Секциясы: Жаратылыстану-математикалық бағыты
Тригонометрияның дербес бөлініп шығуы
жүктеу/скачать 1,12 Mb.
|
ғылыми жұмыс Қарақат
| 1.2 Тригонометрияның дербес бөлініп шығуы
Араб математиктері тригонометрия жөніндегі алғашқы қадамдарын грек, үнді математиктерінің еңбектерін меңгеруден бастаған. Математикада синус ұғымын енгізгендер – үнді оқымыстылары. Әл-Хорезми олардың зерттеулерін жалғастырып, өзінің астрономиялық тарктатында математика тарихында тұңғыш рет синустар кестесін жасады. Әл-Хорезмидің жерлесі және қызметтесі Ахмед әл-Марвази тұңғыш рет тангенс және котангенс ұғымдарын енгізген. Бұл ұғымдар жөніндегі алғашқы түсініктер дөңгелекке байланыссыз Күн сағаттарына қатысты айтылды. Мысалы, вертикал таяқшаның тұрақты биіктігін h, оның өзгермелі көлеңкесінің ұзындығын а десек, онда а-ның h-ға қатысы Күннің биіктігі -ға тәуелді өзгеріп отырады. Осы қатынас котангенс деп аталады, оның кестесі жасалады. Арабтың көрнекті астрономы Мұхаммед Әл-Баттани «Алмагесті кемелдендіру» деп аталатын еңбегінде тригонометриялық сызықтар арасындағы мынадай қатынастарды тағайындады: ; ; ; ; ; Тригонометрияның шығу тарихында Әл-Фараби еңбектері елеулі орын алады. Ол өзінің «Алмагестке түсініктеме», «Алмагестке қосымша кітап» атты трактаттарында Птоломейдің, Әл-Баттандің осы ғылымдағы жетістіктерін жаңа сапаға көтереді, тригонометриялық сызықтар туралы ілімнің негізін қалайды. Ол тұңғыш рет синус, косинус, тангенс, котангенс сызықтарын радиусы бірге тең дөңгелек ішінде анықтауды, мысалы, тангенс, котангенс сызықтарын (тура көлеңке, кері көлеңке) тік бұрышты үшбұрыш арқылы емес, шеңберге жанаманың кесінділері арқылы анықтауды ұсынады. Ол бұрыннан белгілі қатыстарға: , хорда т.б. қатыстар қосады. Әл-Фараби жазық үшбұрыш үшін синустар теоремасын дәлелдейді. Өзінің «Кемел кітап» деп аталатын астрономиялық еңбегінде Әбу-л-Вафа тригонометрияға жан-жақты түсініктеме береді. Мысалы, ол тригонметриялық кестелерін жасау мақсатында формуласын қолданады. Тригонометрияны әсіресе, астрономия мен географияға қолдануда хорезмдік ұлы энцоклопедист, ғұлама Әбу-Райхан Әл-Бирунидің еңбегі зор. Араб математиктері сфералық тригонометрия, әсіресе, сфералық үшбұрыштарды табуда грек асторномдарының дәстүрлерін дамытқаны белгілі. Олардың бұл тұрғыдағы басты жаңалығы: алты шама арасындағы тәуелділікті сипаттайтын Менелай теоремасын ықшамдап, төрт шама ережелері деп аталатын қазіргі сфералық синустар, тангенстер теоремаларын тағайындады. Бұл сфералық үшбұрыштарды шешуді біршама жеңілдетеді. XII-XIII ғасырларда тік бұрышты сфералық үшбұрыштарды шешудің барлық жағдайлары қарастырылып бітеді. Бұл жөнінде, Насыреддин ат-Тусидің еңбегі ерекше көзге түседі. Әбу Жапар Мұхаммед ибн Мұхаммед Насыреддин ат-Туси (1201-1274) Орта Азияның Тус (Иран) қаласында туып өсті. 1258 жылы Шыңғыс ханның немересі Құлағу хан Бағдатты жаулап алып, араб халифаты билігінің ең ақырғы қалдықтарын жояды. Осы кезде ескі өкіметтің кәріне ұшырап түрмеде жатқан Насыреддин босап, оны Құлағу өзіне балгер - астролог етіп тағайындайды. Зұлым ханның ой-өрісінің осал жерін дөп пайдаланып, «астрологиялық көріпкелдігімен» бір жыл өтпей Насыреддин Әзірбайжанның көне астанасы Марғада обсерватория салдырады, бұған білімпаз оқымыстыларды шақырады. Осы обсерваторияның ғылыми басшысы ретінде ол сол кездегі ғылымның көп салалары бойынша шығармалар жазады. Насыреддин, ең әуелі математик. Ол ежелгі грек математикасының көрнекті өкілдерінің негізгі еңбектерін араб тілінде баяндап, оларға көптеген сын-пікірлер айтқан, түбегейлі толықтырулар жасаған ғалым. Ол Ғаббас Әл-Жауһари, Ибн Қорра Сабит, Әл-Фараби, Омар Хайям, т.б. шығыс ғылымы алыптарының еңбектерін ілгері апарушы лайықты мұрагері болып саналады. Оның «толық төртқабырғалық туралы» деп аталатын трактаты дербес тригонометрия мәселелеріне арналған математика тарихындағы тұңғыш кітап. Насыреддигтің трактатында тригоноиетрияның негізгі ұғымдарынан (алты функцияның анықтамасы, олардың арасындағы қатынастар жазық және сфералық үшбұрыштар элементтері арасындағы қатыстар, т.б.) бастап үшбұрыштарды табудың барлық типтік есептерінің алгоритмдеріне дейінгі тригоноиетриялық бүкіл мағұлматтар жүйелі де толық беріледі. Ол бұл еңбегінде тригонометрияның түпкі мәнін ажыратып береді. Оның осындай ғылыми пайымдаулары Еуропаға мәлім болып, мұнда тригонометрияның дамуына үлкен ықпал жасайды. Мәселен, кейінгі уақытқа дейін тригонметрияның авторы аталып келген неміс математигі Региомантанның өзі Насыреддинің тригонометриясынан көп тәлім алғанын мойындайды. Насыреддиннің тригонометриялық мұрасын ары қарай дамытушы Орта Азиядан шыққан ұлы математиктердің соңғы өкілі әл-Қаши болды. Тригонометрия астрономия мен география ғылымдарының дамуына тікелей байланысты туып, қалыптасқан. Тригонометрияның кейбір бастамалары, элементтері ежелгі Вавилонда кездеседі. Алайда гректер тригонометрияны астрономияның бір бөлігі ретінде қараған. Мұнда ең әуелі шар бетінде орналасқан үшбұрыштарды шешуге негізделген сфералық тригонометрия дамытылған. Ондай сфералық үшбұрыштардың қабырғалары шар бетіндегі үлкен дөңгелектердің доғалары болып келеді. Ежелгі грек оқымыстылары ең алдымен тік бұрышты үшбұрыштарды (жазық немесе сфералық) шешу мәселесін, яғни берілген үш элементі бойынша үшбұрыштардың басқа элементтерін анықтау мәселесін қояды. Тригонометриялық мазмұндағы алғашқы зерттеулер Евдокстан басталған болу керек. Алайда гректер тригонометриясы туралы толық та жүйелі мағұлматты біз Маналей мен Птоломей еңбектерінен табамыз. Александриялық Менелей – біздің заманымыдың І ғасырында өмір сүрген астроном және математик. Ол «Сферика» деп аталатын үшбұрыштар жөніндегі үш томдық көлемді еңбектің авторы. «Сфериканың» грекше нұсқасы бізге жетпегенмен ол араб аудармасы арқылы сақталған. Менелай мұнан басқа араб жазуларының дерегі бойынша «Геометрия элементтері», «Үшбұрыштар туралы кітап» деп аталатын геометриялық тракттатр жазған. «Сфериканың» бірінші кітабында Евклидтің «Бастамалары» үлгісінде сфералық тік бұрышты үшбұрыштар туралы теоремалар