Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
- Бұл бет үшін навигация:
- 1 І + л г * 1 1 1 + х т 1 *• I — X ’
§ 3. СТЕПЕННЫ Е РЯДЫ 179 2 8 3 9 . П о к а з а т ь с п р а в е д л и в о с т ь р а в е н с т в а 1 , 2х , , т х т ~1 , 1 + х 1 І + л г * 1 1 1 + х т 1 *•' I — X ’ где т = 2” ' 1 и — 1 х <[ 1. 2840. Убедиться, что функция у = / ( х ) , определяемая рядом Vs кп х -j--хг -gj -р ••• " г j j i Ң- ... , удовлетворяет соотношению х / = у(х-\г 1). § 3. Степенные ряды Р а з л о ж е н и е ф у н к ц п И в с т е п е нн ые р я д ы 2841. Разложить функцию д »= 1плг в ряд Тейлора в окрестности точки х = 1 (при ЛГ0 = 1). 2842. Разложить функцию у = у гх л в ряд Тейлора в окрестности точки х = I. 2843. Разложить функцию у = 1/лг в ряд Тейлора в окрестности точки х = 3. ~ \Г 2844. Разложить функцию ^/ = sin-^- в ряд Тейлора в окрестности точки х = 2 . В задачах 2S45 — 2849 разложить данные функции в ряд Тейлора в окрестности точки лг = 0 (ряд Маклорена): 2845. у = ch х. 2840. у = х~ех. 2847. у = cos (х -[- а). 2848. у — ех біплг. 2849. у = cos лг ch лг. В задачах 2850 — 2854 найти первые пять членов ряда Тейлора для данных функций в окрестности точки лг = 0. 2850. _y = ln (1 -f- с'). 2851. y = ezosx. 2852. _у = cos" л\ 2853. у = — 1п cos л*. 2854. у = ( 1 - f.v )v. В задачах 2855 — 2868 разложить данные функции в окрестности точки лг = 0, пользуясь формулами разложения в ряд Маклорена функ ций ех, sin х, cosx, 1п (1 -j-х) и (1 — j— лг)т . [ (,х - 1 J ------ ------— при х — 0, 2 8 5 5 . y = e ix. 2 8 5 0 . у = е г * 2 8 5 7 . у \ ( ех* _ с~ х3 2 8 5 8 . у — J 2х* п р и х ^ 0 ’ 2 8 5 9 . y = s i n ~ . I 1 п р и х = 0. ! sin х - j . п х п р и .V 7 - 1 п р и л' = 0. 2 8 6 2 . у = (лг — t g лг) c o s лг. 2 8 6 3 . у = 1 и ( 1 0 -j- х ). 2 8 6 4 . у = х 1 п (1 - f х ). 2 8 6 5 . у — У 1 -1- л-. 2 8 6 6 . у = Y 8 — лг». х I п р и л ' = 0. 180 ГЛ. IX. р я д ы 2867. у = -я/. 1 -- - г . 2868. у. Л'"’ V \ + x * ' * V \ X- 2874. lim Л' uo 1 4- х 2869. Разложить в ряд Тейлора функцию у = s в окрестно сти точки х = 0. Воспользовавшись этим разложением, найти сумму ряда 1 Ч—2—Ь" • • • 4— ‘ 2870. [ Пользуясь разложением функции в ряд Тейлора, найти значение: X 1) седьмой производной от функции у = утр~~5 ПРН х = 0, 2) пятой производной от функции у = Х 1У 1 — }— лег при лг = 0, 3) десятой производной от функции у = х*ех при х = 0 , 4) кривизны линии у = х [•)'/Л( 1 -j-л")4 — l] в начале координат. В задачах 2871 — 2877, пользуясь разложением функций в ряд Тейлора, вычислить пределы: 2871. lim -г + М > ^ - . £ ) , 2872. 2873. lim" "M l+ .v + ^ + M I - x + .v^) _ Л ’° х -<• 0 А (€ 1 > х — х~ In ^ 1 -j— j . 2875. lim — ctg2x j. 2876. lim 2877. Dm ( 1 ф « 5 і _ *\ д _ 0 \'v" * I л'-+0 ' X ) И н т е р в а л с х о д и ы о с т и В задачах 2878 — 2889 найти интервалы сходимости степенных рядов. 2S78. 1 Ох -\- 1 OOjt - j - 10пхп 2879. х — —- -j- ... + (■ — 1)ли — + ••• 2880. х + + 7+ . . . 2881. 1 -|- х . -J- п\ х п -)-... 2882. 1 -j- 2лг2 + . . . + 2"' > -{-... 2883. х 3T3j- + ••• + (— О"*1 ,2„ _ С ш - 1)! + • • • 2884. 1 + 3x + . . . + (я — 1) 3" ' У -I-... 2885. ^ + ^ L + ... + Jn^ L T ) + ... (2v)s (пк)п 2886. лг -j- Ц^- -f- ... -j- — f- ... При исследовании сходимости па правом конце интервала учесть, что факториалы больших чисе’л' могут быть выражены приближенно формулой Стирлинга: «1^ [ ~ f 1/2*7*. 2887. х + . . . + (пх)п -j-... 2888. ^ -1- ~ ~ х'л + . . . -Н * я+1 Ч---- § 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИ М ЕН ЕН И Я РЯДОВ ТЕЙЛОРА 1 8 1 2889 2890. Функцию у = In {х - |~ У I -\- х~) разложить в ряд Тейлора в окрестности точки х — 0, исходя из соотношения 1п (х -j- V 1 + X-) = - ~ х . - + * 3 и ' 1 и указать интервал сходимости полученного ряда. 2891. Функцию у = In j/~ j * разложить в ряд Тейлора в окрест ности точки jc = 0, исходя из соотношения In и указать интервал сходимости полученного ряда. 2892. Функцию у = In [(1 jc)1+'v] -f- In [ (1 — * ) 1_-v] разложить в ряд Тейлора в окрестности точки х = 0 и указать интервал сходимости полученного ряда. 2893. Функцию _у = (1 -\-х)е~х — (1 — х)е* разложить в ряд Тейлора в окрестности точки л' = 0 и указать интервал сходимости полученного ряда. Пользуясь разложением, найти сумму ряда а + а + ••• + '(2/1+ 1) ! + — жүктеу/скачать 9,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|