Глава 9. Почему исчисления логики и арифметики применимы к реальности?

Глава 9. Почему исчисления логики и арифметики применимы к реальности?

Я буду ссылаться на некоторые идеи, содержащиеся в выступлении проф. Райла, а также в его президентском обращении к Аристотелевскому обществу «Знание Как и знание Что» (1945)².

1. I

Конкретное правило вывода, лежащее в основе приведенного выше рассуждения, можно сформулировать с помощью переменных и нескольких дополнительных символов следующим образом³.

Из трех посылок вида:

«х R у»

«у S z»

«R «S = Т»

можно вывести заключение вида: «х Tz».

Здесь вместо «х», «у» и «z» можно подставить любое собственное имя индивидов, а вместо «R», «S» и «Т» — имена любых отношений между индивидами; вместо «xRy» и т.п. — любое высказывание, утверждающее, что между х и у имеется отношение R; вместо «R «S» — имя любого отношения, существующего между х и z тогда и только тогда, когда существует такой у, что х R у и у S z\ знак «=» выражает здесь равенство областей между отношениями.

Следует отметить, что это правило вывода говорит об утверждениях определенного вида или формы. Это очевидным образом отличает его от формул исчисления (в данном случае исчисления отношений), например, от такой:

«для всех R, Sw Т, для всех*, у и с селах R у nySzuR«S=T, то* 7>>.

Безусловно, эта формула похожа на наше правило вывода, более того, данное утверждение (исчисления отношений) соответствует нашему правилу вывода. Однако это не одно и то же: данная формула что-то условно утверждает обо всех отношениях и индивидах определенного вида, в то время как правило вывода что-то утверждает безусловно о всех утверждениях определенного вида, а именно, что каждое утверждение определенного вида безусловно выводимо из множества утверждений другого вида.

Аналогичным образом мы должны отличать правило вывода (модус «Barbara») традиционной логики: (340:)

«М а Р»

«S а М»

«S а Р» от формулы исчисления классов «Если Ma PuSa Л/, то Sa P> (или в несколько более современном написании: «Если с С Ъ и а О с, то а Ob»), или правило вывода, называемое «принципом вывода пропозициональной логики», или modus ponens:

Р

Если р, то q

от формулы пропозиционального исчисления: «Если р и если р, то q, то q».

Действительно, для каждого известного правила вывода существует логически истинная гипотетическая или условная формула некоторого известного исчисления, «логико-гипотетическая» формула, как выражается проф. Райл. Порой это приводит к отождествлению правил вывода и соответствующих условных формул. Однако между ними существуют важные различия. (1) Правила вывода всегда являются утверждениями об утверждениях или о классах утверждений (они являются «металингвистическими»), формулы же исчислений не таковы. (2) Правила вывода представляют собой категорические утверждения о выводимости, в то время как соответствующие формулы исчислений являются условными или гипотетическими «если... то...» утверждениями, которые ничего не говорят о выводимости, выводе, посылках или заключениях. (3) После подстановки констант на место переменных правило вывода нечто утверждает относительно определенного рассуждения — относительно «соблюдения» этого правила — а именно, что это рассуждение верно; однако соответствующая формула после такой подстановки превращается в логическую тавтологию, т.е. в утверждение типа «Все столы есть столы», хотя и имеющую гипотетическую форму: «Если это стол, то это стол», или «Если все люди смертны и все греки люди, то все греки смертны». (4) Правила вывода никогда не используются в качестве посылок в тех рассуждениях, которые сформулиро-

341

ваны в соответствии с ними; однако соответствующие формулы используются в этом качестве. Действительно, одна из главных целей построения логического исчисления состоит в том, чтобы используя «логико-гипотетические» утверждения (т.е. гипотетические тавтологии, соответствующие определенным правилам вывода) в качестве посылок, обойтись без каких-то правил вывода. С помощью этого метода мы можем устранить все правила вывода за исключением одного, упомянутого выше «принципа вывода» (или двух, если добавить сюда «принцип подстановки», чего, однако, можно избежать). Иными словами, построение логических исчислений есть метод сведения громадного числа правил вывода к одному (или двум). Место всех остальных занимают формулы исчисления. Мы получаем то преимущество, что все это бесконечное число формул можно систематически вывести (используя «принцип вывода») всего из нескольких формул.

Таким образом, следует тщательно различать правила вывода и формулы логических исчислений. Однако это не запрещает нам интерпретировать определенное подмножество этих формул — «логико-гипотетические» формулы — как правила вывода. Утверждение о том, что для каждой такой гипотетической формулы имеется соответствующее правило вывода, оправдывает такую интерпретацию.