дәлелденеді. Мұнда ұқсастығы жоқ сөйлемдер де кездеседі. Ол, мәселен, сфералық үшбұрыштардың ішкі бұрыштарының қосындысы екі тік бұрыштан үлкен болатынын дәлелдейді. Сфералық геометрия – математика тарихындағы ең бірінші евклидтік емес геометрия жүйесі болып есептеледі. «Сфериканың» екінші кітабының мазмұны жоғарыда айтылған Теодосийдің шығармасының мазмұнымен бірдей. Бірақ дәлелдері қысқа да анық болып келеді. «Сфериканың» үшінші кітабы негізінен тригонометрия мәселелеріне арналған. Әрине, гректерде ол кезде қазіргі мағынадағы тригонометрия жоқ болатын, синус және басқа тригонометриялық функциялар анықталмайтын, синус сызығының орнына хордалар жүретін, қазіргіше айтсақ: бұрышының синусы бұрышын керіп тұрған хорданың жартысы болады. Бұл кітапта кейін арабтар қималар теормеасы немесе алты шама туралы ереже деп атап кеткен атақты Менелай теоремасы дәлелденеді. Мұнда жазықтықта немесе сферада әрқайсысы қалғандарын үш нүктеде қиып өтетін төрт түзу немесе сәйкес үлкен дөңгелек доғаларынан құрылған фигураның қасиеті тұжырымдалады. Бұл теореманы орта ғасырларда «қималар фигурасы» деп атаған, қазір мұны толық төртқабырғалық немесе транверсаль деп атайды. Жазықтық жағдайында Менелай теоремасы ежелгі математика көп қолданған құранды қатыстар ілім термидері бойынша былай жазылады (1-сурет): (1) немесе (2) Ал сфера жағдайында (1) теңдіктегі кесінділер екі еселенген қабырғалардың хордаларымен немесе қазіргі таңбалау бойынша, қабырғалардың синустарымен алмастырылады. 1-сурет Толық төртқабырғалықты ACD, ABE, ECF және DBF төрт үшбұрыштың кез келгенінің BFE, CFD, BDA және CEA қиюшы транверсальдарымен сәйкес қиылысуынан пайда болған фигура деп те қарауға болады. Сондықтан Менелай теоремасын төрт түрлі вариантта жазуға болады. «Сферикада» бірінші және үшінші варианттары келтірілген, қалғандары оларға симметриялы болады. Үшінші варианты мына түрде жазылады: Менелай теоремасы әр түрлі жазық және сфералық үшбұрыштарды шешуге қолданылған. Клавдий Птолемей – ежелгі дүниенің ең ұлы астрономы. Птолемейдің біздің заманымыздың 120 жылынан бастап Александрияда өмір сүргені ғана мәлім. Ол – астрономия жөнінде жазылған, арабтар кейіннен «Алмагест» деп атап кеткен үлкен еңбектің иесі. Птолемей әлем жайлы геоцентрлік жүйені жасаушы. Бұл жүйе бойынша Күн, Ай және басқа аспан шырақтары әлем центрі Жерді айнала шеңбер бойымен қозғалыста болады. Птоломейдің «Алмагесті» 13 кітаптан тұрады. Тригонметрия мәселелері бірінші кітапта келтірілген. Мұнда Птолемей өзінен бұрынғы Менелайдың зерттеулеріне сүйенгені байқалады. Птолемей дөңгелек шеңберін 360 градусқа, ал оның диаметрін 120 бөлікке бөледі. Сөйтіп, хорданың ұзындығын дөңгелектің радиусы арқылы өрнектейді. Түрлі бұрыштарға қандай ... , егер төртбұрыш дөңгелекке іштей сызылса, онда оның диагональдарының көбейтіндісі қарама-қарсы қабырғалардың көбейтінділерінің қосындысына тең болады. Бұл теорема қазір Птолемейдің есімімен аталып жүр. Птолемей теоремасы дәлеленің Әл-Фарабидің (870-950) «Алмагестке түсініктеме» атты еңбегінде берілген нұсқасын келтірейік. Әл-Фараби Птолемей пайдаланған геометриялық алгебра тілін жеңілдетіп, қазіргі геометриялық тілге жақындатады. «Егер төртбұрыш тең қабырғалы болса, онда дәлелдеу оп-оңай. Әр түрлі қабырғалары төртбұрыш, мысалы, ABCD дөңгелекке іштей сызылған дейік, диагональдарын жүріземіз (2-сурет). ABD бұрышы DBC бұрышынан үлкен болса, онда біріншісі керіп тұрған AD доғасы бұл төртбұрышта үлкен болады. DBC бұрышына тең ABE бұрышын саламыз. BAE және BDC бұрыштары бір доғаға тірелетін болғандықтан, олар тең болады. Сондықтан, ABE және DBC үшбұрыштары ұқсас болады және AB-нің CD-ға көбейтіндісі DB-нің AE-ге көбейтіндісіне тең болады. 2-сурет ABD бұрышы EBC бұрышына тең және BCE, ADB бұрыштары өзара тең болғандықтан, CBE және ABD үшбұрыштары ұқсас. Ендеше, BC-ның AD-ға көбейтіндісі DB-нің CE-ге көбейтіндісіне тең. Олай болса, BC-ның DA-ға және AB-нің CD-ге көбейтінділерінің қосындысы BD-ның CE-ге және BD-ның AE-ге қосындысы, яғни BD-нің CA-ға көбейтіндісіне тең болады. Біздің дәлелдейтініміз де осы еді». Сонымен (3) Егер диагональдарының бірі дөңгелектің диаметрі болса, онда (3) теңбе теңдік (4) формуласына эквивалент болатыны оңай дәлелденеді. Шынында, егер диагональ AC дөңгелектің диаметрі 2R және болса (3-сурет), онда Енді осы мәндерді (3) теңбе теңдікті сәйкес қойсақ, онда (4) формула келіп шығады. 3-сурет Птолемей өзінің теоремасын хордалар кестесін жасауға негіз етеді. Птолемейдің «Алмагестінде» жарты градус аралатып -тан -қа дейінгі ходалар кестесі келтірілген, ол -тан -қа дейінгі синустар кестесіне сай келеді. Ол алпыстық бөлшектерді пайдаланады. Тарихи жазбалар бойынша хордалар кестесін алғаш жасаушы ретінде біздің заманымызға дейінгі ІІ ғасырда өмір сүрген астроном Гиппарх болып саналады. Бірақ ол кестелер бізге келіп жетпеген. Сондықтан да Птолемей кестесі – математика тарихындағы біз білетін тұңғыш тригонометриялық кесте. Птолемей Гиппархтың астрономиясымен жете танысып, оны өзінің «Алмагестке» кемелдендіреді. Птолемей «Алмагесте» астрономияға қажет көптеген әртүрлі сфералық үшбұрштарды шешуге тиісті болады. Мұнда ол Менелай теоремасын және одан шығатын салдарларды шеберлікпен пайдаланады. Мәселен, «Алмагестің» бірінші кітабының 14-тарауында Күн орнына берілген λ ойлық бойынша ауысуын былай табады. Мұнда ЕВ эклиптиканың ЕА аспан экваторына көлбеулігі ε белгілі деп саналады (4-сурет). Н – Күннің орны, сондықтан, FC доғасы - , ЕН доғасы – λ, Күннің ауысуы =FH доғасын табу керек. 4-сурет Суреттегі қиюшылар фигурасына немесе толық төрт қабырғалыққа Менелай теоремасын қолданып мынадай қатынасты алуға болады. Белгілі мәндерді орнына қойып былай жазуға болады. Қазіргі таңбамен жазсақ, бұл қатынас формуласымен дәл келеді. Птолемейдің бізге «Алмагестен» басқа тригонометрияны кең қолданылған «Аналлема» және «Планисферий» деп аталатын екі шығармасы келіп жетті. Мұның екіншісінде аспан сферасының проекциясы баяндалады. жүктеу/скачать 1,12 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|