Правильные многогранники: от теории до моделей прикладной проект по математике

Модели правильных многогранников можно изготовлять с помощью конструктора, состоящего из многоугольников, сделанных из плотного материала с отгибающимися клапанами и резиновых колечек – основной крепежной детали конструктора. Подбирая соответствующим образом многоугольники (рис. 41-43) в качестве граней многогранника и скрепляя их резиновыми колечками, можно получать модели различных правильных многогранников. Для того чтобы колечки лучше держались и не мешали друг другу, уголки многоугольников в конструкторе можно немного обрезать, как показано на рисунках.

Рис. 41

Рис. 42

Рис. 43

Математики давно уже доказали возможность построения трехмерных объектов из ленты. На рис. 44 показано, как получить тетраэдр, перегибая бумажную ленту по сторонам расчерченных на ней равносторонних треугольников.

Рис. 44

Так, ничем на первый взгляд не примечательная бумажная лента при нанесении на ее поверхность узора превращается в заготовку для построения Амых разнообразных многогранников. На основе различных узоров можно создать все правильные многогранники, кроме додекаэдра. Это объясняется отсутствием у плоских узоров осей симметрии 5-го, 7-го и высших порядков – иначе говоря, сплошной узор из пятиугольников построить невозможно.

Рис. 47

В самом деле, когда сворачивается кольцо будущего многогранника, то в буквальном смысле производится перенос элементарной ячейки решетки на определенный шаг, то есть осуществляется переносная симметрия. Меняя направление формообразования за счет перегиба ленты в обратную сторону, производим мысленный поворот ячейки вокруг узла решетки, то есть проявляется уже симметрия поворотная. Стало быть, заготовка из ленты обеспечивает поворотно-переносную симметрию. Такая поворотно-переносная симметрия в наших построениях может осуществляться с углами поворотов; 30° 45°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°. В этом и состоит весь секрет способа образования из плоской ленты объемных тел.

Таким образом, ясно, что могут существовать только два типа лент с углами разбивки, кратными 30° и 45°. Из них получается четыре правильных многогранника: куб, октаэдр, тетраэдр, икосаэдр. В прекрасном сочинении Иоганна Кеплера «О шестиугольных снежинках» есть очень меткое замечание: «Среди правильных тел первым по праву считается куб, первозданная фигура, отец всех остальных тел, Октаэдр, имеющий столько же вершин, сколько у куба граней, является как бы его супругой…» Действительно, все элементы образующихся из нашей ленты сложных форм являются элементами куба или октаэдра, либо того и другого вместе.

 

Заключение

К сожалению, в школьном курсе геометрии вопросам о правильных многогранниках не уделяется достаточно много внимания. В результате работы над проектом были достигнуты следующие результаты:

• 
  рассмотрены различные теории о связи правильных многогранников с устройством мира и природы, а также их использование в искусстве;
  
• 
  подготовлен диск с комплектом учебных материалов «Правильные многогранники, которые значительно расширяют и обогащают школьный учебник;
  
• 
  изготовлены модели (бумажные и каркасные) правильных многогранников и конструктор для их создания для использования в учебном процессе: так, например, с помощью бумажной модели можно показать форму многогранника, также на таких моделях удобно показать развертку поверхности тела, а каркасные модели позволяют показать виды, элементы и про­екцию многогранника на плоскость (тень модели на листе белой бума­ги), сечение многогранника плоскостью, комбинации геометрических тел, такая модель является связующим звеном между объемной моделью многогранника и чертежом на бумаге. Модели мо­гут быть использованы при решении задач, при выпол­нении практических и лабораторных работ.
  

1. 
   Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия для 10 – 11 классов: учебное пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики. – М.: Просвещение, 1992. – 464 с.
   
2. 
   Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия, 10 – 11: учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2006. – 256 с.
   
3. 
   Венниджер М. Модели многогранников.- М.: Мир, 1974.
   
4. 
   ВикипедиЯ. Свободная энциклопедия / [Электронный ресурс] / - Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki
   
5. 
   Гончар В.В. Модели многогранников. Приложение к журналу «Оригами. Искусство складывания из бумаги», М.: «Аким», 1997 г., 64 с.
   
6. 
   За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Кн.для общеобразоват. учреждений/ Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова.- М.: Просвещение, 1996. - 320 с.
   
7. 
   Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. / А.В. Погорелов. - М.: Просвещение, 2014 - 175 с.
   
8. 
   Тарасов Л.В. Симметрия в окружающем мире. - М.: Мир и образование, 2005. - 256 с.
   
9. 
   Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. – М.: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, 2011. – 621 с.
   
10. 
    Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А.П. Савин.- М.: Педагогика, 1989. – 352 с.
    
11. 
    Черенков А., Храмов В. Многогранники из ленты//"Наука и Жизнь".-  №6 . 1989 г.
    
12. 
    http://famouspeoples.net/velikolepnaya-pyaterka-platonovy-tela/ (*)
    
13. 
    http://mnogogranniki.ru/
    
14. 
    http://w2.miwzua.com/PolyHedRon/index.htm
    
15. 
    15.
    
16. 
    http://licey102.k26.ru/dist-kurs/p1aa1.htm
    
17. 
    https://vk.com/trubogrannik