Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ 3. ПРОСТЕПШИҒ ФУНКЦИИ 17 89. Какой из цилиндров с данным периметром осевого сечения / > = 100сл/ имеет наибольшую боковую поверхность? 90. Какой из конусов, периметр осевого сечения которых равен Р, имеет наибольшую боковую поверхность? 91. Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, па который поставлен конус (с тем же основанием). Угол при вершине конуса 60°. Периметр осевого сечения тела 100 см. Каков должен быть радиус цилиндра, для того чтобы боковая поверхность тела была наибольшей? 92. В равнобедренный треугольник с основанием а и высотой Һ вписан прямоугольник, как показано на рис. 8. Какова должна быть высота прямоуголь ника, для того чтобы он имел наиболь шую площадь? 93. В данный прямой конус вписан цилиндр так, что плоскости и центры Рис. 8. круговых оснований цилиндра и конуса совпадают. При каком отношении радиусов оснований цилиндра и конуса цилиндр будет иметь наибольшую боковую поверхность? 94. Дан прямой круговой конус, радиус основания которого равен R, а высота Н. В конус вписан цилиндр так, что плоскости и центры кру говых оснований цилиндра и конуса совпадают. Каким должен быть радиус цилиндра, для того чтобы полная поверхность цилиндра имела наибольшую величину? Рассмотреть случаи H^>2R и H ^ 2 R . 95. Каков должен быть радиус круга, для того чтобы сектор, пери метр которого равен данному числу Р, имел наибольшую площадь? 96. Окно имеет форму прямоугольника, который сверху заканчи вается правильным треугольником. Периметр окна Р. Каково должно быть основание а прямоугольника, для того чтобы окно имело наибольшую площадь? 97. Окно имеет форму прямоугольника, ко торый сверху заканчивается полукругом. Ка ково должно быть основание прямоугольника для того чтобы при периметре, равном 2 м, окно имело наибольшую площадь? 98. Из листа картона прямоугольной формы размером 30 X 50 см'1 нужно вырезать уголки так, чтобы согнув лист по пунктирным линиям (рис. 9), получить ко робку наибольшей боковой поверхности. Найти сторону вырезаемых квадратов. 99. Из проволоки длиной 120 см нужно сделать модель прямоуголь ного параллелепипеда с квадратным основанием. Какова должна быть сторона основания, для того чтобы полная поверхность параллелепипеда была наибольшей? 100. Кусок проволоки длиной а нужно разрезать на две части; из одной сделать квадрат, пз другой — правильный треугольник. Как нужно разрезать проволоку, чтобы сумма площадей полученных таким образом фигур была наименьшей? 101. Найти на прямой у — х точку, сумма квадратов расстояний которой от точек (— а, 0), (а, 0) и (0, Ь) была бы наименьшей. 102. Найти на прямой у = х-\-2 точку, сумма квадратов расстояний которой до прямых З х — 4у-}-8 = 0 и З х — у — 1 = 0 была бы наименьшей. 103. Электрический ток J распределяется по двум ветвям с сопро тивлениями Гі и Го (рис. 10). Показать, что наименьшие потерн энергии, идущей на нагревание проводника в еди ницу времени, соответствуют распределе нию токов, обратно пропорциональному сопротивлениям ветвей. (Исходить из за кона: количество выделившегося тепла Q = 0,24 f~Rt). 104. Начертить параболуу - х * и ис пользовать ее для графического решения следующих уравнений: 1) _зсг3 — х — 2,25 = 0; 2) 2х* — Зх — 5 = 0; 3) 3,U'a— 14дг-}-5,8=0; 4) 4х3— 12*-{-9 = 0; 5) 3 jt — 8х + 7 = 0. 105. Функция у (х ) задана так: <р (х) = у х — -■ при — со< ^х*^ (рС*0= 1 х ПРП ^ ^ х <С“Ь °°* Найти аналитически и графи чески все действительные корни уравнения [<р (x )f = lx-\- 25. 106. Указать область определения функции у = lg (ах2 -\-bx-j- с). 107. Найти f(x-\- 1), если дано, что / (х — l) = 2„t2— 3 — {— 1. 108*. Показать, что функция / (лг) = принимает любое действительное значение, если 0 с ^ 1. Д р о б н о - л и н е й н а я ф у н к ц и я 109. Исходя из закона Боііля — Мариотіа, найти функцию, выра жающую зависимость объема газа от давления при t = const, если известно, что при давлении в 760 мм Hg объем газа равен 2,3 л. Начертить график этой функции. 110. Переменная х обратно пропорциональна у, у обратно пропор циональна z, z в свою очередь обратно пропорциональна и В какой зависимости находятся jc и г;? 111. Переменная х обратно пропорциональна у, у прямо пропор циональна z, z прямо пропорциональна и, и обратно пропорциональна и В какой зависимости находятся х и v ? 18 гл. I. ф у н к ц и я П r V \ A M / 4 Ъ —v/W VV — Рис. 10. |