Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f

2738. sin 
-\- sln -j + • • • + sin 
■
 ■
2739. 1 + ^ ± ! + . . . + ii ± £ + . . .
2(40. 
2
T
5
"I" J7g + ■
•' + (л + 
1
) 
(/1
+ -I) "I
2741. ! + * + . . . +
5
^ +
. . .
2742. tg 
+ tg | -I-... -I- tg £ + ...
2743. ^ + ^ + . . . + - ^ - 1 - . . .
2 7 4 4 .1 +
1
+ . " + ^
+ . "
2745. 
' + ; ! ; - +
' 
'
172 
гл. іх. 
р яд ы
111 2 “ ln 3 ' • * * 1 ln (« -j—
1 >
r ' • •
OO 
CO
274e- 2 7 Ғ ^ Г + V  
2747- 1 (Щ - 1 -
tl
 = I 
n =
 I
CO 
ОЭ
2748. У  
.!.....•. 
2749. У ^ .
^.Уп--\-
2
п 
п'
П —
I 
п — \г
со 
оэ 
_________
2750. 2
( Ү һ - Ү ~
Т). 
2751. 2
V
Я * Т Г
/£=1 
Л = I
со
2752. У  1 ( V п -j- 
1
— / и — 
l).
/1=1
ОЭ
2753. 2 тг (V"я* -|- я + 1 — К «* — « + 1).
« = і
В задачах 2754— 2702 доказать сходимость данных рядоз с помощью 
признака Даламбера.
2754. ^ + -5І"Ь---+ (
2
« + і )і 'Ь - ••
2755. ү -[- ~
+ . •.
2756. t g | H - 2 t g | H - . . . + « t g . ^ - } - . . .
2757 — -I- 
^ -4- 
4- 
2
•D ’ • • • ’ (3" ~ 
11
1
Z/b/' I <
1 - 5 ' * * * ‘ 1-5. ... .(4 «-3 )
2758. I + < + . . . + £ +
. . .

§ Г. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 
'173
2760. sin -- -}- 4 sin —j-... -{- ri
1
sin 
-{-
2761. 
-J- J- -I-..
2-59.
'2! 1 3! 1 ‘ •* 1 (n + I)! 1 * ’ •
2702. — -+ —
-+ <«+1)1 +. ,
В задачах 2763 — 2766 доказать сходимость данных рядов с помощью 
радикального признака Коши.
2 ' 03, ТІГ2 “ I" һ Ғ з  + •■•+ in'1 ( я + 1) 
‘ ”
2 \- . 
, / 
н 
\«
2704, ¥ + \ т )
^(2ТГ=ГТ)) +•••
2765. arcsin 1 -j- arcsin4 ~ -f-... -{- arcsin'y 
.
3 \ 4 
(я
+ 1 V 1"
3» 
1
’ ‘ #
В задачах 2767 — 2770 вопрос о сходимости данных рядов решить 
с помощью интегрального признака Коши.
2767. j j i r r
4
-т п іъ '- һ •••-(-
2 In- 2 1 3 In* 3 1 ' ‘ * 1 
(n
-j- 1) In* 
(n
-|- 1)
2 / 6 8 . трг—
Г)
— j— тгт
—77
-+ • • • “ I----- j--- Һ" • • •
2 ln 2 1 3 ln 3 1 
' n In n 1
2769.
1-HY- I / 1+2 г , 
, M +//\2 ,
+ p ) + {Т+2>) ' Г • • • + \T+7T-j + •••
l + l
2770. У  4 = In ^ Ц .
j
^ V n 
n
 - 1 
S
я = 2
В задачах 2771 — 2784 выяснить, какие из данных рядов сходятся, 
какие расходятся.
i 7 / *■ 2 
Y ' i
3 К З
(« + О К « т т
2 7 7 2 . 1 + 4 +
.
.
.
+
^
+
. . .
2 7 7 3 .
/ 5
+ v ? + - + V 4 ^ + -
2 7 7 4 .
| +
г
7
+
. . . +
; г + . ..
2 7 7 5 . 2 + 4 +
. . . +
« 1 + 1 +
.
277 6 - Ш Т + 5ІШ + • • • +
1001
‘ 
2001
• 
* * * 
* 
1000/1
+ 1

1
,
2
.
 
п
 
,
174 
гл. ix. 
р я д ы
2777.
l + l 2 I 1+ 2- 
1+я*
2778. 4 + 1 + ... + ^
+ ...
2779. arctg 1 
arctg2 
-J- arctg" 
„
2780. 2 + 1 + ... + £ + ...
278!. - р з + в 17 + ••• + (5 „ _ 4) І(4,,_ !)'+ • • •
2782. 4 + Т + ••• +
+ • • •
2783. 1 -j- 
~j- • • • “ һ ~Гі + • • •
2784*. sin 
+- sin 
—
{—
... —|—
sin —
j—.,,
В задачах 2785 — 2789 доказать каждое из соотношений с помощью 
ряда, общим членом которого является данная функция.
2785. lim — = 0. 
2786. 
lim 
0 (а > 1),
П-У со
п\
2787. lim тггтг = 0. 
2788. 
lim Д ^ = 0.
Tl —
►
00
2789. lim Щ - = 0 .
п -Һ со Пп '
Р я д ы с п р о и з в о л ь н ы м и ч л енами.
А б с о л ю т н а я с х о д и м о с т ь
В задачах 2790 — 2799 выяснить, какие из указанных рядов сходятся 
абсолютно, какие не абсолютно, какие расходятся.
2790. 1— §■+ • • • + (- 1)"+1
2791. 1— І +
•••+ (— >)"" 
'
3» 1
••• I v 
ч 
(2л _ 1)а
2792, й Һ  
П7з + ■••+( 
1) " '1
4 
1
1
rf
1 
1 
1 | 
i / i \п ц I 
I
2794. _ — у . - . + ... 4-(— l),Ih - • 2Й + .
2795. 2 —
l),I+l^J p- + ...
2796. 
_ l + - l - _
1
. . - | - ( - l ) ' - p L + . . .

§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫ Е РЯДЫ 
175
2797. I - - J - + ••• + ( - 1)', + 1^ + ...
со 
со
( - 1)П 
^ , 
,чпи2^
«I *
2798. 
У
І
2799. У (— 1)Л|
« — In 
п
 
v 
у
я = I 
/
1 = 1
СО 
со
2800. Показать, что если ряды 2 а» « 2
сходятся, то ряд
я «=» 1 
л = 1
У ] апЬп абсолютно сходится.
я —= I
ои
2801. Показать, что если ряд 2 > „ абсолютно сходится, то и ряд
П
= I
ОЭ
2 ~ ji~
а '1
также абсолютно сходится.
Л — 1
§ 2. Функциональные ряды
С х о д и м о с т ь ф у и к ц н о п а л ь н ы х р я л о п
В задачах 2S02 — 2810 определить области сходимости рядоп.
2802. 1 -\-х -{-... -J-Jхп + ...
2803. In -V -j- In3 х  —
j—... -|—
1пл х -}—...
2804. л- -+ ла + . . . -f д:"2 + . . .
2805. * + £ +
2S06. X -j-—-j- . , . —
I---- -jrrz--- 1- . . .
1
/2 1
 
1 Yn 
П
2807. -г—г-- h г г —«
T-! -
“b • • •
1 +
X  
1 1 + x- 1 
1 + •*" 
1
2S08. 2x -J- Ox2 -j-... + //(// + 1) x" - f ...
2809- i + J T W
+ - + ^ h + -  
^ ■ ф
+ т т г ‘ + - т т ^ + -
2811. sin -J -j~ sin 
• • • —
}- sin ^ -f-...
2812. * t g y + ..v2tg -J-|-...-|-y, tg £  
-j- ...
2813. s i n . v - | - ^ + ... + 5i!L2£ + ...
OQ i л COS .t , COS 2.V , 
, cos nx ,
Zi3l4. —T 1-- ~T7- 1- . .
e i ix

•176
ГЛ. IX. РЯДЫ
2815. 
е~х
-|- . -!- 
e nix
2816. і - | - сЪ + ----Г1,„л+-
Р а в н о м е р н а я ( п р а в и л ь н а я ) с ход и м о с т ь
В задачах 2817 — 2820 доказать, что данные ряды равномерно (пра­
вильно) сходятся на всей оси Ох.
2317. 1 - j - = 4 - . .. 
"И -
со 
оэ
2818. У  
2819. 
У  
2820. У
п -
[ 1 -j- 
(ПХ)
 -] 
Аы 
*т
а
= | 
п
 = 1 
п
 - -1
2821. Показать, что ряд 
| + |^(л.)|г - +
4+
+ ... +
-|-"гз _1 | ( v:)~p ~1~ **’ СХ0Д1|ТС}| равномерно (правильно) в любом интервале, 
в котором определена функция со (х).
2822. Показать, что ряд- г___ — А---- 
-1-...-I----- * 
-I-...
V 1 + а- 
2/ 1+
2
х ' 
2 п~ 1
 Y 1 + их '
равномерно (правильно) сходится на всей положительной полуоси.
Сколько нужно взять членов, чтобы при любом неотрицательном х  можно
было вычислить сумму ряда с точностью до 0,001?
п 
1и(1+лг) . 1и(1+ 2л') . 
, 1п(1 -\-пх) .
2823-“. Показать, что ряд 
у----1
---— - + . . . -|------ — - + . . .
равномерно сходится в интервале 1 4 ш ^ -v 
00>
где (,) — любое поло­
жительное число. Убедиться, что при любом л* из интервала ( 2 ^ х  ^ 100) 
достаточно взять восемь членов, чтобы получить сумму ряда с точно­
стью до 0,01.
СО
2824. Показать, что ряд У] лгл( 1— х) сходится неравномерно в ип-
п = I
тервале [0, 1].
2825. Функция f(x ) определяется равенством
cos nx
10
"
« = I
Показать, что функция f(x ) определена и непрерывна при любом х. 
Найти ДО), /^jrj и /
. Убедиться в том, что для вычисления при­
ближенных значений функции f (х) при любом х с точностью до 0,001 
достаточно взять три члена ряда. Найти с указанной точностью / ( I ) и
А - 0,2).

2826. Функция f (x ) определяется равенством
СО 
СО
+ 2 j 1 + (Л- + tm)* ~Ь i " 1 + (X - пш)а 
^  > °^- 
п =  1 
« = I
Показать, что функция f ( x )  определена и непрерывна при любом х. 
Убедиться, что f ( x )  — периодическая функция с периодом со.
И н т е г р и р о в а н и е и д и ф ф е р е нц и р о в а п и е р я д о в
2827. Показать, что ряд х* -|- хъ -\-... -|- х 1п~* -|- • • • равномерно 
сходится в интервале — 1
-к 
I — со, где с» — любое положи­
тельное число, меньшее 1. Интегрированием данного ряда найти в ин­
тервале (— 1, 1) сумму ряда
гЗ 
1-7 
у\Т1 1
т + т + - + * Ь п + -
2828. Найти сумму ряда
уЗ 
у\Ц~~Ъ
Х + 'ь + •••+ 4Я-3 +
2829. Найти сумму ряда
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 
177
- Ь - о Ч - П '1
1-2 
2-8 I * * • I v 
' 
/і (/I -j—
1)
2830. Функция f (х) определяется равенством
f (x ) = е~* -|- 2<Г2* +
пе-пх -}-...
Показать, что функция f ( x )  непрерывна па всей положительной иолу-
1113
оси Ох. Вычислить \ f(x )d x .
1п 2
2831. Функция f (х) определяется равенством
/(х ) = 1 -)- 2 • Зх -1
-. . . - f пЗп~
1
х
п ~1
.
Показать, что функция f (х) непрерывна в интервале f— 
,
0.125 
'
'
Вычислить § f(x)d x.
о
2832.* Функция f { x )  определяется равенством

178
ГЛ. IX. 
р я д ы
Вычислить ^ f{x )d x , предварительно убедившись о том, что функ- 
6"
ция f (x ) непрерывна в заданном интервале интегрирования.
СО
2833*. Функция f(x ) определяется рядом f (x ) =
1
- Sqr^r- Пока-
п
— 1
йать, что функция f (х) непрерывна на всей числовой оси. Вычислить
СО
\f(x )d x .
о
1
2834. Исходя из соотношения \ xndx =  —
найти сумму ряда:
,) 
п -j- 1
п 1 
1 I 
I < _|)" ' I 
"1 1 
1 I 
I 
'
!) * — 4- + — Г з„ _ 2 + • " ' 2> 1 “ Т Г • " +
00
2835. Исходя пз соотношения 
=
- - 1
найти сумму ряда
1 
! 
1 
I 
I 1 
I
1-2 1 2 . 2- “ Г ’ * ’ ‘ п
2
п г
2836. Исходя пз соотношения
{
c o s «
x d x
_
J L . f f » - 1 ) ( 2 , , - 3 ) . . . 3 . 1  
j cos х а х  
2 
2н (2« — 2)... 4 • 2 
’
0
найти сумму ряда
J ____ 1 • ^ 
I 
1
 
r
__
1
 у л -i 1 • 3 . . . ( 2
n
— 1) 
,
2 
2-4 " Г
■•• + (
l >
 
2*4 .. .2 «
* '*•
2337. Доказать, что ряд
sin 2пдг 
I 
sin 
4~x 
, , 
sin 2пт.х 
,
2 
I 
4 
' 
2" 
‘ 
’
равномерно сходится на всей числовой оси. Показать, что этот ряд 
нельзя почленно дифференцировать ни в каком интервале.
2338. Исходя из равенства 1 
х -{- х* 
= j _ ү (1 х | <^ 1), про­
суммировать ряды 1 
2
х  -j- Зх~ -{-... -J- их
'1
 
1
-j-... и 1 -j- З.\г 
-|~
П [П
■
 -х
п~1
 
и показать, что ряд 1 -j- 
2
jc
 
—
J—... -\ пхп х -J- • ••
равномерно сходится в интервале [— р, р], где |р|<^1.

жүктеу/скачать 9,73 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: