Сабақтың тақырыбы: Жиын. Жиындарға амалдар қолдану Сабақтың масаты

1. 
   Білімділік: Оқушыларға функцияның максимум және минимум нүктелері табу жолдарын түсіндіру.
   
2. 
   Дамытушылық: Оқушылардың логикалық ойлау қабілетін арттыру, шапшаң, тез есептеуге үйрету;
   
3. 
   Тәрбиелік: Жауапкершілік, табандылық, тәртіптілік және тағы басқа тұлғалық қасиеттерін пайдалана отырып, пәнге деген қызығушылығын ояту
   

Сәлемдесу, түгелдеу;

Сабаққа дайындығын тексеру;

ІІ. Үй тапсырмасын тексеру.

ІІІ. Жаңа сабақ:

Аңықтама.

Егер y=f(x) функциясы x0 нүктенің белгілі бір δ аймағында: x0- δ < x < x0 + δ аңықталса әрі осы аймақта f(x) > f(x0) (f(x) < f(x0))болса онда бұл нүкте y=(x) функциясының минимум (максимум) нүктесі деп аталады.

Функцияның максимум және минимум нүктелерің функцияның экстремум нүктелері деп атайды.

a). y=sinx функциясы x1= -900 нүктеде минимумға ие, ал x2= 900 нүктеде максимумға ие.

b). y= |1-x2| функциясы x1= 0 нүктеде максимумға ие, ал минимум нүктелері екеу x2= -1, x3= 1.

Теорема.

Егер (a; b) сегментінде дифференцияланданатың y=f(x) функциясы x0∈ (a; b) нүктеде экстермумға ие болса, онда бұл нүктеде оның туындысы нөлге тең: f ′(x0)=0.

Мысал.

Сонымен y=x2+2x+1 функциясының экстремумы бар болса, онда ол (экстремум) x=-1 нүктесінде болуы тиіс.

Бірақ біз осы нүктеде экстремум бар ма жоқ па бұны әлі білмейміз, өйткені жоғарыдағы теоремада тек “ие болса” ғана делінген. Бұны мына теорема аңықтайды:

Теорема.

y=f(x) функцисы (a; b) сегментінде  үзіліссіз әрі дифференциалдансын.

f ′(x0)=0 болсын:

a). Егер xx0 нүктелерінде f ′(x) теріс болса онда x0 нүктеде y=f(x) функциясы максимумға ие.

b). Егер x0 >x нүктелерінде  f ′(x) теріс ал x0

Осы теоремаға сәйкес y=x2+2x+1 функциясының  y ′(x)= 2x+2 туындысы xнүктелерінде теріс ал x>-1 нүктелерінде оң болатындықтан y=x2+2x+1 функциясы x0=-1 нүктесінде минимумға ие.

Жаттығулар.

Мына функциялардың экстермумдарын аңықтаныз:

a). y= 3x2 -2x+1                                                                      b). y= x·lnx
Функцияның максимум және минимум нүктелерін табыңдар:

ә) f(x)=16x³-15х²-18х+6

f’(x)=(16x³-15х²-18х+6)’=48x²-30x-18
IV. Есептер шығару.

V. Үйге тапсырма.

VІ. Қорытынды.

Күні: 20.01.2015

Сыныбы: 9

Сабақтың тақырыбы: Берілген аралықтағы функцияның ең кіші және ең үлкен мәні

Сабақтың мақсаты:

1. 
   Білімділік: Оқушыларға берілген аралықтағы функцияның ең кіші және ең үлкен мәндерін табу жолдарын түсіндіру.
   
2. 
   Дамытушылық: Оқушылардың логикалық ойлау қабілетін арттыру, шапшаң, тез есептеуге үйрету;
   
3. 
   Тәрбиелік: Жауапкершілік, табандылық, тәртіптілік және тағы басқа тұлғалық қасиеттерін пайдалана отырып, пәнге деген қызығушылығын ояту
   

Сәлемдесу, түгелдеу;

Сабаққа дайындығын тексеру;

ІІ. Үй тапсырмасын тексеру.

ІІІ. Жаңа сабақ:

Аңықтама.

Егер y=f(x) функциясы x0 нүктенің белгілі бір δ аймағында: x0- δ < x < x0 + δ аңықталса әрі осы аймақта f(x) > f(x0) (f(x) < f(x0))болса онда бұл нүкте y=(x) функциясының минимум (максимум) нүктесі деп аталады.

Функцияның максимум және минимум нүктелерің функцияның экстремум нүктелері деп атайды.

a). y=sinx функциясы x1= -900 нүктеде минимумға ие, ал x2= 900 нүктеде максимумға ие.

b). y= |1-x2| функциясы x1= 0 нүктеде максимумға ие, ал минимум нүктелері екеу x2= -1, x3= 1.

Теорема.

Егер (a; b) сегментінде дифференцияланданатың y=f(x) функциясы x0∈ (a; b) нүктеде экстермумға ие болса, онда бұл нүктеде оның туындысы нөлге тең: f ′(x0)=0.

Мысал.

Сонымен y=x2+2x+1 функциясының экстремумы бар болса, онда ол (экстремум) x=-1 нүктесінде болуы тиіс.

Бірақ біз осы нүктеде экстремум бар ма жоқ па бұны әлі білмейміз, өйткені жоғарыдағы теоремада тек “ие болса” ғана делінген. Бұны мына теорема аңықтайды:

Теорема.

y=f(x) функцисы (a; b) сегментінде  үзіліссіз әрі дифференциалдансын.

f ′(x0)=0 болсын:

a). Егер xx0 нүктелерінде f ′(x) теріс болса онда x0 нүктеде y=f(x) функциясы максимумға ие.

b). Егер x0 >x нүктелерінде  f ′(x) теріс ал x0

Осы теоремаға сәйкес y=x2+2x+1 функциясының  y ′(x)= 2x+2 туындысы xнүктелерінде теріс ал x>-1 нүктелерінде оң болатындықтан y=x2+2x+1 функциясы x0=-1 нүктесінде минимумға ие.

Жаттығулар.

Мына функциялардың экстермумдарын аңықтаныз:

a). y= 3x2 -2x+1                                                                      b). y= x·lnx
Функцияның максимум және минимум нүктелерін табыңдар:

ә) f(x)=16x³-15х²-18х+6

f’(x)=(16x³-15х²-18х+6)’=48x²-30x-18
IV. Есептер шығару.

V. Үйге тапсырма.

VІ. Қорытынды.

Күні: 3-10.02.2015

Сыныбы: 9

Сабақтың тақырыбы: Кері функцияның графигі

Сабақтың мақсаты:

1. 
   Білімділік: Оқушыларға кері функция ұғымы мен оның графигін салу жолдарын түсіндіру.
   
2. 
   Дамытушылық: Оқушылардың логикалық ойлау қабілетін арттыру, шапшаң, тез есептеуге үйрету;
   
3. 
   Тәрбиелік: Жауапкершілік, табандылық, тәртіптілік және тағы басқа тұлғалық қасиеттерін пайдалана отырып, пәнге деген қызығушылығын ояту
   

Сәлемдесу, түгелдеу;

Сабаққа дайындығын тексеру;

ІІ. Үй тапсырмасын тексеру.

ІІІ. Жаңа сабақ:

Функция – математикалық және жалпығылыми ұғымдардың негізгі бөлігі болып табылады. Шын әлемді танып білуде функция маңызды рөлге ие болды және қазіргі уақытта да ие.

Бұл формула айнымалы y-тың айнымалы x-ке тәуелділігінің, яғни айнымалы y-тің айнымалы x-ке кері пропорционал екендігін анықтап береді, мұндағы k – пропорционалдық коэффициент.

3. Егер k>0 болса, x>0 болғанда, онда y>0,

x<0 болғанда, онда y<0.

Егер k<0 болса, x>0 болғанда, онда y<0,

1. 
   Білімділік: Оқушыларға берілген есептегі ең үлкен және кіші мәнді табуға квадраттық функцияның қасиетін қолдануды түсіндіру.
   
2. 
   Дамытушылық: Оқушылардың логикалық ойлау қабілетін арттыру, шапшаң, тез есептеуге үйрету;
   
3. 
   Тәрбиелік: Жауапкершілік, табандылық, тәртіптілік және тағы басқа тұлғалық қасиеттерін пайдалана отырып, пәнге деген қызығушылығын ояту
   

Сәлемдесу, түгелдеу;

Сабаққа дайындығын тексеру;

ІІ. Үй тапсырмасын тексеру.

ІІІ. Жаңа сабақ:

Функцияның берілген кесіндідегі ең үлкен, ең кіші мәндерін табу есебі жиі кездеседі. Функцияның осындай мәндерін туындының көмегімен табу жолдарын қарастырайық.

1. ƒ’ (x)       туындысын табу

2. ƒ’(x) =0  теңдеуін шешіп, сындық нүктелерін анықтау.

3. Осы кесіндіге тиісті сындық нүктелерін анықтау.

4. Кесіндінің шеткі нүктелеріндегі және осы аралыққа тиісті сындық нүктелеріндегі функцияның мәнін есептеу.

5. Функцияның табылған мәндерін салыстыра отырып, ең үлкен, ең кіші мәндерін анықтаймыз.

ƒ’(x) =6х² -2х

ƒ’(x) =0       6х² -2х=0         2х (3х – 1) =0x ₁=0                 x₂ = 1/3

0 є [-1;1]  ;       1/3 є [-1;1]

х=0;  1/3;  -1;  1.ƒ(0) = 0f(-1)=2(-1)³-(-1)²=-3

 ƒ(-1) = -3;     ƒ(0) = 0         f(1/3)= 1/27 ƒ(1) = 1

Ең кіші мәні   - ƒ(-1) = -3; Ең үлкен мәні-  ƒ(1) = 1 Жауабы: 1; -3
М-2;       ƒ(х) = х³+3/х                      х є [1/2; 2]

ƒ’(x) =3х² – 3/х²

3х² – 3/х²= 0

 х²-1=0         x₁ = -1         x₂ = 1

х₁=-1     сондықтан  х= 1; ½; 2  нүктесіндегі мәндерін анықтаймыз.

ең кіші мәні     ƒ(1) = 4 , ең үлкен мәні   f(2)=9,5

Қиылып алынған квадраттың қабырғасының ұзындығы –х

Жәшік табанының қабырғасы – (а-2х)
V(x)= (a-2x)² x = a²x – 4ax²+4x³          x є [0; a/2]

V` (x)= (a<sup>2</sup>x – 4ax<sup>2</sup>+4x<sup>2</sup>)` = a²-8ax+12x²

Жауабы: а/6