Секциясы: Жаратылыстану-математикалық бағыты
Тригонометрияның негізгі формулалары және оларды қолдану әдістері
жүктеу/скачать 1,12 Mb.
|
ғылыми жұмыс Қарақат
| 1.4 Тригонометрияның негізгі формулалары және оларды қолдану әдістері
1. Қосу теоремалары. Кез келген және нақты сандары үшін төмендегі формулалар орындалады: (1) (2) Мысалдар: болғандағы мәнін есептейік. қосындысы екеніне көңіл аударайық, және бұрыштардың косинусы белгілі болғандықтан, қосындының косинусы формуласымен мынаны табамыз: 2. Қос аргументтің тригонометриялық функциялары. а) (1) формуладан және болғандықтан, бұл формуланы былай жазуға болады: (3) (2) формуладағы -ны -мен алмастырайық, айырымның синусының формуласы шығады: (4) б) Қосындының тангенсінің формуласы қосындының синусы мен косинусы формуласының көмегімен қорытып шығарылады. Сонда былай болады: Шыққан бөлшектің алымы мен бөлімін көбейтіндісіне бөлейік. Сөйтіп қосындының тангенсі мен котангенсі үшін: (5) (6) 2-ші формуладағы -ның орнына -ны қойсақ, айырымның тангенсі мен котангенсі үшін: (7) (8) в) Қосындының косинусының және синусының (1) және (2) формулаларындағы деп ұйғарып, қос аргументтің формулаларына келеміз: (9); 10). Қосындының тангенстің және котангенстің формулаларындағы деп ұйғарсақ, былай болады: (11) (12). 3. Келтіру формулалары.Тригонометриялық функциялар мәндері sinα, cosα, tgα, және сtgα арқылы өрнектеліп, аргументтің α және – α мәндеріне ; n ϵ Z шамасын қосқанда шығатын формулалардыкелтіру формулаларыдеп атайды. (Мұндағы n=1; 2;3;4 деп алу жеткілікті, себебі, sin x , cos x , tg x, сtg x-тың әрқайсысының периоды - 2π . ) Мысалы, sinα ( )-ні есептелік. (2) формула бойынша sin( )= sin cosα + sinα cos = cosα. Сол сияқты cos(π - α) = cos π cos α + sin π sin α = - cos α; cos( ) = cos cos α - sin sinα = - sin α; . Осы формулаларға ұқсас қалған формулаларды да қорытуға болады. Оны мына таблица арқылы берейік (3-кесте):
Мысалдар. 1. . 1) α доғасы вертикаль диаметрден салынған , сондықтан косинустың орнына синусты аламыз. 2) α доғасы 1-ші ширекте, ал 3-ші ширекте, онда ол теріс. 2. tg 306°– мәнін сүйір бұрышты функцияға келтірелік. tg 306° = tg (360°– 54°) = - tg 54°. IV ширекте тангенс теріс мәнді қабылдайды. 4. Бір аргументті және тек сол аргументті тригонометриялық функциялар арасындағы қатыстар. (3) формулада β = α деп ұйғарсақ , cos (α - β) = cosαcosα + + sinα sinα екені белгілі, бірақ, cos (α - α) = cos 0 = 1, онда cos2 α + sin2 α = 1 (13). 1+tg2α өрнегін қарастырайық. ( 14 ) Осы сияқты: ( 15 ) Мысал. sin x =a; | a | < 1.Қалған тригонометриялық функциялардың мәндерін табайық. (13) формуладан cos2х=1–а2, бұдан cosx1= немесе cosx2= Синустың берілген мәнінде функциясы екі мәнге ие болады. табылғаннан кейін tg x және ctg x-ті табуға болады: tg x1 = немесе tg x2 = ; сtg x1 = немесе сtg x2 = . Косинустың мәнінен мынадай жауаптар аламыз: cosx1= ; cosx2= ; tg x1 = ; tg x2 = ; сtg x1 = . сtg x2 = . 5. Жарты аргументтің функциялары.α және аргументтерін байланыстыратын формулалрды алайық: 1+ = 2 cos2 (16). Шынында (13) және (5) формулаларды пайдаланып аргументі үшін 1+ = (sin2 + + cos2 ) + (cos2 - sin2 ) = 2 cos2 . Осы сияқты 1- = 2 sin2 (17). (16) және (17) формулалардан ‹‹оңнан солға››, яғни , Бұл формулаларды дәрежені төмендету формулаларыдеп атайды. Мысал. Егер α = 112°30ˊ болса , cos α ; sin α ; tg α ; ctg α – ні есептеу керек. 112°30ˊ = 225° : 2 болғандықтан α = 225° үшін (16) формуланы пайдалансақ, 1+ cos 225° = 2 cos2 112°30ˊ . Демек, Осы сияқты (17) формуладан және 112°30ˊ- тық бұрыш II ширекте жататынын ескерсек, Әрі қарай 6. Тригонометриялық функциялардың көбейтіндісін қосындыға түрлендіру.sin α cos β, sin α sin β, cos α cos β көбейтінділерін қосындыға түрлендірейік, ол үшін өрнегін қарастырайық. қосу формулаларын қолдансақ былай жазуға болады. Сонымен Осы сияқты төмендегі формулаларды да қорытуға болады: ; 7. Тригонометриялық функциялардың қосындысын көбейтіндіге түрлендіру. sinα sin β; cos α ± cos β; tg α ± tg β; ctg α ± ctg β қосындыларын көбейтіндіге түрлендірейік. sinα sin β қосындысын қарастырайық. деп ұйғарып, sinα sin β = sin ( ) + sin (x – y) = sin x cos y + sin y cos x + sin x cos y –- sin y cos x= 2sin х cos у . жүйесін x және y арқылы шешсек, ; . Демек, 2sin х cos у = 2 sin cos ; sinα sin β = 2 sin cos . Осы сияқты sinα sin β = 2 sin cos ; cos α + cos β = cos cos ; cos α cos β = sin sin ; формулаларын аламыз. Енді tg α ± tg β – ны қарастырайық. Сонымен Осы сияқты мына формула да дәлелденіледі: 8. Кері тригонометриялық функциялар y=arcsinxфункциясы.y = sin x функциясы ... , [ ], [ ], [ ], … аралықтарының әрқайсысында монотонды және -1 -ден 1 –ге дейінгі мәндерді қабылдайды, яғни осы аралықтардың әрқайсысында өзінің кері функциясы болады. Бұл аралықтардан кесіндісінде y = sinx функциясына кері функцияны арксинусдеп атайды да arc sin деп белгілейді. (келісім бойынша х пен у – тің орындарын ауыстырып y = sin x деп алайық). Сонымен, y = arcsin x – функциясы y = sin x функциясына кері функция, мұндағы . Бұл функцияның графигі y = sinx графигін y =x осіне симметриялы түрлендіруден шығады. жүктеу/скачать 1,12 Mb. Достарыңызбен бөлісу:
|