Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
§ 4. Дополнительные вопросы. Решение уравнений
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
§ 4. Дополнительные вопросы. Решение уравнений Ф о р м у л а К о ш и и п р а в и л о Л о п ит а л я соотношением, показать, что и интервале [ 1/2, 1] arctg -V — In (1 -j- лг) -J — In 2. В задачах 1324— 1364 найти пределы. 10n. У х — У а 1Г>ог .. Ill cos л* 1324. lim ~r~-— -p~. I32b. lim ----- . a*-* a V x — V a Л - - . 0 x 1 - < ?-v — 1 1 0 0 - 7 1 - e 1320. lim —----- . 1327. Inn 5 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. РЕШ ЕН И Е УРАВНЕНИЙ x -*0 SII] x x - * 0 t’”-v — cos fix 1328. lim —— aractg — . 1329. lim f * 1 x — ► о x .v--o V sin bx 1330. iimx ~ si—-. 1331. lim - x —► 0 * 2 Л‘ x ► с о ] n '+±) y i n nrn a x ___________ их 1332. Ііп Г ^ - ^ г . 1333. H m £ ^ L л- - ах — и X - 0 с и рх' — 1 ех — е~х 1334. lim -----V. 1335. Ііт-т- л. _ 0 cos.vr — 1 * v 0 sin X COS X ■ 1336. ■=- аХ~ ЬХ 1337. lim c03'v ln (x — a> с V 1 — x-' x — * ci In (ex — ea) 1338. lim 1339. lim gtgJ? — ex x -* 0 X ~ S IU X X-+0 t g X — X ,.v3 v x* x- - * ’ “ 6 2 1 e x a - ] - x * 1340. lim --------- -s------ . 1341. lim . С03л '- Ь ^ - 1 2 ln (1 -j- xY - 1342. lim ln (1 H- xY - 4x -)- 2x" — -w Xя + л-4 x _ 0 6 sin x — блг -j- Л'3 In sin 2л; ю /11 1- In x 1343. lim— :— :---. 1344. lim 5— :— . Q ln Sill JC 111 sin X in (1 - x ) 4 - tg - * 1345. lim---- . 1346. lim (xnc~x). 1347. lim [(« — 2 arctg лг) ln л']. X -*■ CO 1348. lim X —*■ CO 1350. lim 9 -*■ a * « * $ ] . 1349. lim [ ^ r r r n fx ]' (а'! - Г ) t g g ] . 1351. lim ( r—--- іпл* Іпл: 1352. lim ( ctg x ---—). 1353. lim •v - ° ‘ x ~ v COS — 111 (1 — Л") 1354. lim (a -j- x) (b -j- x) [с -|- x) — лг]. 96 ГЛ. IV. И С С Л Е Д О В А Н И Е Ф У Н К Ц И И И ИХ Г Р А Ф И К О В I 1355. lira К.М1 1356. lira .V— -О м . 1357. lim ( t g а :)2' -о 1358. lira x sinx. х -» О 1361. lira • л--о 1363. lira ( l + j p * 1359. lira x '"(cX~ {K -v -+0 1360. lim о tgjf 1362. lim [2 — ~ tgT 2a 1364. lim .V —*■ 0 ■In (1 + X ) l+x 1 X ] • 1365. Проверить, что lim — г-А-- существует, но не может быть .V - * о э х “ г s ,n х вычислен по правилу Лопнталя. 1366. Значения какой функции (при достаточно больших значе ниях х) больше: ахха или х л? 1367. Значения какой функции (при достаточно больших значе ниях х) больше: /(аг) или In /(х), при условии, что f (х) -> оо при х —у оо. 1368. Пусть х->0. Доказать, что j_ е — ( 1-j-x)*— бесконечно малая пер вого порядка относительно х. 1369. Пусть х —> ■ 0. Доказать, что In (1 -|- х) — е In In (е -(- х) — бесконеч но малая второго порядка относитель но х. 1370. К окружности радиуса г про ведена касательная в точке А (рис. 34) и на ней отложен отрезок AN, длина которого равна длине дуги AM. Прямая M N пересекает продолжение диаметра АО в точке В. Установить, что Q g ___ Г (a COS а — sin а) sin а — а ’ где а — радианная мера центрального угла, соответствующего дуге AM, и показать, что lim ОВ = 2г. а —* О А с и м п т о т и ч е с к о е и з м е н е н и е ф ун к ци й и а с и м п т о т ы л и и и й 1371. Проверить, исходя непосредственно из определения, что пря- 2 х 1 -4- лг* -4- 1 мая у = 2 х -j- 1 есть асимптота линии у — -- хя' • 1372. Проверить, исходя непосредственно из определения, что пря мая х -\-у = 0 есть асимптота линии х*у-{-хуг= 1. § 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. РЕШ ЕН И Е УРА ВН ЕН И Я 97 1373. Доказать, что лпшш y = j/rx J -|-3.г* и у = х ^ асимптот* чески приближаются друг к другу при х -> iii оо. 1374. Доказать, что функции / (х) = У х й -f- 2х* -j- 7х ‘ -f- 1 и <р (х) = х 3 -{- х асимптотически равны друг другу при х->оо. Воспользоваться этим обстоятельством и вычислить приближенно /(115) и / ( 120). Какую погрешность сделаем, положив / ( 100) = < р ( 100)? В задачах 1375 — 1391 найти асимптоты данных линий. 1375. -1 — ~ г, = 1. 1376. ху = а. а- Ь- 1377. у = 1378. j/ = c + л-" — 4д- -)- 5 ’ 1 (х — Ь)~ * 1379. 2у (х + 1 ) ’ — X s. 1380. у* = ал — х 3. 1381. / = 6х- -|- х 3. 1382. у* (х9 -f 1) — х'“ (х- — 1). 1383. ху~ -|- х-у = ал. 1384. у (х“ — 3bx -j- 2Ь-) = х л — 3ax'1 -j- а3. 1385. CH-x-f- 1)- = х--|- I. 1386. у = х In (е -j- 1387. у = хех. 1388. у = хех -[- I. 1389. у — х arcsecх. 1390. у — 2х -\- arctg 1391. y = xf ^ - , где /(х ) — многочлен (а ф 0). 1392. Линия задана параметрически уравнениями х = ср(0, У = '\>(О- Доказать, что асимптоты, не параллельные координатным осям, могут быть только при тех значениях t = t0> при которых одновременно lim с о и lim ^ ( 0 = 0 0 . t-rto При этом, если уравнение асимптоты есть у = ах-\-Ь, то а== lim T m -' Ь== ,im №(*) — a? ( 0 N t-+t0 V (L' t-+‘o Как найти асимптоты, параллельные координатным осям? 1393. Найти асимптоты линии: х = ~ , у — —£-j-. 2el te‘ 1394. Найти асимптоты линии: х — --- г , у t - \ ' г Г 1395. Найти асимптоты липни: х = ү~-^г» У = ү . 4 Г. Н. Берман 98 ГЛ. IV. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКО В 1396. Найти асимптоты декартова листа: х = ү ^ -jr* У = • 2 g д 1397. Найти асимптоты линии: х = ?5— у ■ t* - 4 ’ * t (t* — 4)' О б щ е е и с с л е д о в а н и е ф у н к ц и й и л и н и й В задачах 1398 — 1464 провести полное исследование данных функ ций и начертить их графики. \l398.)у — -г-т—г,. 1399. у = v . 1 + л- 1 — л- 1400. у = - ? - 1 . 1401. у (х — 1) ( х — 2) ( х — 3) = 1 1402. у = . 1403-Гу — (х- — 1 f. 1404. у = 3 2х2 (х2 — 1 )3. 1405. у = ~ -|- 4л*2. 1406. = 1 4 0 7 .^ = 1 ^ 1 . Л-8 1408. 1409. у = 2(д-_|_ ]}а- 1410. у ( х — 1) = х3. 1411. у(.х'л— 1) = л*4. 1412. у = у 7 !}*. 1413. _у— л'Ч-2л-- + 7х (л'+ I)3* 2v, 1414. ху = (х*— 1)(х — 2). 1415. (у — х)х*-\- 8 = 0. 1416. у = ~ . 1417. у = х*е-*. 1418. У = ~ . 1419. у = х — In (х -|- 1). 1420. у = In (х2 + 1). 1421. у = х-е~х\ .V- 1422. у = х 3е~х. 1423. у = хе 2 . 1424. у = ~ . . 1425. ^ = х + 1426. У = (\ + “ ■)*. 1427. у = х 4- sin х . 1428. у = х sin х. 1429. у = ln c o s х. 1430. у — cos л' — In cos х. 1431. у — х — 2 arc tg х. 1 1432. у = е х~ 4л'+3 (без отыскания точек перегиба). 1433. y — esinx— sin х (без отыскания точек перегиба). 1434. у = f F — х. 1435. У = х2 (х2 — 4):t. 1436. (3у -j- х) • = 27х. 1437. у = у \ х -|- I )2 — {/ 'j? = 1. 1438. у = (лг — 1)3 (х -|- If . 1439‘ у ' — — 1440. (у — x f — х 5. 1441. ( у — х ~)2 = х?. 1442. у* = х 3 -j- 1 • 1443. у- = х 3 — х. 1444. у- = х (х — 1)1 1445. у2 = х* (лг — 1 \ 1446. у 1 = . 1447. х2у -j- х / = 2. 1448. У2 = X й (строфоида) (а > 0). 1449. 9_у- = 4х3 — х*. 1450. 25у2 = х2 (4 — х2)3. 1451. У ' = х 8 — х 1. 1452. х 'У = 4 (х — 1). 1453. у 1 (2а — х) = х 3 (циссоида) (а 0). 1454. х У == (х — 1) (х — 2). 1455. х у 'г = (а -\~ х )3 (а — х) (конхоида) (а ^> 0). 1456. 1 6у2 = (х2 — 4у2 (1 — х а). 1457. у 1 = (1 — х‘2)3. 1458. у"“х г = (х2 — 1 )3. 1459. у~ = '2ехе~ік% 1460. у = е х — х. 1461. у = е1!«’х. 1462. /(х) = -^~, /С0)= I. j __ 1 1463. у = 1 — хе !-v‘l * при х Ф 0, у — 1 при х = 0. 1464. у = х 3 — 4 | х | + 3. В задачах 1465— 1469 исследовать функции, заданные параметри- чики, и начертить их графики. 1465. x = t*-\-3t + 1, у = гз _ з ; - | - 1. 1466. х = Р — Зтг, у = {л — 6 arctg t. 31 31* 1467. x — j _j_ у _ 1+£3. 1468. x = te‘, у — tc~(. 1469. x = 2a cos t — a cos 21, у = 2a sin t — a sin 21 (кардиоида). В задачах 1470 — И77 исследовать линии, уравнения которых заданы в полярных координатах (см. сноску на стр. 27). 1470. p = asin3p (трехлепестковая роза). 1471. р = a tg ср. 1472. р = а(1 -|-tg ср). 1473. р = а (1 -{-cos ср) (кардиоида). 1474. р = а (1 -\-b cos ср) (а 0, b > 1). 1475. Р = ] / ~ ~ (жезл). 1476. р = arctg ) 477. р — у' I — I — arcsin t -j- |/ 1 — t\ 4* жүктеу/скачать 9,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|