Сабақтың тақырыбы: Алғашқы функция және анықталмаған интеграл

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ ТҮРКІСТАН ОБЛЫСЫНЫҢ АДАМИ ӘЛЕУЕТТІ ДАМЫТУ БАСҚАРМАСЫ АНВАР ИСМАИЛОВ АТЫНДАҒЫ КӘСІПТІК КОЛЛЕДЖІ «Жалпы кәсіптік және экономикалық пәндер пән бірлестігі» математика пән оқытушысы. ТУЛАМАТОВА САРВИНОЗ ФУРКАТОВНА Барлық мамандық студенттері үшін

Сабақтың тақырыбы: Алғашқы функция және анықталмаған интеграл

Бұл тақырыпта сендер интеграл ұғымен танысып, соңында:

• алғашқы функция және анықталмаған интегралдың анықтамаларын білесіңдер;
• анықталмаған интегралдың қасиеттерін білесіңдер және қолданасыңдар;
• анықталмаған интегралдардың негізгі формулаларын білесіңдер және оларды функцияның интегралын табуда қолданасыңдар.

Қазақта жақсы іс жасаған немесе нашар ісімен көзге түскен баланы: «Бұл кімнің баласы өзі?» деп сұрау арқылы адамның тектілігін әкесіне қарап-ақ анықтайтын, баға беретін кездер көп болады емес пе, балалар?

• Сол сияқты, математикада да кейбір құбылыстардың функцияларына қарап тұрып, ойланып, «Бұл функция өзі қайдан туындады екен ?» деп сұрақ қоятын кездер болады әр түрлі зерттеулерде.

Мысалы, функциясы алғашында қандай болды? Бұл сұраққа жауап беру үшін, біз x-тің қандай дәрежесінің туындысы 1-ші дәрежелі болатын еді деген сұраққа жауап беруіміз керек. Себебі, функциясындағы айнымалының дәрежесі 1-ге тең. 10-сыныптағы «Туынды» тақырыбын еске түсірсек, ()=2х, демек, бұл функцияның алғашқы, туынды алынбай тұрғандағы дәреже көрсеткіші 2-ге тең болған. Ал берілген, функциясы шығуы үшін, 2х-ті 4-ке көбейту керек.

• Демек , функциясы алғашында
• (туынды алынбай тұрған кезде)
• 4 түрінде болған деп қорытынды жасаймыз.

Анықтама. I аралығындағы кез келген х үшін F ′(x) = f(x) теңдігі орындалса, онда I аралығында y = F(x) функциясы y = f(x) функциясының алғашқы функциясы деп аталады.

• Яғни, қандай да бір F(x) функциясының туындысы f(x)-ке тең болса, онда берілген f(x)функциясы үшін F(x) функциясы алғашқы функция болып табылады.

1-мысал:

• функциясы үшін F (x) =

функциясы алғашқы функция болатынын тексерейік.

Ол үшін анықтаманы қолданамыз,

F ′(x) = f(x).

F ′(x) = () ′ 8

Жауабы: иә, болады.

Теорема. Егер қайсыбір I аралығында y = F(x) функциясы y = f(x) функциясының алғашқы функциясы болса, онда кез келген С тұрақты шамасы үшін F(x) + C функциясы да y = f(x)-тің алғашқы функциясы болады және y = f(x) функциясының I аралығында өзге түрдегі алғашқы функциясы болмайды.

• Алғашқы функцияның негізгі қасиеті: Сонымен, y = F(x) функциясы y = f(x) функциясының қандай да бір алғашқы функциясы болса, y = f(x) функциясының өзге алғашқы функциялары y = F(x) + C түрінде жазылады, мұндағы С — кез келген тұрақты сан.

2-мысал

• Жоғарыда айтқандай, кез-келген функцияның алғашқы функциялары шексіз көп, және олар бір-бірінен тек тұрақты арқылы ғана ажыратылады.
• Осы қасиетті пайдалана отырып, жоғарыда қарастырған f(x) =2х функциясының барлық алғашқы функцияларының жиынтығын
• F(x) = +С түрінде жазамыз.

Анықталмаған интеграл

• Анықтама. Кез келген x ∈ І үшін y = f(x) функциясының барлық алғашқы функциялар жиынтығын осы функцияның анықталмаған интегралы деп атайды және оны арқылы белгілейді.
• Мысалы, f(x) =2х функциясының барлық алғашқы функцияларының жиынтығын F(x) = +С деп жазудың орнына, біз интеграл таңбасын қолданып
• =+С деп жазамыз.

Тарихқа шолу ∫ таңбасы математикада интегралды белгілеу үшін қолданылады. Оны алғаш рет XVII ғасырдың соңында дифференциалдың, интегралдық есептеулердің негізін салушылардың бірі, неміс математигі Лейбниц қолданды. ∫ символы S әрпінен шыққан. Ол латын тіліндегі қосынды сөзінің бас әрпінен алынған.

Есептер қарастырайық! Дәрежелік функцияның алғашқы функциясы мына формула түрінде берілген кестеде: + c, Осы формула арқылы дәреже көрсеткіші –1-ден өзге кез кел-ген дәрежелік функцияның интегралын табуға болады:y = xr (r ∈ R, r ≠ – 1) түріндегі функцияны интегралдау үшін оның дәреже көрсеткішін 1 санына арттырып, сол алынған дәреже көрсеткішіне тең санға бөліп, шыққан нәтижеге тұрақты шама ны қосса жеткілікті.

Анықталмаған интегралдың 1-ші және 2-ші қасиеті

3-мысал:

f(x) функциясының алғашқы функциясын табайық:

1 және 2-қасиетті, алғашқы функциялар кестесін пайдаланамыз. Мұндағы, «5» және «4» сандары тұрақты көбейткіштер, сондықтан 1-қасиет бойынша бұл тұрақтылар сол күйінше қалады, ал х айнымалысының алғашқысын табу үшін кестені қолданамыз.

F(x) = cosx cosx +C cosx +C .

Немесе, анықталмаған интеграл таңбасын пайдаланып жазсақ,

cosx cosx +C cosx +C

Жауабы:+ cosx +C

Сабақ аяқталды!!!