12 мысал. АВС тең бүйірлі үшбұрышына центрі О болатын шеңбер іштей сызылған болсын. және болса, шеңбердің радиусын табу керек.
Шешуі: Есептің шартынан екендігі келіп шығады. Егер үшбұрыштың А бұрышын алдымен тауып алсақ, онда іштей сызылған шеңбердің радиусын оңай есептеуге болады. Үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің О центрі оның СD биіктігінің бойында жатады. арқылы белгілейік, сонда , . АОС үшбұрышынан синустар теоремасы бойынша мынаны табамыз:
.
Мына формуланы пайдалансақ , келесі теңдеуге келеміз
.
Бұл теңдеудің оң шешімі ғана есептің шартын қанағаттандырады.
үшбұрышынан іштей сызылған шеңбердің радиусын табамыз:
.
Осы теңдікке -тің мәнін апарып қойсақ, онда шешімін аламыз.
Есепті тригонометриялық функцияларды қолданбай да шешуге болады: үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің радиусын харқылы белгілейміз, сосын Пифагор теоремасын пайдаланып және үшбұрыштың биссектрисасының қасиеттерін пайдаланып квадраттық теңдеу аламыз. Бірақ мұндай теңдеудің шешімін табу күрделі есептеулерді талап етеді.
Есепті шешудің алгебралық әдісін құру кезінде кейде мұнда да белгісіз ретінде бұрышты алу керек. Ал оны табу үшін тригонометриялық теңдеу құрылады. Ізделінді бұрыштың қандай да бір тригонометриялық функциясын берілген элементтер арқылы өрнектеп, осы бұрышты құруға болады, сосын ол фигураны құруға болады.
