Правильные многогранники: от теории до моделей прикладной проект по математике

Новолялинского городского округа

«Средняя общеобразовательная школа № 4»
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ:

ОТ ТЕОРИИ ДО МОДЕЛЕЙ

прикладной проект по математике

Работу выполнили:

Беляева Анастасия,

Южакова Елизавета,

Сизова Марина Юрьевна,

г. Новая Ляля, 2015 г.

Действительно, давняя история, удивительные свойства и разнообразие использования данных тел обуславливают тот факт, что до сих пор учёными изучаются правильные многогранники: в биологии, географии, астрономии, физике, химии, а искусство и архитектура олицетворяют симметрию этих тел с гармонией и красотой.

Тема «Правильные многогранники» изучается и в школьном курсе геометрии, но на её рассмотрение в школе уделяется всего 1-2 часа, в то время как область практического применения очень широка.

Мы решили восполнить этот пробел школьного учебника и подготовить разнообразный материал, который можно использовать как на уроках, так и на внеурочных занятиях.

Наш проект по математике – прикладной, основная идея – собрать информацию, которая была бы интересна школьниками, интересующимся различными областями человеческих знаний.

Цель проекта – подготовка комплекта материалов по теме: «Правильные многогранники».

Задачи:

• 
  изучить и обобщить информацию по данной теме;
  
• 
  рассмотреть правильные многогранники с точки зрения различных наук;
  
• 
  изготовить модели правильных многогранников и конструктор для их создания;
  

При работе над проектом были использованы методы:

- анализ;

- обобщение;

- систематизация;

- моделирование;

- конструирование.

Мы выделили объект – правильные многогранники и предмет – техники изготовления моделей правильных многогранников в работе над проектом. Поэтому основная часть проекта, усиливающая прикладную направленность проекта, посвящена различным техникам изготовления моделей правильных многогранников.

Наиболее фундаментальным русскоязычным руководством по изготовлению бумажных моделей многогранников является книга М. Веннинджера «Модели многогранников» (М., 1974). В ней даются подробные инструкции по изготовлению 119-ти бумажных моделей многогранников. В книге приводятся трафареты и шаблоны для вырезания из бумаги составных частей будущей модели (заготовок), а также даются схемы соединения частей между собой и таблицы раскраски.

В нашей стране весомый вклад в изготовление и популяризацию бумажных моделей многогранников внесла Гончар Валентина Васильевна, архитектор и руководитель кружка бумажного моделирования. Её книга «Модели многогранников» (М., 1997) посвящена в основном платоновым и архимедовым телам, а также их отдельным звездчатым формам. Гончар В.В. предлагает упростить создание бумажных моделей за счет использования не заготовок отдельных граней, а единой выкройки, что сделает моделирование доступным даже для детей.

Данный проект актуален для школы, так как значительно расширяет и обогащает информацию по теме «Правильные многогранники» школьных учебников математики.

Глава 1. Теория правильных многогранников

1. 
   Определение правильного многогранника
   

1) каждая сторона одного является одновременно стороной другого (но только одного), называемого смежным с первым (по этой стороне);

2) от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого в свою очередь – к смежному с ним, и т.д.

Эти многоугольники называются гранями, их стороны ребрами, а их вершины – вершинами многогранника.  

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.

Из этого определения следует, что все грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Поверхность выпуклого многогранника состоит из граней, которые лежат в разных плоскостях. При этом ребрами многогранника являются стороны многоугольников, вершинами многогранника – вершины граней, плоскими углами многогранника – углы многоугольников – граней.

А что же такое правильный многогранник?

Во всех учебниках по геометрии вводят разные определения этого понятия. Например, в учебнике Атанасяна Л.С. «Геометрия 10-11 кл.» [2, с. 76] выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многоугольники и, кроме того, в каждой вершине сходится одно и то же число ребер. В учебнике Погорелова А.В. «Геометрия 10-11 классов» [7] вместо условия равенства правильных многоугольников требуется, чтобы правильные многоугольники были с одним и тем же числом сторон. А в учебнике Александрова А.Д. «Геометрия 10-11 кл.» [2, с. 241], в отличие от учебника Атанасяна Л.С. «Геометрия 10-11 кл.» дополнено требование равенства всех двугранных углов правильного многогранника.

Очевидно, что в разных перечисленных учебниках вводятся разные оп-ределения понятия правильного многогранника, которые используют различ-ные свойства правильных многогранников.

Таким образом, многогранник называется правильным (рис. 1), если выполняется ряд условий:

1. 
   многогранник выпуклый;
   
2. 
   грани - равные друг другу правильные многоугольники;
   
3. 
   в каждой вершине сходится одинаковое число рёбер;
   
4. 
   все двугранные углы равны.
   

Рис. 1. Правильные многогранники

2. 
   Применение теоремы Эйлера к правильным многогранникам
   

Рис. 2. Леонард Эйлер (1707 – 1783)

Теорема Эйлера: для любого выпуклого многогранника имеет место равенство , где В – число вершин, Р – число ребер и Г – число граней данного многогранника.

С помощью теоремы Эйлера мы можем получить ответ на вопрос: какие правильные многогранники могут существовать?

Пусть количество ребер правильного многогранника, выходящих из одной вершины равно m, а гранями являются правильные n-угольники. Выразим входящие в формулу Эйлера величины В и Г через Р, m, n, где n и m – целые числа и m≥3, n≥3.

Так как каждое ребро соединяет две вершины, и к каждой вершине сходятся m ребер, то 2Р=Вm. Тогда .

Так как каждое ребро многогранника содержится в двух гранях, то Гn=2Р, тогда .

Подставляя полученные выражения для Г и В в формулу Эйлера Г+В-Р=2, получаем .

Поделив обе части равенства на 2Р, получим (1)

По смыслу ни m, ни n не могут быть меньше 3. Решим уравнение (1) при m=3 и найдем допустимые значения n.

Т.к. Р>0, то из (2) следует, что n≤5. Т.е., получаем, что 3≤n≤5.

1. 
   m=3, n=3, P=6, Г=4 – тетраэдр
   
2. 
   m=3, n=4, P=12, Г=6 – куб
   
3. 
   m=3, n=5, P=30, Г=12 – додекаэдр.
   

1. 
   m=3, n=3, P=6, Г=4 – тетраэдр
   
2. 
   m=4, n=3, P=12, Г=8 – октаэдр
   
3. 
   m=5, n=3, P=30, Г=20 – икосаэдр.
   

Рис. 3 Правильные многогранники

3. 
   
   жүктеу/скачать 1,6 Mb.
   
   Достарыңызбен бөлісу: