Секциясы: Жаратылыстану-математикалық бағыты
Тригонометриялық теңдеулерді түрлендірулер арқылы шешу
жүктеу/скачать 1,12 Mb.
|
ғылыми жұмыс Қарақат
| 2.5 Тригонометриялық теңдеулерді түрлендірулер арқылы шешу
Тригонометриялық теңдеудің сипаты оның құрамындағы тригонометриялық өрнекке байланысты. Алгебралық өрнектер сияқты тригонометриялық теңбе-теңдікті құрайтын өрнектерде түрлендіру есептер шешуде аса маңызды роль атқарады. Әсіресе теңдеулер шешуде тригонометриялық теңбе-теңдіктер алғашқы немесе негізгі ұғым болып саналады. Теңдеулер шешуге өте көп теңбе-теңдіктерден ең қажеттісін таңдап алу есептің тиімді тәсілдер көмегімен оңай шешілуіне мүмкіндік береді. Бірнеше мысалдар қарастырайық. 1-мысал. Теңдеуді шешеміз Шешуі. Теңдеуді түрінде жазалық. Қосындыға түрлендіріп, өрнегін қос бұрыштың формуласы бойынша жазамыз
Бұдан қарапайым теңдеулерге келеді. , Бұл арада
Түсіріледі салыстыра келіп. түбірлерінің жалпы түбірлер екенің байқаймыз. 2-мысал. теңдеуді көмекші бұрыш өндіру арқылы шешеміз. Шешуі. Келтіру формулысының көмегімен тендіктерін жазамыз.
Бұл арада қарапайым теңдеуін алдық.
3-мысал. теңдеуді шешеміз. Шешуі. Дәрежесін төмендету формуласының көмегімен шешеміз
теңдеуді ықшамдаған сон, қосылғыштарды бірге топтап көбейтіндіге түрлендірсек Бұл арада немесе Екінші теңдеуден Бұл теңдеулерден 4-мысал. тендеуін шешеміз. Шешуі. Бірінші және соңғы қосылғыштарды пайдаланып, толық квадрат алсақ және дәрежесін жоғарылату формуласын пайдалансақ, теңдеу түрге келеді.
– ке қатысты квадрат теңдеудің түбірлерінен теңдеуін таңдап аламыз. Бұл арадан
5-мысал. теңдеуді шешіңдер. Шешуі. Теңдеудің шешімі мәндерінде болады:
сол жағын қосындыға түрлендірсек, ұқсас мүшесін біріктіргеннен соң шығады.
өрнегінің мәні теңдеудің анықталу облысына енбейтіндіктен ; (1) түріндегі теңдеуді біртектес теңдеу деп атайды. жағдайында (1) теңдеудің екі бөлігінде өрнегіне көбейтіп, мына теңдеуді аламыз: (2) 1-мысал. 2 Шешуі. Теңдеудің екі жағын өрнегіне көбейтеміз 2 ; немесе (2tg )( )=0. Бұл арадан 1+ 2tg 1=0, tg +n 2-мысал. 3 Шешуі. Теңдеудің екі жағын бөлеміз. Сонда 3 ұнадағы (2k+1); десек, 3 +1=0 жіктесек. 3(z-1) ; (z-1)(3 ; а) tg2 =1; б) tg2 ; в) tg2 ; = + 3-мысал. Теңдеуді шешіңдер. Шешуі. Теңдеудегі қосылғыштарды тек 2х –ке тәуелді болатындай түрге келтіреміз. немесе Бір тектес теңдеудең шығады. Бұдан шығады. tg tg +2=0 tg ( Бұл арада а) б) десек, +t =0; = ; Бір белгісізге келтірілетін рационал теңдеулерді қарастырайық. Тригонометриялық теңдеуге қатысатын өрнектер бір ғана арғументке тәуелді болсын делік. Олай болса, барлық тригонометриялық функцияларды олардың біреуі арқылы өрнектеп, бір белгісізге тәуелді теңдеу алуға болады. Бұл жағдайда барлық түрлендірулерден шыққан теңдеулер бір біріне мәндес болатын дәрежесі өте жоіғары емес рационал теңдеулер болуы керек. 4-мысал. теңдеуді шешеміз Шешуі. Теңдеудің анықталу облысына мәні енбейді. Берілген теңдеу тек sin тәуелді, өйткені оны түрлендірсек, мынадай теңдеуді аламыз. Анықталу облысын ескерсек, , Теңдеуді қатысты шешсек, 1) 2) Бірінші түбір теңдеудің анықталу облысына еңбейді, ал екіншісінен табамыз. . Барлық тригонометриялық функциялар қатысатын теңдеулерді көбінесе арқылы өрнектеуге болады. Теңдеулерді бұл әдіспен шешкенде көбінесе түбірді жоғалтуымыз мүмкін. Сондықтан шешімді тексеру қажет. Бұл әдісті Эйлер әдісі не алмастыруы деп атайды. 5-мысал. теңдеуді шешеміз. Шешуі. Бұл теңдеуді көмекші бұрыш ендіру арқылы шешуге де болады. Мұнда деп алып, төмендегі формулардың көмегімен түрлендірсек , Сонда мына теңдеуді аламыз: Бұдан Енді мәні берілген теңдеуді қанағаттандыратынын тексерелік. Сонымен теңдеудің шешімі , . 6-мысал. теңдеуін шешеміз. Шешуі. Жарты бұрыштың тангенсін ендіру әдісі бойынша шешеміз. Ортақ бөлімге келтіріп түрлендіреміз. Сонда а) , 1) , , , 2) айнымалы енгіземіз , . , Сонымен, жауабы: Ал, , шешімдері теңдеуді қанағаттандырмайды. мәні теңдеудің анықталу облысына енбейді. 7-мысал. теңдеуін шешеміз. Шешуі. Бұл теңдеу және -ке қарағанда біртекті теңдеу. Теңдеудің екі жағын ( ) бөлеміз. жаңа айнымалы енгізіп, квадрат теңдеу аламыз. оның түбірлері: ; . Екі қарапайым тригонометриялық теңдеу аламыз: 1) , , . 2) , . Жауабы: , . 8-мысал. теңдеуін шешеміз. Шешуі. Бұл теңдеуді біртекті теңдеуге келтіреміз. . . 1) . , . 2) . Бірінші дәрежелі біртекті теңдеудің екі жағын cosx-ке бөлеміз. , , , . Жауабы: , , . жүктеу/скачать 1,12 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|