Сабақ Тақырыбы : Алғашқы функция және интеграл Пән мұғалімі: Құдайбергенова Р. Б шетпе 2013ж Тақырыбы : Алғашқы функция және интеграл

Координатаны дифференциалдау арқылы s (t)=v (t) жылдамдықты табамыз. Екінші рет дифференциалдасақ, үдеу табылады. v(t)= a (t)

Алайда механикада нүктенің үдеуі a (t) белгілі, жылдамдықтың өзгеру v(t) заңын және сондай-ақ s(t) координатасын табу керек болады. Мұндай есептерді шығару үшін дифференциалдау амалына кері интегралдау амалын қолданамыз.

Интегралдау есебі дегеніміз – берілген функция үшін оның барлық алғашқы функцияларын табу. Қисық сызықты трапецияның ауданын Ньютон – Лейбниц формуласы арқылы табамыз.

• 
  Теориялық материалдарды нақты есептер шығарту
  

• 
  Оқушыларды алғашқы функция, интегралға арналған есептерді шешу дағдыларына жетілдіру
  

• 
  Оқушыларды ұйымшылдыққа, ұқыптылыққа, дәлдікке тәрбиелеу
  
• 
  Оқушыларды өздігінше жұмыс істеуге дағдыландыру
  

• 
  Оқушылардың ойын жеткізе білуін және ой-өрісін дамыту
  

• 
  алғашқы функция ұғымын
  
• 
  берілген функция үшін оның барлық алғашқы функцияларын табуды
  
• 
  анықталмаған интеграл анықтамасын
  
• 
  интегралдау есебі дегеніміз не екенін
  
• 
  анықталған интегралды есептеу жолдарын
  
• 
  Ньютон – Лейбниц формуласын
  
• 
  анықталған және анықталмаған интеграл қасиеттерін
  

Пысықтау сабағы

1. 
   Фронтальді сұрау
   
2. 
   Әңгімелесу әдісі
   
3. 
   Бақылау әдісі
   
4. 
   Іздену жұмысы
   
5. 
   Тесттерді қолдану әдісі
   

1. 
   Ұйымдастыру кезеңі 2–3 минут
   

2. 
   Оқытушының кіріспе сөзі 2–3 минут
   
3. 
   Оқытушы бүгінгі өтілетін тақырыпты айтып, тақырыптың маңыздылығын түсіндіреді. Үй тапсырмасына берілген есептерді тексеріп, қиындық туғызған есептерді талқылайды.
   

Оқытушы үй тапсырмасына тоқталып, студенттерді отырған қатарлары бойынша үш топқа бөледі.

Әр оқушының жинаған ұпайы бағалау парағына жазылып отырады.

Бүгінгі күн сайыста,

Сен ешкімнен қалыспа

Біліміңді көрсетер,

Сұрақтарға жауап бер –

деген сыртында алатын ұпайы жазылған ұяшық сұрақтарына әр топтан оқушылар жауап береді. Жауап бере алмай қалған оқушы үшін ұпай жойылып, сол топтағы басқа оқушы жауап береді, ол да жауап бере алмаса, қарсыластары жауап берулеріне болады. Бұл кезде, ұпай солардың есебіне кетеді.

1. 
   Алғашқы функция ұғымы. (4 ұпай)
   

F' (x)= ( х³ / 3 )' = 1 / 3 (х³) ' =1 / 3 ∙ 3х² = x² =  (х).

егер у = x², онда у' = 2x

егер у = x² +84, онда у'=2x

егер у = x²-15, онда у'=2x

 + g үшін алғашқы функция F + G болады .

Шынында да, F =  және G = g болатындықтан, қосындының туындысын есептеу ережесі бойынша:

(F + G) = F + G =  + g

Шынында да, тұрақты көбейткішті туынды таңбасының алдына шығаруға болады, сондықтан

(kF) = kF = k
3 – ереже. Егер F(x) функциясы  (x) үшін алғашқы функция, ал k мен b – тұрақты шамалар болып , k  0 болса , онда  (kx + b) функциясы үшін алғашқы функция

1

── F (kx + b) болады.

Шынында да, күрделі функцияның туындысын есептеу ережесі бойынша

── (F (kx + b))  = ── F (kx + b)(kx+b) =  (kx + b)

F' (x)=0 болса, онда F функциясы осы аралықта тұрақты шама болады.

Анықтамаға сәйкес: ¦(х)dx=F(x)+C

Мұндағы:  - интеграл таңбасы

¦(х) – интеграл астындағы функция

¦(х) dx – интеграл астындағы өрнек

х- интегралдау айнымалысы

C- кез-келген тұрақты шама
6. Интегралдау ережелері (4 ұпай )

Алғашқы функцияны табудың ережелерін анықталмаған интеграл белгісінің көмегі арқылы жазған ыңғайлы.

1. 
   ∫ [¦ (x) g (x)]dx =∫ ¦(x)dx ∫ g (x)dx
   

1

3. ∫ ¦ (kx+b)dx =  F (kx+b)+C, k0

7. 
   Анықталмаған интеграл қасиеттері (5 ұпай)
   

 ( ∫ ¦ (x)∙dx) = ¦(x)

 ∫ ¦ (x)∙dx = ¦ (x)+C

8. Анықталған интеграл қасиеттері: (5 ұпай)

a

 ∫ ¦ (x)∙dx = 0

 ∫ ¦ (x)∙dx = - ∫ ¦ (x)∙dx

a b
b c b

 ò¦(x) dx =∫ ¦(x)∙dx +∫ ¦ (x)∙dx

a a c
b b b

 ∫ [ ¦ (x) g (x) ]∙dx =∫ ¦(x)∙dx ∫ g (x)∙dx

a a a

b b

 ∫ k∙¦ (x)∙dx = k∙∫ ¦ (x)∙dx, k- const

a a
9. Анықталған интеграл мен алғашқы функцияның арасындағы байланыс (Ньютон-Лейбниц формуласы) ( 4 ұпай)
b b

ò ¦(x) dx= F (x) = F (b) - F (a) (1)

a a

(1) формула Ньютон – Лейбниц формуласы деп аталады.

Бұл формула a;b кесіндісінде үзіліссіз кез-келген ¦ функциясы үшін тура.
3.2 Сайыстың II бөлімі «Тапқырлық» сайысы деп аталады.
Лайықтап жазылған ұпайлары,

Интегралға есеп бар мұнда тағы

Алғашқы функциясын табарсың қателеспей,

Жетерлік болса егер білім жағы –

деп мұнда сыртына ұпайы жазылған есептер шығарылады. Есептер кеспе қағаздар арқылы таратылады.
F(х) функциясының f(х) функциясы үшін көрсетілген аралықта алғашқы функция болатынын дәлелде:
1. F(х)=sin²x, f(x)= sin2x , xR (3 ұпай)

Шешуі: F(х)=(sin²x)= 2 sinx (sinx)= 2 sinx cosx= sin2x

1

2. F(х)=  cos 2x, f(x)= sin2x, xR (3 ұпай)

Шешуі: F(х)=(  cos 2x)=  (- sin2x)(2x)= - sin2x

2 2
3. F(х)= sin 3x, f(x)=3 cos 3x, xR (3 ұпай)
Шешуі: F(х)= (sin 3x)= cos 3x (3x)= 3 cos 3x

Анықталмаған интегралды табыңыз:

4. ò3х dx = 3òх dx=3  + C (4 ұпай)

2

x³

3

6. òdx / x⁴ = ò x ^-4 dx=  + C=  + C= -  + C (4 ұпай)

-4+1 -3 3х³

Ал басқа оқушылар үшін интерактивті тақтаға жазылған есептерді шешу ұсынылады. Әрбір есеп 5 ұпайға саналады.

∫ (x+2)∙dx =(  +2x)= (  +22)-[  + 2 (-1)]= 

-1 2 -1 2 2 2
2. у= 4x-x², x=-2, x=2 және х осімен шектелген фигураның ауданы неге тең?

0 2 x^{3 0} x^{3 2} (-2)³

∫ (4x-x²)∙dx+∫(4x-x²)∙dx = -(2x²-  )+ - (2 x² -  )=[0-(2(-2)² -  ) ] +

-2 0 3 -2 3 0 3

+ [22²-2³/ 3)-0]=8+8 / 3+ 8+ 8 / 3=16
3. y = ln x, y=1, y=3 және y осімен шектелген фигураның ауданы неге тең?
y=ln x x=e<sup>y

3 3</sup>

∫ e^ydy =( e^y) = e³ - e

Әр топтың ұпайлары анықталады. Орнында отырып шығарған есептер тексеріліп, ұпай беріледі.

Оны да бағалау парағына жазып қояды.

3. 
   Сайыстың III бөлімі Кім жылдам?  деп аталады. Мұнда тест бойынша студенттердің білім деңгейі тексеріледі.
   

IХ. Әдебиеттер :

А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын

1. «Шың» Математика -2 , Исмаил Акйол 2006 жыл Алматы.

2. Алгебра және анализ бастамалары «Әдістемелік нұсқау»

11 сынып 2006 жыл А. Е. Әбілқасымова, М. И. Есенова,

З. А. Жұмағұлова.

3. «Алгебра и начала анализа» под редакцией

Г. Н. Яковлева 1987г Москва «Наука».

4. Математикалық талдау III-бөлім Т. Ахметқалиев 1997

Алматы.

математика пәнінен 5-сынып оқушыларымен өткізілген cайыс