Пән: Математика Тақырып
жүктеу/скачать 273,87 Kb.
|
11-12 дәріс
- Бұл бет үшін навигация:
- Айналу денесінің көлемін есептеу
|
Пән:Математика Тақырып: Анықталған интегралдың көмегімен жазық фигураның ауданын және дененің көлемін есептеу. Интегралдың көмегімен ауданды есептеу Егер f және g функциялары [a; b] аралығында анықталған және кез келген x ∈ [a; b] үшін f (x) ≥ g (x) теңсіздігі орындалса, онда [a; b] аралығында f және g функцияларының графиктерімен шектелген фигураның ауданы осы функциялардың айырмасының интегралы арқылы анықталады. Мысал. y = x 2 – 2 және y = –x 2 қисықтарымен шектелген фигураның ауданын табу керек. Шешуі. y = x 2 – 2 және y = –x 2 қисықтары x1 = –1 және x2 = 1 нүктелерінде қиылысады. [–1; 1] интервалында x 2 – 2 ≤ –x 2 теңсіздігі орындалады, яғни[–1; 1] интервалында y = x 2 – 2 функциясының графигі y = –x 2 функциясының графигінен толығымен жоғары орналаспайды және екі функция бұл аралықта теріс мәнді қабылдайды. Олай болса, y = x 2 – 2 және y = –x 2 қисықтарымен шектелген фигураның ауданы келесідей есептеледі: φ(x) және f (x) функциялары [a; b] аралығында анықталған және [a; c] аралығында φ(x) ≥ f (x), ал [c; b] аралығында φ(x) ≤ f (x) болсын. Мұндағы c ∈ [a; b]. [a; b] аралығында φ(x) және f (x) функцияларының графиктерімен шектелген фигураның ауданы былай анықталады: Мысал. аралығында y =sinx және y =cosx қиысықтарымен шектелген фигураның ауданын табу керек. Шешуі. және аралықтарында y =sinx функциясының мәні y =cosx функциясының мәнінен кіші емес, ал аралығында y =sinx функциясының мәні y =cosx функциясының мәнінен артық емес. Осыдан ізделінді аудан былай анықтауға болады: Айналу денесінің көлемін есептеу y = f (x), f (x) ≥ 0, x ∈ [a; b] үзіліссіз функцияның графигін Ox осінің маңында айналдырғаннан шығатын, бетпен шектелген денені айналу денесі деп атайды. Айналу денесі үшін S(x) = πf 2(x) болады. Айналу денесінің x нүктесіне келетін және Ox осіне перпендикуляр қимасы дөңгелек болады. Оның радиусы R = f (x), сондықтан S(x) қимасының ауданы πR 2 = πf 2(x)-ке тең. S(x) dx бойынша дененің көлемі мына формуламен анықталады: Ox осінің маңында айналдырғаннан шығатын дененің көлемі формуласымен анықталады, ал y = f (x) функциясы [a; b] аралығында үзіліссіз және бірсарынды болып, c ≤ f (x) ≤ d, x ∈ [a; b] теңсіздігі орындалса, онда функцияның графигін Oy осінің маңында айналдырғаннан шыққан дененің көлемін формулаларының көмегімен табуға болады. Мысал. y =sinx, x ∈ [0; π] функциясының графигін Ox осінің маңында айналдырғаннан шығатын дененің көлемін есептейік. жүктеу/скачать 273,87 Kb. Достарыңызбен бөлісу:
|