Сборник задач по курсу математического анализа ■ ' '4 f
жүктеу/скачать 9,73 Mb. Pdf көрінісі
|
Berman Sbornik
частью шара, был наибольшим? 1254. Вершина параболы лежит на окружности радиуса R, ось пара болы направлена по диаметру. Каков должен быть параметр параболы, чтобы площадь сегмента, ограниченного параболой и ее общей с окруж ностью хордой, была бы наибольшей? [Площадь симметричного парабо лического сегмента равна двум третям произведения его основания на «стрелку» (высоту).] 1255. Конус, радиус основания которого R, а высота Н, пересечен плоскостью, параллельной образующей. Каково должно быть расстояние между линией пересечения этой плоскости с плоскостью основания конуса и центром основания конуса, для того чтобы площадь сечения была наибольшей? (См. предыдущую задачу.) 1256. Для какой точки Р параболы у~ = 2рх отрезок нормали в Р, расположенный внутри кривой, имеет наименьшую длину? 1257. Показать, что касательная к эллипсу, отрезок которой между осями имеет наименьшую длину, делится в точке касания на две части, соответственно равные полуосям эллипса. 1258. Доказать, что в эллипсе расстояние от центра до любой нор мали не превосходит разности полуосей. (Удобно воспользоваться пара метрическим заданием эллипса.) <; 3. П РИ М ЕН ЕН И Е ЕТОРОП ПРОПЗВОДИОП 91 1259. В прямоугольной системе координат хОу даны точка (а, Ь) и кривая у = / (л*). Показать, что расстояние между постоянной точкой (а, Ь) и переменной (х, f ( x ) ) может достигнуть экстремума только и направлении нормали к кривой у = / ( х ) . ГІервообразноіІ от функции f ( x ) называется функция F (х), производ ная которой равна данной функции: Ғ' ( x )= f (x ). В задачах 1260— 1262 показать (при помощи дифференцирования и без него), что данные функции являются первообразными одной и той же функции. 1260. у = 1п ах и у = 1и х. 1261. у = 2 sin2 х и у — — cos2.r. 1262. у = (e~xf и у = (ех — е~х)\ 1263*. Показать, что функция у = cos2 х -f* c°s 2 ( у ~г — cos х cos (д “ Һ ■*) есть константа (т. е. не зависит от х). Найти значение этой константы. 1264. Показать, что функция у = 2 arctg х -j- arcsin . _~TV есть кои- 1 j х~ станта при х ^ \ . Найти значение этой константы. 1265. Показать, что функция a cos х -\-b с. . / -| / а — Ь , х \ у = arccos — г-7— 1 ---- 2 arctg I / -— -у- tg -г , s а - r Ь c o sх \ г а -)- Ь ь 2 / ’ где 0 < ^ Ь ^ а , есть константа при х ^ О . Найти значение этой константы. 1266. Убедиться в том, что функции е-х, ех sh -V и ех сһх отли чаются одна от другой па постоянную величину. Показать, что каждая из данных функций является первообразной для функции e2v. жүктеу/скачать 9,73 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|