Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f

12
ГЛ. I. ФУНКЦИЯ
12) у —  
___ Л 
13) .у = arcsin — ;
' у 
У х * - Зх + 2 ’ 41 
4 ’
14) у =  arcsin ( х — 2); 
1 5)^ = arccos (1 — 2л:);
_ (
Т
16) у —  arccos -—
~
17) у = arcsin ]/"2лг;
18) y = V  1 — 1 -лг 1; 
19) у
=
' -; 20) у
' 21) j;= ]/ ~ ^ g (5X4 Л ) ; 22) y — \g sin х;
2
^ 23) у =  arccos 2 + gin ү ; 24) у =  log.v 2,
48- 
1) 
r + ^
 + 2 ; 
2) >» = K 3 - j f + - - - 3 
2л'
3) у =  arcsin л 
3 — lg (4 — х);
4) у = У х  - f у  
-j — lg (2x — 3);
5) у == У х  — 1 —
{—
2 У 1 •
— x -j— У x~ —
j—
1;
c) У = jrz rp  + ]s (X'A — -*)’>
 
7) у = 1 g sin (x —  3) + V  i 6 —
;
8) у = У  sin л: 4- У 16 — x* ; 9) у  = — : -J- \/ sin л ;;
у sin х
! ° )
у
= '
ш
1
7 ^ + 5 ;
11) у = л
[
_L= £ = :
■
>
 
У х + 2 ~ У У І + х '
12) у = У х * —  Злг + 2-1-; 
1
У  3 -|- 2х - х- ’
_____
_____
13) у = (х* 
х-\-\ ) 2; 
14) y — \g { У х — 4 + У б — х );
15) у  = lg [ 1 — lg (х* — 5х - f 16)].
49. Тождественны ли функции:
1 ) / ( л ' ) = р
и 
с р (х ) = 1 ;
2) f ( x ) = ~^ 
и 
у ( х ) = х ;
3) f ( x ) = x 
и ср ( х ) = Ух *; 4) /(л-) == lg лг 
и <р (х) = 2 lg х?
50. Придумать пример аналитически заданной функции:
1) определенной только в интервале — 2 ^ х ^ 2;
2) определенной только в интервале — 2 < ^х<^2 и не определен­
ной при х = 0;
3) определенной для всех действительных значений х, за исключе­
нием х = 2, х —  3, х = 4.
51. Найти области определения однозначных ветвей функции j' = заданной уравнением:
1) У" — 1 -j- logs (х — 1) = 0; 2) у'1 — 2ху* -j- х 1 — х — 0.

Э л е м е н т ы п о в е д е н и я ф у н к цип
52. / (х) = -р^г-р; указать область определения функции /(х) и убе­
диться, что эта функция неотрицательна.
53. Найти интервалы знакопостоянства и корни функции:
1) ^ = Заг — 6; 2) у — х* —  5х + 6; 3) у = 2*"1;
4) у = х л— 3jc2 —
{— 2лг; 5) у = \х\.
54. Какие из указанных ниже функций четны, какие нечетны, какие 
не являются ни четными, ни нечетными?
1) у  = х1 — 2х~; 
2) у = х  — х2; 
3) у —  cos х; 
4) у — 2Л;
120’ 6) >' = sinjc; 
7) j> = s in x — cosx;
9) 
у —
tg-*; 
1° )
у =
2
-х'~\
л г\\ 
0х — (Г Х 
.
12) у — --
о
--- ; 13)3'
$ 2. ПРОСТЕЙШ ИЕ 
с в о й с т в а
ф у н к ц и и
13
2 
» 
■
>
 
ах — 1 »
1 В ) > = * - £ п - !
55. Каждую из следующих функций представить в виде суммы чет­
ной и нечетной функций:
1) у = х* -J- Зх + 2; 2) у = 1 — х 3 — х 1 — 2х°;
3) у —  sin 2х -|- cos у -f- tg х.
56. Доказать, что f(x )~ {-/(— х ) — четная функция, a fix') — f ( — х) —
нечетная функция.
57. Представить в виде суммы четной и нечетной функций следую­
щие функции:
I) у = ал; 2) у  = (1 -J--V)100 (см. задачу 50).
58. Доказать, что произведение двух четных функций есть четная 
функция, произведение двух нечетных — четная функция, произведение 
четной и нечетной — нечетная функция.
59. Какие из нижеследующих функций будут периодическими?
1) ^ = sin2„v; 2) 
j; = sinx2; 
3) у = х- cosx;
4) j/ = sin 
5) = 1 -{- tg х; 
6) у =  5;
7) У — [л:]; 
8) у = х — [х].
(Функция [х] определяется так: если х — целое число, то fx] = x. Если
х не есть целое число, то [х] равно наибольшему целому числу, мень­
шему, чем х. Так, [2J = 2; [3,25] = 3; [— 1,37] = — 2.)

60. Построить график такой периодической функции с периодом 
7 = 1, которая на полуоткрытом интервале [0, 1) задана формулой
1) у
=
зг, 
2
) 
у = х\
61. Указать интервалы возрастания и убывания и интервалы постоян­
ства функций
1
) 
У = \ х  1; 
2
) 
у = \ х \ — х.
62. Указать наибольшее и наименьшее значения функций
1) у —  sin2 .г; 2) у  = cos х 3\ 3) у —  1 — sin х; 4) у  = 2х3.
63. С помошыо графического сложения построить график функции 
у=/(х)-\-
1) для графиков, изображенных на рис. 6;
2) для графиков, изображенных на рис. 7,
14 
гл. і. 
ф у н к ц и я
64. Зная график функции у — /(х), построить график функции:
l ) J = | / W | ; 2) ^ = 1 [| / (х )| + / (д :)]; 3) j> = 4 [| / C * )| — /(*)].
§ 3. Простейшие функции 
Л и н е 11 н а я фу н к ци я
65. Дано, что при напряжении £ = 2,4 в сила тока 7 = 0,8 а. Выра­
зить аналитически, используя закон Ома, зависимость между силой тока 
и напряжением; построить график найденной функции.
66. В сосуд произвольной формы налита жидкость. На глубине 
Һ = 25,3 см давление этой жидкости /7= 18,4 Г/см*.
а) Составить функцию, выражающую зависимость давления от глубины;
б) определить давление на глубине Л =14,5 см\
в) на какой глубине давление станет равным 26,5 Г/см~?

§ 3. ПРОСТЕП [ПНЕ ФУНКЦИИ
15
67. Тело движется прямолинейно под действием силы Ғ. Исходя 
из закона Ныотона, написать функцию, выражающую зависимость между 
силой Ғ  и ускорением w, если известно, что когда тело движется 
с ускорением \2 м/сек*, то на пути 5= 1 5 .и производится работа 
/1=32 джоулям.
68. Определить линейную функцию у = ах-\-Ь по следующим 
данным:
1) 
X
У
2) 
х
У
3) 
х
У
0 4
2
4,3
2,5
7,2
3 6
— 1,6
0
3,2
6,8
69. Некоторое количество газа занимало при 20° С объем 107 см3, 
при 40° С объем стал равным 114 смл.
а) Составить, исходя из закона Гей-Люссака, функцию, выражающую 
зависимость объема V газа от температуры t.
б) Каков будет объем при 0° С?
70. Равномерно движущаяся по прямой точка через 12 сек после 
начала движения находилась на расстоянии -{- 32,7 см от некоторой 
точки этой прямой; через 20 сек после начала движения расстояние 
стало равным -}- 43,4 см. Выразить расстояние 5 как функцию времени t.
71. Напряжение в некоторой цепи падает равномерно (по линейному 
закону). В начале опыта напряжение было равно 12 в, а по окончании 
опыта, длившегося 8 сек, напряжение упало до 6,4 в. Выразить напря­
жение 
V как 
функцию 
времени 
t 
и 
построить график этой 
функции.
72. Найти приращение линейной функции у = 2 х — 7 при переходе 
независимой переменной х  от значения д*і = 3 к значению д'2 = 6.
73. Найти приращение линейной функции у =  — 3jvr -j—
1, соответ­
ствующее приращению независимой переменной Ад; = 2.
74. Функция у  — 2,5-V -|- 4 получила приращение Д у= 10. Найти 
приращение аргумента.
75. Даны функция у —  
11 начальное значение независимой
переменной Xi — а — Ь. Прп каком конечном значении х* независимой 
переменной х приращение А у  = _|_ ?
76. Функция (х) задана так: <
р (д') = — х-\- 2 при — со 
^ 2;
cp(„v) — 5 — х  при 2 
х 
-j- со. Найти аналитически и графически 
корни уравнения о (д;) = 2д; — 4.
77. Построить график функции:
1) У = \ х +  11 + 1 * — 11; 2) у = \х-\-11 
|*
11;
3) >’ = | х — 3] — 21х + 11 + 2 | л ; | - * + 1.

16
ГЛ. Г. ФУНКЦИЯ
78*. Для каких значений х справедливо неравенство
I/O*) + ? ( * ) 1 < 1 Л * ) Ж ? ( * ) 1 .
если / (х) — х  — 3, а <
р (дг) == 4 — х.
79. Для каких значений х справедливо неравенство
I / O ) — ? ( х )  | > 1 / ( • * ) ! — I <р ( х )  |,
если / (х) = х, а о (х) — х — 2.
80. Функция f ( x )  определена так: в каждом из интервалов п-^х<^ 
<^//-}-1, гДе 11— целое положительное число, f (х) меняется линейно,
причем /(/;) = — 1, fi^ti -j- 
= 0. Построить график этой функции.
К в а д р а т и ч н а я фу нк ци я
81. Построить график и указать интервалы возрастания и убывания 
данной функции:
1
) у = ^ л *
2
) у = х ‘‘ —
1; 
3) 
у = \х°
—■
1.1; 4
) у
= 1
— х ';
5) у — х~ — х
4; 6) у — х — х\ 7) у = \х — х*\;
8) у = 2х~ -|- 3; 9) у = 2х~ — 6х -f- 4; 
10) у =  — Злг3 -|- 6х — 1;
( 1) у = \ — Зх2-j-бдг — 1 |; 12) у =  — х\х\.
82. Написать аналитическое выражение однозначной функции, опре­
деленной в интервале (— со, 6], если известно, что график ее состоит 
из точек оси Ох с абсциссами, меньшими числа — 3, из точек пара­
болы, симметричной относительно оси Оу и проходящей через точки 
А (— 3, 0), В  (0, 5) и из точек отрезка CD с концами С (3, 0) и D (6, 2).
83. Найти наибольшее значение функции:
1) у —  — 2х“ -\-х— 1; Т) у =  — X 2— 3x-j-2;
3) у —  5 — х~\ 4) у —  — 2х~ -(- ах — аг\ 5) у  = агх — Ь*х\
84. Найти наименьшее значение функции:
1) у =  Л'2 -\- 4х — 2; 2) у = Чх2 — 1,5л: -j- 0,6; 3) у  = 1 — Ъх -j- 6ха-\
4) у — а-х2 -(- а4; 5) у = (ах -)- Ь) (ах — 2Ь).
85. Представить число а в виде суммы двух слагаемых так, чтобы 
произведение их было наибольшим.
86. Представить число а в виде суммы двух чисел так, чтобы сумма 
квадратов этих чисел была наименьшей.
87. Около каменной стенки нужно сделать деревянный забор, чтобы 
огородить прямоугольный участок земли. Общая длина забора равна 8 м. 
Какова должна быть длина части забора, параллельной стенке, для того 
чтобы забор охватил наибольшую площадь?
88. В треугольнике сумма сторон, заключающих данный угол, равна 
100 см. Чему должны быть равны эти стороны, чтобы площадь тре­
угольника была наибольшей?

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: