«Сандық әдістер» пәнінің оқу-әдістемелік кешені
жүктеу/скачать 1,3 Mb.
|
1. Эйлер әдісі Айталық,  функциясы  облысында үзіліссіз және Липшитц шарттарын қанағаттандырсын, яғни
 (1.1)
теңсіздігі орындалсын, онда  жоғарыдан шектелген, яғни  , және
  (1.2)
 (1.3)
есебінің бір ғана шешуі бар. Енді осы шешуді табу үшін (7)- ші интегралға тік төртбұрыш әдісін қолдану арқылы (6) теңдіктен,  торында мына теңдікті аламыз:
 (1.4)
Осыдан  кезде 0(һ) нөлге ұмтылыды деп шешсек, онда 
деп белгілеу арқылы  , (1.5)
теңдіктерін аламыз. теңдігін, әдетте, Эйлер әдісі деп атайды. Енді кезде осы әдіс бойынша табылған  тізбегі (1.2)-(1.3) есебінің шешуіне жинақталатынын, яғни
болатынын қарастырайық. Ол үшін  функциясын  нүктесінің кіші аймағында Тэйлор қатарына жіктейміз:
 Содан кейін осы теңдікті пайдаланып  мәнін есептейміз:
 (1.6)
Мұнда (1.2) теңдеуіне сәйкес  болатыны есекерілген. Енді (1.6) өрнегінен (1.5) өрнегін шегерсек, онда
Осыдан  белгілеуін еңгізіп,  әдіс қаталігінің абсолют мәнін бағаласақ:
Соңғы теңсіздікке  - Липшитц шартын пайдаланып:
 (1.7)
теңсіздігін аламыз, мұндағы 
Енді (1.7) теңсіздігін k-ның k=0, 1, ... мәндері үшін ашып жазсақ: 
Эйлер әдісі үшін  болғандықтан
Ал кезде  болатындықтан
Демек, Эйлер әдісі кезінде (1.2) - (1.3) есебінің дәл шешуіне жинақталады және оның жинақталу реті 1-ге тең.
жүктеу/скачать 1,3 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|