Дәріс №7 Геометриялық фигуралардың ауданы Геометриялық фигуралардың аудандары

Геометриялық фигуралардың ауданы

Кесіндінің ұзындығы дегеніміз белгілі бір масштабтық кесіндімен салыстарғандағы осы кесіндінің өлшемі. Жазық фигура ауданы дегеніміз де осы сияқты ұғым. Жазық фигуралардың ауданы ұғымының кесінді ұзындығы ұғымынан ерекшелігі: Екі кесіндінің ұзындықтары тең болса, онда бұл кесінділер тең болады; екі бұрыштың градустық (немесе радиандық) өлшемдері тең болса, онда бұл бұрыштар да тең болады, ал бұл нәрселер фигуралардың аудандарын өлшеу процесінде жүзеге аса бермейді. Яғни, әртүрлі, өзара ұқсас емес фигуралардың ауданы тең болуы мүмкін .Мұндай фигураларды тең шамалы фигуралар деп атайды.

Теорема 1.Қабырғалары а және b болатын тік төртбұрыштың ауданы мына формуламен анықталады: S=ab.

Жазықтықтағы геометриялық салулар. Сындарлы(конструктивті) геометрия аксиомалары.

Циркуль мен сызғыш арқылы салуларға арналған тапсырмалар. Салуларға арналған есептерді шешу схемасы. Негізгі салулар.

1. 
   Құралдар аксиомасы
   
2. 
   Сызғыш және циркульдің көмегімен негізгі салулар
   

• 
  Үш қабырғасы бойынша үшбұрыш салу.
  
• 
  Берілген бұрышқа тең бұрыш салу.
  
• 
  Екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы бойынша үшбұрыш салу.
  
• 
  Бір қабырғасы және оған іргелес бұрыштары бойынша үшбұрыш салу.
  
• 
  Кесіндіні қақ бөлу.
  
• 
  Перпендикуляр салу.
  
• 
  Берілген түзуге параллель түзу салу.
  
• 
  Бұрыштың биссектрисасын салу.
  
• 
  Берілген екі кесіндінің қосындысы мен айырмасын салу.
  
• 
  Кесіндіні бірдей n бөлікке бөлу.
  
• 
  Орта пропорционалды салу.
  
• 
  Үшбұрышқа сырттай сызылған шеңберді салу.
  
• 
  орындалатын х кесіндісін салу.
  
• 
  Екі катеті бойынша тікбұрышты үшбұрыш салу.
  
• 
  Бір катеті мен гипотенузасы бойынша тікбұрышты үшбұрыш салу.
  
• 
  Берілген бұрышты қамтитын доғаны салу.
  
• 
  Берілген түзуге симметриялы түзуді салу.
  
• 
  Берілген түзуге симметриялы түзуді (нүктені) салу.
  
• 
  Диаметрі АВ болатын шеңберді салу.
  
• 
  Берілген нүкте арқылы өтетін центрі берілген шеңбер салу.
  
• 
  Берілген шеңберге берілген нүктеде жанама салу.
  
• 
  Берілген екі нүкте арқылы өтетін радиусы берілген шеңбер салу.
  
• 
  Элементар салу арқылы фигураны бөлікке бөлу.
  
• 
  Бұру арқылы нүкте, түзу және шеңбер салу.
  

6. 
   Сызғыш және циркульдің көмегімен негізгі салуларды ата.
   
7. 
   Құралдар аксиомасы дегеніміз не?
   
8. 
   Кімнің геометриясы геометриялық салуларға негізделген?
   

1. 
   Шыныбеков Ә. Н. Геометрия: Жалпы білім беретін мектептің 9 сыныбына арналған оқулық, Алматы: Атамұра, 2013ж-105-108 б.
   
2. 
   Погорелов А. В. Геометрия: 7-9 орта мектептің сыныптарына арналған оқулық , Алматы: 1997ж.
   

Салуларға арналған геометриялық есептерді шешу әдістері

а) үшбұрыштар әдісі

б) нүктенің геометриялық орындары әдісі

Геометрия-жаратылыстану-ғылыми пәндері мен формальды-логикалық-теорияның ерекшеліктерін үйлестіретін математиканың негізгі бөлімдерінің бірі.   Мектеп геометриясы – оқулықта берілген аксиомалар мен теоремалар ғана емес, сонымен қатар   геометриялық есептерді шешу өнері. Есептерді шешу өнері курстың теориялық бөлігін жақсы  білумен қатар,  осы курсқа енбеген геометриялық фактілерді жеткілікті мөлшерде игеруге, геометриялық есептері мен тәсілдерін меңгеруге негізделді.  Геометриялық есептерді шешу есепті шығарудың әр кезеңдерінің логикалық байланысын  түсіне отырып, нақты және жүйелі ойлануды қажет етеді. Геометриялық есептерді шешу әдістерінің өзіне тән ерекшеліктері бар: олардың  алуан түрлілігі, формальды сипаттау қиындығы, қолдану облысының нақты шекараларының болмауы т.б. Геометриялық есеп шығаруда оқушылардың   геометриялық  интуициясы , геометриялық ойлауы,    геометриялық  көзқарасы  дамиды.     Геометрия курсында стандарт түрдегі есептер көп кездеспейді, әрбір есеп  «жеке» талдауды керек етеді. Қиын есептерді шығаруда  бірнеше әдістердің комбинациясы қолданылады.  Ал  мектеп  геометриясында  бұл  әдістері  жете  оқытылмайды.  Ұсынылып  отырған  бағдарлама  бойынша  геометриялық  есептерді  шығарудың  арнайы  әдістерін  оқытылып,  оқушылардың  ҰБТ – ға  дайындығын  жақсартылып,  геометриялық  білімдер  тереңдетіледі.     Кейбір есептерді ерекше бөліп көрсету қажет (оларды тірек есептері деп атаймыз), себебі оларда керекті фактілер тұжырымдалады немесе есеп шығарудың кейбір тәсілдері  мен әдістері көрініс табады.    «Тірек есеп»  ұғымын ашатын мысал ретінде элементар геометрияның оқып жатқан курсына  енбеген  бірнеше теоремаларын  келтіруге болады:  үшбұрыштың ішкі бұрыштарының биссектрисасы  туралы теорема, шеңберге бір нүктеден жүргізілген жанама мен қиюшы туралы теорема, т.б. Бұл  бағдарлама  мектептің  геометрия  курсына  енбеген  теоремаларды  меңгерте  отырып  оқушылардың  есеп  шығару  дағдыларын  жетілдіреді.

Оқыту процесінде шығарылаиын әрбір есептің үйретушілік сипаты бар, өйткені олар әр түрлі проблемалы жағдайяттарға бағдарланады, ал оқушылар осы проблеммаларды шешеді, білімдерін толықтырады, тәжірибие жинақтайды, математикалық іс әрекеттерге машықтанады, сонымен қатар есептер шешу, әсіресе шығармашылық есеп шешу барысында оқушылар ой қорытудағы тияанақтылыққа, тереңдікке, тжүйелікке, жалпылыққа үйренед.

Оқушылардың оқу процесінің шеңберіндегі ғылыми зеріттеу іс әрекетінің бірлігін ретінде проблемалық есептерді алуға болады.Проблемалық есептерді шешуді екі топқа бөлеміз:

1) Есепті одан гөрі қарапайым есептерге бөліп, ақырында алғашқы есепті шешуге жеткізетін әрбір қосалқы есепті біртіндеп шешу

2) Сырттай қарағанда әр түрлі есептердің құрылымдық ұсақстығын анықтау – бұл тәсіл ғылыми зерттеуді нобайлау, ұқсастық, салыстыру, жалпылау сияқты әдістерін қолданудың негізінде жатыр

Мұндағы ең басты нәрсе – оқушылардың зерттеушілік ебедейліктерімен дағдыларының қалыптасуына барынша ықпалын тигізетін мазмұны бар есептерді іріктеп алу.Енді сондай есептердің ішінен салу есептеріне жеке тоқталайық.

Салу есептерін әр түрлі әдістерді қолданып шешуге болады.Шешу тәсілдеріне байланыссыз геометриялық салудың негізгі бөліктерін қарастыралық.Алдымен есептің берілген шарттарына талдау жасап, олардың арасындағы байланыстарды анықтап алу қажет.Бұнда есеп шешілді деп қарастыру тәсілі кең түрде қолданылады.Сойтип, берілген есепті шешу алгоитмі тағайындалады.Салу есептерін шешудің қарастиырылған бөлігін анализ деп атаймыз. Яғни есепті шешу анализден басталады.Келесі бөлім – анализдің нәтижесінде алынған алгоритмді пайдаланып есеп салу. Салудан негізінен сызғышпен циркуль пайдаланылады.Сызғыштың көмегімен түзу сызықты ал циркульдің көмегімен шеңберді салуға болады.Сондықтан түзумен шеңбер қарапайы геометриялық сызықтар деп аталады.Салу есебін шешу нәтижесінде геометриялық фигура алынады. Келесі бөлімде алынған геометриялық фигураның есептің берілген шарттарын қанағаттандыратынын дәлелдеу керек.

Геометриялық салу есептердің шешудің соңғы бөлгінде есептің шешулері және шарттары зерттеледі.

а)есептің қанша шешуі болады және олар қалай табылады?

Б)есептің берілген шарттарына өзгерістер енгізсек, онда оның шешулері қалай және қандай заңдылықтармен өзгерер еді?

Міне осындай сұрақтарға төртінше бөлімде жауап берілуі қажет.

Сонымен салу есептерінің шешуін табуда анализ, салу, дәлелдеу және зерттеудеп аталатын 4 бөлім қарастырылуы қажет енді мына мысалды қарастырайық:

Есеп Үшбұрыштың бір қабырғасының ұзындығы С, оған іргелес бұрышы және қалған екі қабырғасының ұзындықтырының қосындысы L.Осы үшбұрышты дайындау керек.

А н а л и з. Есеп шешілді яғни АВС үшбұрышы іздеп отырған үшбұрыш делік.АВС үшбұрышының ВС қабырғасын С төбесімен ары қарай созып, оның созындысына ұзындығы АС кесіндісінің ұзындығына тең СD кесіндісін салайық. Сонда В, С және D нүктелері бір түзудің бойында жатады СD=AC

Енді D нүктесін А ніктесімен қоссақ, АВD және АСD үшбұрыштарын аламыз.Соңғы АСD үшбұрышы тең бүйірлі үшбұрыш, өйткені оның АС мен СD қабырғалары өзара тең. Олай болса, оның С төбесімен АD кесіндісінің дәл ортасы болатын Е нүктесі арқылы өтеді.Енді есепті шешу алгоритмін көрсету қиын емес.Ол үшін қабырғалары с және l болатын ал арасындағы бұрышы болатын үшбұрыш АВD салынады. Оның қабырғасын (АD кесіндісін) тең екі бөлікке бөлінетін Е нүктесі табылады. Осы Е нүктесі табылады.Осы Е нүктесі арқылы АD түзуіне перпендикуляр а түзуі жүргізіледі.Осы а түзуі ВD кесіндісін С нүктесінде қияды.Табылған С нүктесін А нүктесімен қосады.

Геометрия есептері әр түрлі ізденістерімен жаңалықтар ашуға итермелейді. Кез-келген геометриялық есепті шешу кезінде соған сәйкес геометриялық фигураның әр алуан касиеттері анықталады. Бұл қасиеттер ең болмағанда есептің сұрағына жауап беруге қажетті және жеткілікті болады. Жалпы алғанда есепті шешу кезіндс оған қолданылмайтын басы артық қасиеттерде кездесуі мүмкін. Әр түрлі көзқарас тұрғысынан алғанда маңызды болып табылатын, есеп шартында көрсетілмеген геометриялық фигураның қасиеттерін іздеген кезде ғана геометриялық есептерді зерттеу басталады. Мұндай зерттеу осы есептің шешілуімен тікелей байланысты. Есепті зерттеу барысында фигураның әр түрлі қызықты қасиеттерін іздеумен шектелуге болады. Геометриялық фигурадан табылған жаңа касиеттерді берілген есептің басқа жаңа шешімдерін іздеуге, жаңа есептер құрастыруға болады. Біз бұлшағын зерттеу жұмысында геометрия есептерін зерттеп ондағы есеп шартында көрсетілмеген, осы ссепке қатысты басқа зерттеулерді іздей отырып, табылған қасиеттерді пайдаланып, жаңа есептер құрастырдык, есептердің шартын өзгертіп, оны жалпылал олардағы ортақ қасисттерді көрсеттік. Есептерді әртүрлі мағынада жалпыладық. Ең болмағанда кейбір есептердін шартын түрлендірдік. Ал шешу тәсіліндс оның нәтижесі (әдетте кейбір бұрыштың шамасы) өзгеріссіз қалады. Басқа жағдайларда есеп шарты. есептің қорытындысы өзгертіледі. Дербес жағдайларды жалпылағанда кейде Менелай және Чева теоремалары қолданылды. Бұл есептерді шешу барысында есептерді қосымша зерттеуге басты назар аудардық. Осындай қосымша зерттеудің нәтижесінде мектеп оқушылары жаңа фактілерді үйреніп есепті жалпылау үшін оның шарты мен қорытындысын ұқыпты түрде талдауы мүмкін. Геометрияның мектептегі курсы оқушыларды математикалық тұжырымдарды жалпылай білу дағдысын үйретеді. Бұл мектеп оқушысының теориялық тұрғыда ойлауна, нақты және жалпы білім сапасының артуына мүмкіндік береді. В.А.Крутецский[1]математикалық материалды жалпылаудың әр түрлі екі жолын көрсетті: көп бейнелі кейбір дербес жалпылаудың басқа да жолдары бар. Оқу процесінде шәкірттер берілген оқу материалына сәйкестендірмей, салыстырмай, арнаулы жаттығуларсыз, мүғалімнің көрсетуінсіз өзбетінше математикалық объектілерді, қатыстармен амалдарды талдау арқылы бір құбылыспен қатар оған үқсас құбылысты жалпылауды іске асырады. Жалпылаудың бірінші жолы — нақты-эмприкалық ойлау мүмкіндігі, екінші жолы - ғылыми-теориялык ойлауды дамыту. Біз бұл мақалада жалпылаудың келесі түрлерін қарастырдық.

Осы айтылған жалпылауларға сүйеніп кұрастырылған есептер окушы білімін тереңдстіп, өзбетінше танымдық әрекетінің сапасын көтереді. Біз есептер шешу барысында сырттай сызылған шеңберді келесі қасиеттерін пайдаландық.