2. II

342

Если я правильно понял, центральный тезис проф. Райла состоит в следующем. Правила логики, точнее, правила вывода являются правилами образа действий [procedure]. Это означает, что они применимы к определенным процедурам, а не к вещам или фактам. Они неприменимы к реальности, если под «реальностью» мы подразумеваем вещи и факты, описанные, скажем, ученым или историком. Они не «применимы» в том смысле, в котором описание, скажем, некоторого человека можно применить — или подогнать — к описанному человеку или к какому-то другому человеку, или в том смысле, в котором описательная теория, например, ядерного резонанса, может быть применена — или подогнана — к атомам урана. Логические правила применимы к процедурам выведения следствий — приблизительно так, как правила дорожного движения применимы к способам езды на велосипеде или вождения автомобиля. Логические правила можно соблюдать или нарушать, и их применение означает их соблюдение, действие в соответствии с ними. Если вопрос «Почему правила логики применимы к реальности?» ошибочно истолковывается как вопрос «Почему правила логики пригодны для вещей и фактов нашего мира?», то ответ на него состоял бы в том, что этот вопрос предполагает применимость правил логики к фактам, в то время как нельзя сказать ни того, что они «пригодны для фактов мира», ни того, что они «непригодны для фактов мира». Об их соответствии фактам нельзя говорить точно так же, как нельзя говорить о соответствии фактам правил дорожного движения или правил шахматной игры.

Кажется, что наша проблема разрешена. Тот, кто спрашивает, почему правила вывода применимы к миру, и тщетно пытается вообразить себе нелогичный мир, является жертвой двусмысленности. Правила вывода представляют собой правила образа действий, поэтому они «применяются» в том смыс-

343

Этот анализ (проф. Райла) представляется мне верным и глубоким, и он указывает направление, в котором следует искать решение нашей проблемы. Однако само по себе решение проф. Райла меня не удовлетворяет.

Я вижу ситуацию следующим образом. Анализ проф. Райла показывает, что одна из интерпретаций нашей проблемы сводит ее к псевдопроблеме, делает ее бессмысленной. За многие годы я выработал для себя личное правило не удовлетворяться сведением проблем к псевдопроблемам. Когда я вижу, что кому-то удалось успешно свести проблему к псевдопроблеме, то я всегда спрашиваю себя, нельзя ли найти иную интерпретацию исходной проблемы — такую интерпретацию, которая покажет, что за исходной проблемой, помимо псевдопроблемы, кроется еще и некоторая реальная проблема? Многие случаи убедили меня в том, что мое личное правило полезно и плодотворно. Я совершенно согласен с тем, что сведение первоначальной проблемы к псевдопроблеме часто может быть чрезвычайно ценным: оно показывает, что здесь существует опасность путаницы, и часто помогает нам обнаружить реальную проблему. Но оно не дает решения, как получилось и в данном случае.

3. III

4. IV

Если это так, то вместо нашего вопроса «Почему правила логики являются хорошими правилами действия?» мы должны поставить другой вопрос, а именно: «Как объяснить тот факт, что логические правила вывода всегда от истинных посылок приводят к истинным заключениям?»

5. V

345

В соответствии с этим мы можем установить, что логические правила вывода являются, по определению, хорошими или «действенными» правилами вывода тогда и только тогда, когда их соблюдение гарантирует получение истинных заключений из истинных посылок. Если же мы обнаруживаем, что соблюдение некоторого правила позволяет нам получить ложное заключение из истинных посылок — я называю это «контрпримером», — то мы не считаем это правило общезначимым. Иными словами, некоторое правило вывода мы называем «общезначимым» тогда и только тогда, когда для этого правила не существует контрпримера и мы можем доказать, что таких контрпримеров не может быть. Аналогичным образом, соблюдение некоторого правила вывода мы называем «общезначимым» тогда и только тогда, когда для соблюдаемого правила не существует контрпримеров.

Таким образом, «хорошее» или «общезначимое» правило вывода полезно потому, что для него нельзя найти контрпримера, и мы можем опираться на него как на правило той процедуры, которая от истинных описаний фактов приводит к истинным описаниям фактов. Об истинном описании можно сказать, что оно соответствует фактам, поэтому «применимость» в смысле «соответствия» в конечном итоге косвенным образом входит в наш анализ. Можно сказать, что правила вывода применяются к фактам в той мере, в которой каждое их применение к описаниям, соответствующим фактам, приводит к описаниям, которые также соответствуют фактам.

Небезынтересно, быть может, то обстоятельство, что фундаментальное значение того принципа, что общезначимый вывод от истинных посылок всегда должен приводить к истинным заключениям, обсуждалось еще Аристотелем (Первая аналитика, II, 1—4). (346:)

6. VI

(A) Правила логики являются законами мышления.

(A1) Они являются естественными законами мышления — они описывают, как мы в действительности мыслим, и мы не можем мыслить иначе.

(А2) Они представляют собой нормативные законы — говорят нам, как мы должны мыслить.

(B) Правила логики есть наиболее общие законы природы — это дескриптивные законы, справедливые для любых объектов.

(C) Правила логики есть законы определенных дескриптивных языков, управляющие использованием слов и предложений.

Широкая распространенность концепции (A1) объясняется, как мне представляется, тем, что в логических правилах есть нечто непреодолимое и неизбежное, во всяком случае, в наиболее простых. Они считаются хорошими, поскольку мы вынуждены мыслить в соответствии с ними, поскольку невозможно вообразить себе положение дел, когда бы они не действовали. Однако аргумент, опирающийся на невозможность вообразить что-либо, всегда вызывает подозрение. Тот факт, что некоторое правило или суждение кажутся нам истинными, убедительными, непреодолимыми или самоочевидными, очевидно, не дает достаточных оснований считать их истинными, хотя обратное может быть справедливым: их истинность объясняет, почему они кажутся нам истинными или убедительными. Иными словами, если законы логики справедливы для всех объектов, т.е. концепция (В) верна, то их убедительность понятна и очевидна; обратный ход мысли кажется странным. На этом пути критика (A1) приводит к (В).

Но другой путь критики (A1) ведет к (А2): известно, что мы не всегда мыслим в соответствии с законами логики и иног-

347

да совершаем то, что обычно называют «ошибкой». (А2) утверждает, что следует избегать такого нарушения правил логики. Но почему? Быть может, это аморально? Безусловно, нет. «Алиса в Стране чудес» не аморальна. Быть может, это глупо? Едва ли. Очевидно, следует избегать нарушения правил логики только в том случае, если мы стремимся формулировать или выводить истинные высказывания, т.е. истинные описания фактов. Это рассуждение опять-таки приводит нас к (В).

Концепцию (С) критиковали, и я думаю, справедливо, за то, что она связана с истолкованием языка как «простого набора символов», т.е. символов, лишенных какого-нибудь «значения» (что бы это ни значило). Я думаю, эту точку зрения (348:) трудно защищать. И наше определение общезначимого вывода, безусловно, не было бы пригодно для такого «простого набора символов», ибо в нем использован термин «истина». О «простом наборе символов», лишенных значения, мы уже не смогли бы сказать, что он содержит истинные или ложные утверждения. Следовательно, у нас не было бы правил вывода в нашем смысле, и мы не смогли бы ответить на вопрос о том, почему правила логики хороши, полезны или общезначимы.

Но если под языком мы понимаем символизм, позволяющий нам высказывать истинные утверждения (и в отношении которого мы способны объяснить, как это впервые сделал Тарский, что мы имеем в виду, когда называем некоторое утверждение истинным), то, как мне представляется, возражения против концепции (С) в значительной мере утрачивают свою остроту и силу. Общезначимым правилом вывода в такой семантической языковой системе будет такое правило, для которого в данной языковой системе нельзя найти контрпримера, ибо его не существует.

Можно заметить, между прочим, что эти правила вывода не обязательно носят «формальный» характер, как это бывает в работах логиков. Их характер будет зависеть от характера исследуемой семантической языковой системы (примеры таких систем были рассмотрены Тарским и Карнапом). Однако для языков, обычно рассматриваемых логиками, правила вывода будут, как обычно, «формальными».

7. VII

Возьмем, например, язык категорических суждений (субъектно-предикатных утверждений), для которого правила вывода формулирует традиционная система категорического силлогизма. Логическая структура этого языка характеризуется тем, что он содержит очень небольшое число логических знаков — знаки для связки и ее отрицания, для общих и частных суждений, возможно, знак для дополнения (или отрицания) так называемых «терминов». Если теперь мы посмотрим на рассуждение, сформулированное в разделе I, то увидим, что его посылки и заключение можно выразить в языке категорических суждений. Однако при этом оказывается невозможным сформулировать общезначимое правило вывода, выявляющее общую форму данного рассуждения, и нельзя защитить справедливость данного рассуждения, если оно выражено в языке категорических суждений. Как только слова «мать Ричарда» мы объединили в один термин — предикат нашей первой посылки, — их уже нельзя разделить снова. Логическая структура этого языка слишком бедна для выражения того факта, что этот предикат некоторым образом содержит субъект второй посылки и часть субъекта третьей посылки. То же самое справедливо для других двух посылок и для заключения. Если же мы попытаемся сформулировать соответствующее правило вывода, то мы получим что-то такое:

« С есть d»

«Все е есть/>

«А есть g» (350:)

(Здесь «А» и «С» представляют «Рэчел» и «Ричард»; «Ь» — «мать Ричарда»; «d» — «отец Роберта»; «е» — «мать отца»; «f» — «бабушка» и «g» — «бабушка Роберта».) Конечно, это правило не является общезначимым, так как в языке категорических суждений мы можем построить сколько угодно контрпримеров. Таким образом, даже если некоторый язык достаточно богат для описания всех фактов, которые нам нужны, в нем может не оказаться средств для формулировки правил вывода, охватывающих все переходы от истинных посылок к истинным заключениям.

8. VIII

Мне кажется, построение так называемых «логических исчислений» вызвано, главным образом, стремлением создавать такие языки, относительно которых можно «формализовать» все те правила вывода, которые мы интуитивно знаем, как осуществлять, иначе говоря, показать, что мы осуществляем выводы в соответствии всего лишь с несколькими общезначимыми правилами вывода. (В качестве правил образа действий эти правила вывода говорят об исследуемом языке или исчислении. Следовательно, они формулируются не в самом исследуемом исчислении, а в так называемом «метаязыке» этого исчисления, т.е. в языке, на котором мы говорим о самом исчислении.) Например, силлогистическую логику можно рассматривать как попытку построить такой язык, и многие ее приверженцы до сих пор убеждены в том, что попытка удалась и что все действительно общезначимые выводы формализованы в ее фигурах и модусах. (Мы видели, что это не так.) Для достижения этой цели были построены другие системы (на-

351

пример, Principia Mathematica*), которым удалось формализовать практически все общезначимые правила вывода, выполняемые не только в обыденных рассуждениях, но и в математической аргументации. Задачу построения такого языка или исчисления, в котором можно было бы формализовать все общезначимые правила вывода (отчасти с помощью логических формул самого исчисления, а отчасти с помощью нескольких правил вывода, относящихся к этому исчислению), пытались рассматривать как фундаментальную проблему логики. Теперь есть основания считать эту проблему неразрешимой, по крайней мере, если для формализации относительно простых интуитивных выводов мы не разрешаем использовать процедуры совершенно иного характера (например, выводы из бесконечного класса посылок). В настоящее время положение таково: хотя для любого данного общезначимого интуитивного вывода можно построить язык, позволяющий формализовать этот вывод, нельзя построить язык, позволяющий формализовать все общезначимые интуитивные выводы. Эта интересная ситуация, которую, насколько мне известно, впервые рассмотрел Тарский, учитывая исследования Геделя, имеет отношение к нашей проблеме, поскольку показывает, что применимость каждого исчисления (в смысле его пригодности в качестве языка, относительно которого можно сформулировать каждый интуитивно общезначимый вывод) в той или иной степени ограничена.

Я попробую дать ответ на этот вопрос в виде трех утверждений.

(а) Как правило, эти исчисления представляют собой семантические системы⁴, т.е. языки, предназначенные для описания определенных фактов. Если они служат этой цели, то в этом нет ничего удивительного.
* Начала математики (лат.). — Примеч. ред. (352:)
(б) Они могут быть построены таким образом, что не достигают этой цели. Это видно из того факта, что некоторые исчисления, например, арифметика натуральных или действительных чисел, пригодна для описания одних фактов, но не годится для описания других фактов.

(в) В той мере, в которой исчисление применимо к реальности, оно утрачивает характер логического исчисления и становится описательной теорией, которую можно опровергнуть эмпирически; если же его истолковывают как неопровержимое, т.е. как систему логически истинных формул, а не как описательную научную теорию, оно не применимо к реальности.

В данном разделе мы коротко рассмотрим лишь (б) и (в), замечание относительно (а) будет высказано в следующем разделе.

Обратившись к (б), можно заметить, что исчисление натуральных чисел используется для подсчета бильярдных шаров, пенсов или крокодилов, в то время как исчисление действительных чисел дает средства для измерения континуальных величин, таких как геометрические расстояния или скорости. (Это становится особенно ясно в теории действительных чисел Брауэра.) Мы не можем сказать, например, что в нашем зоопарке имеется π крокодилов. Для подсчета крокодилов мы пользуемся исчислением натуральных чисел. Но для того чтобы установить, на какой географической широте расположен наш зоопарк, или его расстояние от Гринвича, нам может потребоваться число π. Поэтому трудно согласиться с мнением о том, что любое из исчислений арифметики применимо к любой реальности (кажется, на этом мнении основывается та проблема, которую мы обсуждаем на нашем симпозиуме).

Теперь обратимся к (в). Суждение типа «2 + 2 = 4» можно применять, например, к яблокам, в разных смыслах, из которых я рассмотрю только два. В первом смысле утверждение «2 яблока + 2 яблока = 4 яблока» считается неопровержимым и логически истинным. Однако оно столь же мало описывает какие-то факты относительно яблок, как и утверждение «Все яблоки есть яблоки». Подобно последнему утверждению, оно (353:) является логической тавтологией: единственное различие состоит в том, что оно опирается не на определения знаков «все» и «есть», а на определения знаков «2», «4», «+» и «=». (Эти определения могут быть явными или неявными.) В этом случае мы могли бы сказать, что данное применение является не истинным, а мнимым, что здесь мы не описываем какую-то реальность, а лишь утверждаем, что один способ описания реальности эквивалентен другому.

Более важным является применение во втором смысле. В этом смысле «2 + 2 = 4» означает, что если кто-то положил в корзину два яблока, потом еще два и ничего не вынимал из корзины, то в корзине окажется четыре яблока. При такой интерпретации утверждение «2 + 2 = 4» помогает нам вычислять, т.е. описывать определенные физические факты, и символ «+» представляет некоторое физическое действие — добавление одних предметов к другим. (Здесь мы видим, что логический символ иногда можно интерпретировать дескриптивно⁵.) Но в этой интерпретации утверждение «2 + 2 = 4» становится скорее физической, нежели логической теорией. И поэтому мы уже не можем быть уверенными в том, что оно останется универсально истинным. Оно справедливо для яблок, но едва ли справедливо для кроликов. Если вы сунете в клетку 2 + 2 кроликов, то вскоре можете обнаружить там 7 или 8 кроликов. Оно неприменимо и к таким вещам, как капли. Если вы накапаете в бутылку 2 + 2 капель, то вы никогда не найдете там четырех капель. Иными словами, если вас удивляет, что «2 + 2 = 4» не всегда применимо в мире, то ваше удивление легко устранить. Пара кроликов разного пола или несколько капель воды служат моделью такого мира. Если вы отвечаете, что эти примеры не являются подходящими, поскольку с кроликами и каплями что-то происходит и поскольку равенство «2 + 2 = 4» применимо только к таким объектам, с которыми ничего не происходит, то я скажу, что тогда вы имеете дело не с «реальностью» (ибо в «реальности» все время что-то происходит), а с абстрактным миром неизменных объектов. В той мере, в которой наш реальный мир похож на абст-

354

рактный мир, в котором наши яблоки не гниют, кролики и крокодилы не размножаются, иными словами, в той мере, в которой наши физические действия похожи на чисто логическую или арифметическую операцию сложения, арифметика, конечно, будет применима. Но это утверждение тривиально.

Проф. Райл помог нам рассмотреть проблему посредством анализа слова «применимо». Мои последние замечания можно рассматривать как дополнительную попытку подойти к решению проблемы посредством анализа слова «реальность» (а также различия между логическим и дескриптивным использованиями символов). Я убежден в том, что всегда, когда мы сомневаемся, относятся ли наши утверждения к реальному миру, мы должны спросить себя, готовы ли мы признать их эмпирическую опровержимость. Если мы решили защищать (355:) наши утверждения, несмотря на опровержения (доставляемые кроликами, каплями или скоростями), то мы не говорим о реальности. Мы говорим о реальности только в том случае, когда готовы признать опровержения. Пользуясь словами проф. Райла, мы могли бы сказать: только в том случае, когда мы знаем, как учесть опровержение, мы знаем, как говорить о реальности. Если мы хотим выразить эту готовность или «знание как», то опять-таки должны сделать это с помощью некоторого правила образа действий. Ясно, что помочь здесь может только правило деятельности, ибо говорить о реальности есть деятельность⁶.

9. IX

В таком виде вопрос представляется не слишком серьезным, однако не стоит отбрасывать его слишком быстро. На самом деле, как мне представляется, все мы близко знакомы с миром, который нельзя описать в нашем языке, ибо наш язык предназначен главным образом для описания нашего физического окружения, т.е. физических тел средних размеров, движущихся с невысокой скоростью. Я имею в виду, конечно, мир «нашего сознания» — тот самый мир, который психологи (356:) (за исключением бихевиористов) безуспешно пытаются описывать с помощью метафор, заимствованных из языка физики, биологии или социальных наук.

10. Примечания автора

358

10. 
    
    жүктеу/скачать 6,99 Mb.
    
    Достарыңызбен бөлісу: