Практикалық cабақ №1 Тақырыбы: Жиындар. Нақты сандар

3 - есеп.
 
Функция айқындалмаған түрде берілген: 
0
5
4
2
2
3




y
x
y
x
x
. 
y

туындысын есептеңіз. 
Шешуі. 
Теңдіктің екі жағын дифференциалдаймыз: 
0
)
5
(
4
2
2
3




y
x
y
x
x
dx
d
. 
Онда


xy
x
2
3
2
0
4
2
3
2
4
2






y
y
x
xy
y
x
, осыдан 
3
2
2
4
2
4
2
2
3
y
x
x
xy
xy
x
y





. 
Функцияның туындысы. Біржақты туындылар. Дифференциал:
[8] №№ 828 
(а,в), 834, 836, 845, 851, 853, 862, 872, 878, 888, 890, 901, 920, 930, 1004, 1034, 
1039, 1048, 1055, 1083, 1099, 1100, 1088. 
Үй жұмысы 
№№ 843, 852, 867, 873, 877, 881, 886, 895, 903, 917, 921, 1000, 1035, 1040, 1051, 
1060, 1089, 1102. 
Тақырыбы: 
Дифференциалдық есептеудің негізгі теоремалары.
 
Мақсаты: 
Дифференциалданатын 
функциялардың 
негізгі 
қасиеттері. 
Логарифмдік дифференциалдау.
Логарифмдік дифференциалдау тәсілі:
)
(
)]
(
[
x
v
x
u
y

кӛрсеткішті-дәрежелік 
функцияның туындысын анықтайық. Ол үшін берілген функцияны логарифмдеп, 
содан кейін логарифмдеу нәтижесінде шыққан функцияға дифференциалдау 
ережелерін қолданамыз. 
Сонымен 
v
u
y

функциясын логарифмдесек 
u
v
y
ln
ln

болады. Осы ӛрнектен 
күрделі функцияның туындысының формуласы бойынша:
)
ln
(
)
(ln



u
v
y
; 
u
u
v
u
v
y
y





1
ln
1
;
]
1
ln
[
u
u
v
u
v
u
y
v





; 
1 - есеп. 
x
x
y
1
)
(cos

функциясының туындысын табу керек. 
Шешім:
x
x
y
cos
ln
1
ln

, 
)
(cos
)
cos
(ln
1
cos
ln
1
)
(ln














x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
y
y
sin
cos
1
1
cos
ln
1
1
2






, 
]
cos
sin
1
cos
ln
1
[
2
x
x
x
x
x
y
y





]
cos
sin
1
cos
ln
1
[
)
(cos
2
1
x
x
x
x
x
x
y
x






. 
Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар. Лейбниц формуласы. 
Лопиталь ережесі. Тейлор формуласы:
[8] №№ 1111, 1115, 1125, 1131, 1135, 
1140, 1146, 1156, 1171, 1161, 1235, 1236, 1319, 1323, 1326, 1336, 1340, 1349, 1359, 
1377, 1394(а.б), 1399. 
Үй жұмысы 
№№ 1112, 1116, 1122, 1132, 1143, 1149, 1158, 1176, 1246 (а), 1320, 1327, 1329, 
1339, 1341, 1354, 1396 (а). 
Практикалық cабақ №6 
Тақырыбы: 
Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар.
 
Мақсаты: Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар. Лейбниц 
формуласы. 

1 - есеп. 
Лейбниц формуласын қолданып, 
)
10
(
2
)
(
x
e
x

есептеу керек. 
Шешім:












)
(
)
(
2
1
9
10
)
(
)
(
10
)
(
)
(
)
(
2
)
8
(
2
)
9
(
2
)
10
(
)
10
(
2
x
e
x
e
x
e
x
e
x
x
x
x









)
(
)
(
3
2
1
8
9
10
2
)
7
(
x
e
x
. 
x
k
x
e
e

)
(
)
(
және 
0
2
)
2
(
)
(
2






x
x
болатынын ескере отырып, 

,
4
,
3

k
болғанда 
0
)
(
)
(
2

k
x
шығады және, сонымен бірге, келесі қосындылар да тең нӛлге 
болады, сол себептен, 
)
90
20
(
2
45
2
10
)
(
2
2
)
10
(
2










x
x
e
e
x
e
x
e
x
e
x
x
x
x
x
. 
2 - есеп. 
1
y
x
2


функциясының екінші ретті және n-ші ретті туындысын 
табыңыз. 
Шешім:
Функцияның туындыларын есептейік: 
/
2
1
y
( x
2 )
 

, 
/ /
3
2
y
( x
2 )


, 
/ / /
4
2 3
y
( x
2 )

 

, 
( 4 )
5
2 3 4
y
( x
2 )
 


,..., 
( n )
n
n 1
2 3 4 ... n
y
( 1 )
( x
2 )

   
 

 
Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар. Лейбниц формуласы. 
Лопиталь ережесі. Тейлор формуласы:
[8] №№ 1111, 1115, 1125, 1131, 1135, 
1140, 1146, 1156, 1171, 1161, 1235, 1236, 1319, 1323, 1326, 1336, 1340, 1349, 1359, 
1377, 1394(а.б), 1399. 
Үй жұмысы 
№№ 1112, 1116, 1122, 1132, 1143, 1149, 1158, 1176, 1246 (а), 1320, 1327, 1329, 
1339, 1341, 1354, 1396 (а). 
Тақырыбы: 
Лопиталь ережесі. Тейлор формуласы.
 
Мақсаты: Лопиталь ережесі. Тейлор формуласы. Маклорен формуласы, негізгі 
элементар функциялардың жіктелуі. 
Лопиталь ережесі. 
Мысалдар
. 
1)
b
a
bx
b
ax
a
bx
ax
bx
ax
x
x
x















cos
cos
lim
)
(sin
)
(sin
lim
0
0
sin
sin
lim
0
0
0
; 
2)
егер Лопиталь ережесін қолдану нәтижесінде 
0
0
және 


анықталмағандықтар түрлері пайда болса, онда бұл ережені бірнеше рет 
қолдануға болады: 



























x
e
e
x
x
x
e
e
x
x
x
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
cos
1
2
lim
)
sin
(
)
2
(
lim
0
0
sin
2
lim
0
0
0

































)
(sin
)
(
lim
0
0
sin
lim
)
cos
1
(
)
2
(
lim
0
0
0
0
0
x
e
e
x
e
e
x
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x

2
1
1
1
cos
lim
0







x
e
e
x
x
x
. 
Тейлор формуласы.
 
Есеп
.
)
1
(

x
дәрежесі бойынша 
1
2
3
4
)
(
2
3





x
x
x
x
P
кӛпмүшелікті жіктеу 
керек 
Шешім:
1
0


x
, 
2
6
12
)
(
2
0





x
x
x
P
, 
6
24
)
(
0




x
x
P
, 
24
)
(
0



x
P
n
. 
Сондықтан 
10
)
1
(


P
,
20
)
1
(




P
, 
30
)
1
(



P
, 
24
)
(
0



x
P
n
. Сонымен, 
3
2
2
3
)
1
(
4
)
1
(
15
)
1
(
30
10
1
2
3
4
)
(












x
x
x
x
x
x
x
P
Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар. Лейбниц формуласы. 
Лопиталь ережесі. Тейлор формуласы:
[8] №№ 1111, 1115, 1125, 1131, 1135, 
1140, 1146, 1156, 1171, 1161, 1235, 1236, 1319, 1323, 1326, 1336, 1340, 1349, 1359, 
1377, 1394(а.б), 1399. 
Үй жұмысы 
№№ 1112, 1116, 1122, 1132, 1143, 1149, 1158, 1176, 1246 (а), 1320, 1327, 1329, 
1339, 1341, 1354, 1396 (а). 
Тақырыбы: 
Функция экстремумы, функцияның өсу, кему аралықтары.
 
Мақсаты: Функцияларды зерттеу дифференциалдық есептеудің қолданылуы. 
Функцияны экстремумге зерттеу, функцияның өсу, кему аралықтарын табу. 
1 Есеп.
Функцияның ӛсу және кему аралықтарын табыңыз: 
2
3
3
x
x
y


Шешімі.
Анықталу облысы 
)
,
(


Туындысын табамыз 
x
x
y
6
3
2
/


. Теңдеуді шешеміз 
0
6
3
2
/



x
x
y
, 
0
)
2
(
3


x
x
,
2
,
0


x
x
. Туындының таңбасын анықтаймыз: 
)
,
2
(
)
0
,
(



осы 
аралықта бірінші ретті туындысы оң болады. Ал 
)
2
,
0
(
аралықта теріс болады. 
Онда 
)
,
2
(
)
0
,
(



аралықта функция ӛседі. Ал 
)
2
,
0
(
аралықта функция кемиді.

жүктеу/скачать 0,91 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: