Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f



Pdf көрінісі
бет130/146
Дата06.02.2022
өлшемі9,73 Mb.
#80743
түріСборник задач
1   ...   126   127   128   129   130   131   132   133   ...   146
Байланысты:
Berman Sbornik


6
(1

 -|- 
(jx 2 - ~ + 
g
J
 ;
4 ( » • + * ) ( , - ' + 3 ) 1;
11) ■
5
(л/+-
2
л(
1
^
1
Н 1.+ л' ' )> ; 
12) 24 (л
- 2
+ Л-+ 1) (2л
- 3
+ Ял
-3
-I- 
6
л + I)3.
4S9. 
ls.+.2Hs + 4) >
50а (3 -
1) tJ

501 
------ 1 ~
(s + S)~ 
(
1 —
0
2
|Лү 
( 1
-\-У 
2
л) *
5 0 2 . ----т -— 4— , ___ 
503. 
— х -- , 
504. 
_ l 0 - 2 / * ) *

4л2( 1 -f f 2л) 
у  1 - Л- 
У х
505. 
т '°П\]п н-. 506. — -4 (2Л' ~ Ч -. 507. 
*
508.------ -2л-----
( 1
- v)m+t 
(л- - л + \)J 
у (и* _ х у  
з у (1_|_АГ2>4 •
5П9. -- 2>yJ +
‘}Л'7
 
51П.----- — 511. -Л' (Л‘ +-.2.д~1 512. —
К 
( 1
— л
4
— As)a 
2
К ( I — л
* ) 8
У (л- +
«- |/ a--fus
513.----
2
----514. а'(1) = 9.
3 |У (
2
л — I 
) 4
 
2
/ ( л - +
2 ) 7
r tr 
, .л, __ 

п о гі г і
7
• 
fio 1 “ COS Л — Л SI П Л
515. v (2) = — Lrr~ . 516. 0. 517. 
cosa
 — sm 
л

518. ---- ;------- ^
.

(1 — COS A'J
cm 
Л — Sitl Л • COS Л 
rr._ 
ro. 

. /1 
1 \
519. 
---- п-- г---- . 5Л). с cos о. 521. (a cos a — sin a) 
----r-^—
a-cos-a 
‘ 
a- 
sm -a]
5 2 2

g
9 3
sin A -f COS Л -j- A- (sin A — COS A)
1
-f- cos 
~ 
1
-j-sin 
2
a
524. 
( 1+ ІЯ A~)
x+ x
 cos 
x) -
 £
sil1
 £ scc" *
525. _ 5іп 2v
(l + tgA)s
526. tg* л see
3
л. 527. 
— sill
'1
л. 528. 
sin 2л (2 — sin л). 529. lg
1
A.
530. 2л - ^ Д - . 531. 
— --6:-
CO
s
2a- . 
532. 3
cos
3
a
. 533. — -J sin
COS ’ A 
Sill” 2
a
 

3
534. 9 cos (Зл -f- 5). 535. -----
1
 

536.
ОТВЕТЫ к ГЛАВЕ III 
3 0 5
-V 
~t~ 

У 
-{- 

t !_>
A • COS
2
 X
1
2
 cos
2
cos
5 3 7 . ---- 538. 
cos (sin л') • cos л. 
539. 
— 
12 cos3 4л sin 4л.
л-
X COS У 
A"
540. --- - 



-------- . 
511. 
r______ 
.
i j Г  . А
о А 
У 1 -f- A*

у
t g ^ - c o s - -2-
5 4 2 . -------------
2л' 

543. 4 ( 1 +
sin2 
лг)
1 sin 
2.t.

Sin2 
у/ 1 H- A
2
• У (1 +
X s
)~
.
/о I -
V х
sin z -------
J —
r .. 
A -
1
. . .

1
+ У х
544. -------- :--- г-:............ — 


545. 
1
2 л - c
o
s
-
+ , R( , + ' ) '

V * W
* r


306
ОТВЕТЫ к ГЛАВЕ I I I
549.
552.
554.
557.
560.
562.
565.
5CS.
569.
570.
573.
577.
579.
582.
585.
589.
592.
594.
595.
546.
— 3 sin 3.v tin {2 cos Зл:). 
548. 
arcsin 
x
- f
Y ~
x-
550. 
2 arCS'n 
*
. 551. arcsin 
л:.
2 (arccos 
x)- Y \ - x * '
V \ -

, , ,



x
 sin 
X
............................................ .. 553. sm 
x
 • arctg 
x
4 - 
x cos x
 • arctg 
x
 
4- -r—
^.
(arcsin 
x)-y 
\ - xa
 

,+ • * *
+ *'* rccos -Y 
555_ 
« g _ i + j 5 _
556_ 
0

’ 
2 Y x
 
1 -K v 2
2-va 
rc„ 
Y\ —
 .v- 4 - 
x
 arcsin 
x 
. 559. 

1
Y
(1 -
x*)»
561.
(
1
 
4
-
x")
(arctg 
x)'~
 

у 2x - xi
V
2
 
‘2
 к 
2

x
 I 
Vx-
- 4 *
567.
i cos 
X V
 
1 4~ 
х' 
Y
1 — 
Xs
 • 
Y

— (arccos 
x)*
(I4--V) 
V
2.v( 1 — 
x ) '
x
 
4-1

"\f
 (arcsin 
Yx-
-(- 
2xУ Y (
 1 — 
2x — x~)
 (л'" 4 - 2л-)
571. 
Ү ? - * ..
 
572. „
'
1 — cos 
a
 cos 

' a
 4 -ic o s .i:' 
2
(
14
- л'£) *
2x
 log, 
x
 +

574. 

575. -
-. 
576. ------
In 3 
x
 
In 10 
2х У Ш
x
 
In 
x
 — 
x
 
-f-1
Л' In 2 X
In 2. 
578. sin 
x
In 
x
 4~ 
x
 cos 
x
 ln 
x
 -f- sin 
x
.

580. ------581.
In- 
Д-П
+1
• 

л: (1 4- In лг)* *
1 +
х' ~
2x‘ ,П 'ү 
583. 
xn~' 
(n
 
In 
ЛГ +
1). 
584. 
ln v
л- (1 4 - 
x*)~
 
‘ 
x ү
 j 
4
_ |n-- 
x
*

2 v — 4 
9x
- J- — .
 
586. — ---- j l .
587. ctg.v. 
588. 
.. 
.

— 
2x 
Xя — 4л' 
ь 
(л'- 
— 
1) 
In 
3
5 9 0 . ------------------2 
591. 4 In3 sin .v • ctg 
x.
s'n 2л* 
arccos 
2x Y
1 — 4.va
a
(ax
 4~ 
b)
 [ 1 4 - ln* 
(ax
 4- 
b)]'
____________ 1
___________
x
 log5 
x
 log3 (logb 
лг) 
In 2 In 3 In 5 '
593. 
n
 (1 4~ In sin 
x)n
1 clg 
x
,
x
 
___
ggg 
6л'3 arcsin [In (a3 4~ -^3)]
arctg 
У 1 4- л'“’ (2 + x'2) V I 4" л'2 * 
(a'! H" л'3) V 1 — in~ («3 4-xS)


ГЛ. XVJ. ЭЛЕМ ЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
291
кающей из замкнутого контура 
L,
окружающего начало координат, 
в единицу времени (ноток) и количество жидкости, протекающей в еди­
ницу времени вдоль этого контура (циркуляция). Как изменится резуль­
тат, если начало координат лежит вне контура?
4455. Потенциал поля скоростей частиц текущей жидкости равен 
и
= ?,
где <р = a r c t g - . Определить поток и циркуляцию вектора вдоль замкну­
того контура 
L.
4456. Потенциал поля скоростей частиц текущей жидкости равен 
и ( х , у ) = х ( х '
— Зу2). Вычислить количество жидкости, протекающей 
за единицу времени через отрезок прямой линии, соединяющей начало 
координат с точкой (1, 1).
П о т о к и ц и р к у л я ц и я ( п р о с т р а н с т в е н н ы й с л у ч а й )
4457. Доказать, что поток радиус-вектора 
г
через любую замкнутую 
поверхность равен утроенному объему тела, ограниченного этой поиерх- 
ностыо.
4458. Вычислить поток радиус-вектора через боковую поверхность 
круглого цилиндра (радиус основания 
R,
высота 
Н),
если ось цилиндра 
проходит через начало координат.
4459. Пользуясь результатами задач 4457 и 4458, установить, чему 
равен поток радиус-вектора через оба основания цилиндра предыдущей 
задачи.
4 4 СО. Вычислить поток радиус-вектора через боковую поверхность 
круглого конуса, 
основание которого находится на плоскости 
хОу, 
а ось совпадает с осыо 
Oz.
(Высота конуса 1, радиус основания 2.)
44G1. Найти поток вектора 
А
(Р) 
= x yi -\-yzj-\-xzk
через границу 
части шара 
х
1
- |-
у*
-f- 
z~
= 1, заключенной в первом октанте.
4462*. Найти поток вектора 
A ( P ) = y z i - \ - x z j x y k
через боковую 
поверхность пирамиды с вершиной в точке 
S (
0
,
0, 2), основанием кото­
рой служит треугольник с вершинами 0 ( 0 , 0, 0), 
А (2,
0, 0) и 5 ( 0 , 1, 0).
4463. Вычислить циркуляцию радиус-вектора вдоль одного витка 
АВ 
винтовой линии 
х — a cost, y = as\ut, z = bt,
где 
А
и 
В
— точки, 
соответствующие значению параметра 0 и 2тс.
4464. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью m 
вокруг оси 
Oz.
Вычислить циркуляцию поля линейных скоростей вдоль 
окружности радиуса 
R,
центр которой лежит на оси вращения, а плос­
кость окружности перпендикулярна к оси вращения в направлении вра­
щения.
4465*. Вычислить поток вихря поля векторов 
А ( Р ) — y i -\-z j x k  
через поверхность параболоида вращения
- = 2 ( 1 — л " — У ),
отсеченную плоскостью 
z =
0.
10*


О Т В Е Т Ы
К г л а в е I
1. 
Все числа 
п
 
натуральною ряда, 
кроме 
п
= 1 и 
п 

2. Если сумма
углов 5 , а число сторон 
п,
 
то 

— т.(п—
 
2).
4. 
а) При лг 
= — 
2, 
х — \,
а ' = С функция обращается в нуль;
б) при -V < — 2, — 2 < .V < 1, л' > 6 функция положительна;
в) при 1 <
л
' < 6 функция отрицательна.


„ 
а- — 
Ь~
6
. г — 
у = у
• 
7* ^ 
tg а. 
8

b =-У'2Ъ ~ и-.
 
9. 
/ (0) = — 2;
/ (1) = — 0,5; 
/ (2) — 0; 
/ ( - 2 ) = 4; 
/ ^ _ 5; 
/
( V


Достарыңызбен бөлісу:
1   ...   126   127   128   129   130   131   132   133   ...   146




©engime.org 2024
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет