0); ф(1); Ф(— 1); ^ ^(о); ф(— а). 13. ср(9 = г3-1-1. Найти: ?(Г-) и [?(*)]* 14. Ғ (х) = хх — 2х1 -f- 5. Доказать, что F (a) = F (— а). 15. Ф (2') = 2а— 5z. Доказать, что Ф (— z) = — Ф ( 2). 16. / (0 = 2£4 ^ ү + bt. Доказать, что = 17. f (x ) = sin х — c o s a t. Доказать, что /(1) 0. 18. ф (х) — lg х. Доказать, что < |> (jc) — }— tji (х -}- 1) = < |> [х (х -|- 1)]. 19. F (z ) — as. 1) Доказать, что при любом z справедливо соотно шение F ( — z )- F (z )— 1 = 0 . 2) Доказать, что F W - F i y ) = * F { x + y ) . 20. Даны график функции у = /(х ) и значения а и b независимой переменной х (рис. 3). Построить на чертеже /(а) и /(&). Каков гео метрический смысл отношения f ( h ) - f ( a ) ? Ъ - а 21. Показать, что если лю бая хорда графика функции y — f (x ) лежит выше стягиваемой ею дуги, то имеет место неравен ство f (хі) ~Ь/ (*2) -f- -Уд j для всех Х[ ф хч. рис< & 22. Дано: / (х) — х 2— 2х-|-3. Найти все корни уравнения a) f(x ) = = / (Q); б) / (*) = / ( - 1). 23. Дано: f (x ) — 2xA— 5л:2— 23х. Найти все корни уравнения / (* ) = / ( - 2). 24. Дана функция f(x). Указать хотя бы один корень уравнения f (x ) — f(a). 25. Указать диа корня уравнения / (х) = f f \, если известно, что функция f (x ) определена в интервале [— 5, 5]. Найти все корни данного уравнения для случая, когда /'(л') = аг2— 1 2jc — {- 3. 26. F (х) — х “ -f-б; ср(х) = 5х. Найти все корни уравнения F (x ) = = I ? С*) |. 27. /(х ) = х -f-1; ср (лг) = .л; — 2. Решить уравнение 1/С*) + ? С*)I = 1/С*) I + 1 ¥ (*) I- 28. Найти значения а и b в выражении функции f (х) — ах* -f- Ьх -f- 5, для которых справедливо тождество / (лг — (— 1) — /(дг) = 8-v-J-3. 29. Пусть / (jc) = а • cos (Ьх -{- с). При каких значениях постоянных а, b и с выполняется тождество / (л* -j-1) — / ( х ) = sin х. § !. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИИ 9 10 ГЛ. I. ФУНКЦИЯ С л о ж и ы е фу н к ц и и 30. Дано: y = z-, z — x - j- 1. Выразить у как функцию х. 31. Дано: у — У z -|- 1, z = ig*x. Выразить у как функцию х. 32. Дано: y = z\ z — \ fx - J-1, х = а1. Выразить у как функцию t. 33. Дано: у — sin х; v = lg у; и = У~ 1 -|- "г. Выразить и как функцию х. 34. Дано: у = 1 -j- х; z — cos у\ v = У I — z-. Выразить v как функцию х. 35. Следующие сложные функции представить с помощью цепочек, составленных из основных элементарных функций: 2) У - 1) у — sin х\ У (1 -\-х)*; 3) y — \g tgx~ 4) у = sin3 (2х -}- 1); о) у = 5 (3а‘ + ’)*. Л 36. f (x) — х'л — х', cp(x)= sin 2.x. Найти: а) / Д) / ? ( й ) ] : б> ?[/ (!)]; °)< р [/(2)]; 0 /[?<•*)]: f / W ]; е) / { / [ / ( 1)]}; ж) 37. Доказать справедливость следующего способа построения графика сложной функции y — f [ y (x )]— F (x )n o из вестным графикам составляющих функций: у — / (х), у = <р(х). Из точки Л. графика функции ср (х) (рис. 4), соответствующей данному значению независимой переменной х, проводится прямая, параллельная оси Ох, до пересечения в точке В с биссектрисой первого и третьего координатных углов; из точки В проводится прямая, парал лельная оси Оу, до пересечения с графи ком функции f (х) в точке С. Если из точ ки С провести прямую, параллельною оси Ох, то точка D ее пересечения с пря мой N N ' будет точкой графика функции F (х), соответствующей взятому значению лг. Н е я в н ы е ф у н к ц и и 38. Написать в явном виде функцию у, неявно заданную следующим уравнением: .У2 1) ** + У » = 1; 2) а3; 4) ху — С; 5) 2ху = 5; дг ^ = 1; 3) х * + у G) lg Аг + lg О -h 1) = 4; 7) 2х +у (х* — 2) = * 3 + 7; S) (1 — {— х) cos у — х~ — 0. 39*. Показать, что при „v^>0 уравнение ,у-]-|-У|— х — |л'| = 0 определяет функцию, графиком которой является биссектриса первого координатного угла, а при дг^О данному уравнению удовлетворяют координаты всех точек третьего координатного угла (включая. и его граничные точки). |