Системы счисления

Представления десятичных чисел в разных

жүктеу/скачать 59,88 Kb.

бет	3/3
Дата	23.02.2022
өлшемі	59,88 Kb.
	#132979

1 2 3

Байланысты:
РАБОТА 1

Представления десятичных чисел в разных системах счисления

q = 10	q = 2	q = 8	q = 16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Кроме этого, полезно знать десятичные значения чисел 2^kот

k = 0 до k = 10 (см. таб. 1.3).
Таблица 1.3

Значения чисел 2^k

k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
₂k	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Для перевода целого числа N с q-ичным основанием в деся- тичное число записывают в виде многочлена, а затем вычисля- ют его по правилам десятичной арифметики:

n n-1 2 1
N = a · qⁿ+ a · q^n-1... + a ·q¹+ a · q⁰.
Здесь a_n– это цифры числа,
q – основание системы счисления,
n – 0, 1, 2 ... .

Пример:

2
(11001) = 1 · 2⁴+ 1 · 2³+ 0 · 2²+ 0 · 2¹+ 1 · 2⁰=
= 1 · 16 + 1 · 8 + 0 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1 = (25)₁₀
(221)₃ = 2 · 3 + 2 · 3 · 1 · 3 = 2 · 9 + 2 · 3 + 1 · 1 = (25)

10
2 1 0
(221)₃ = 2 · 3 + 2 · 3 · 1 · 3 = 2 · 9 + 2 · 3 + 1 · 1 = (25)
2 1 0

₁₀

(31)₈ = 3 · 8 + 1 · 8 = 3 · 8 + 1 · 1 = (25)
1 0

₁₀

(534D)₁₆= 5 · 16 + 2 · 16 + 4 · 16 +13 · 16 =
3 2 1 0
= 20480 + 512 + 64 +13 = (21069)₁₀
Примечание: при работе с различными системами счисле- ния число записывают в скобках, а за скобками – основание системы.
Для обратного преобразования целых чисел (из десятичной системы счисления в систему с основанием q) число N делят на q и записывают остатки от деления до тех пор, пока частное от предыдущего деления не станет равным нулю.
Пример: преобразуем число 25 в двоичную систему:
Исходное число Частное Остаток 25/2 12 1
12/2 6 0
6/2 3 0
3/2 1 1
1/2 0 1

^Р^е^з^у^л^ь^т^а^т^:25₁₀ 11001₂
a₄a₃
a₂a₁a₀

Когда последнее частное стало равно нулю, записывают все остатки подряд от последнего к первому. Таким образом, полу- чили число в двоичной системе счисления – _₁₁₀₀₁_₂.

Для перевода смешанных чисел в двоичную систему счис-
ления требуется отдельно переводить их целую часть и дроб- ную части. В записи результата целая часть перевода отделяет- ся от дробной запятой в соответствии с формулой:
N = ± a_na_n-1... a₁a₀, a_-1a_-2... a_-n

Основные системы счисления

Двоичная система счисления. В компьютерной технике в основном используется двоичная система счисления. Такую си- стему очень легко реализовать в цифровой микроэлектронике, так как для нее требуется всего два устойчивых состояния (0 и 1). Двоичная система счисления может быть непозиционной и позиционной. Реализовано это может быть присутствием какого- либо физического явления или его отсутствием. Например: есть электрический заряд или его нет, есть напряжение или нет, есть ток или нет, есть сопротивление или нет, отражает свет или нет,
намагничено или не намагничено, есть отверстие или нет и т. п.
Восьмеричная система счисления – позиционная цело- численная система счисления с основанием 8. Для представле- ния чисел в ней используются цифры от 0 до 7.
Восьмеричная система счисления часто используется в об- ластях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризует- ся легким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обрат- но, путем замены восьмеричных чисел на триады двоичных.

Ранее эта система широко использовалась в программирова- нии и компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной системой.
Для перевода двоичного числа в восьмеричное исходное число разбивают на триады влево и вправо от запятой; отсут- ствующие крайние цифры дополняют нулями. Затем каждую триаду записывают восьмеричной цифрой (см. табл. 1.2).
Пример: иллюстрация перевода двоичного числа в восьме- ричное число:

__6
³⁴
_2 _

N  110011,100010₂ ^110 011, 100 010^ 63,42₈^.
 
 ₂
Шестнадцатеричная система счисления – позиционная система счисления по целочисленному основанию 16. Обычно в качестве шестнадцатеричных цифр используются десятич- ные цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F для обозна-
чения цифр от _₁₀₁₀_₂до _₁₁₁₁_₂, то есть (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, A, B, C, D, E, F)₁₆.
Для перевода двоичного числа в шестнадцатеричное ис- ходное число разбивают на тетрады влево и вправо от запя- той; отсутствующие крайние цифры дополняют нулями. За- тем каждую тетраду записывают шестнадцатеричной цифрой (см. табл. 1.2).
Пример: иллюстрация перевода двоичного числа в шест- надцатеричное число:
_⁷^A^B^E^F__.

N  ^0111 1010 1011, 1110 1111^
 7AB,EF ₁₆

 
 ₂

Варианты заданий к лабораторной работе (см. табл. 1.4)

Задание 1. Перевести целые числа из десятичной системы счисления:

в двоичную;
в восьмеричную;
в шестнадцатеричную.

Задание 2. Перевести целые числа из двоичной системы счисления:

в восьмеричную;
в шестнадцатеричную;
в десятичную.

Задание 3. Перевести целые числа из шестнадцатеричной системы счисления:

в двоичную;
в восьмеричную;
в десятичную.

Задание 4. Сложить:

двоичные числа;
восьмеричные числа;
шестнадцатеричные числа.

Задание 5. Найти разность:

двоичных чисел;
восьмеричных чисел;
шестнадцатеричных чисел.

Задание 6. Вычислить значение выражения и представить в десятичной системе счисления.
Таблица 1.4
Варианты заданий к лабораторной работе

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
Задание	a) 2515	a) 1052	a) 2042	a) 5911	a) 3988
1	b) 3084 c) 9042	b) 1387 c) 7634	b) 5548 c) 2372	b) 6321 c) 7629	b) 5147 c) 1123
Задание	a) 110101	a) 011001	a) 100110	a) 011001	a) 100010
2	b) 111010	b) 101010	b) 110011	b) 100001	b) 111000
	c) 101111	c) 010101	c) 101111	c) 001001	c) 011111
Задание 3	a) 1F52 b) 5521 c) 1101	a)1A1B b) 2350 c) 3239	a) 5EE2 b) 2682 c) 2461	a) 7B1B b) 3458 c) 6537	a) 1C2D b) 6824 c) 8673
Задание	a) 1011 +	a) 0110 +	a) 1010 +	a) 1101 +	a) 1010 +
4	+ 0111 b) 573 + 325	+ 1100 b) 274 + 235	+ 0101 b) 271 + 123	+ 1101 b) 632++714	+ 1010 b) 521+ +623
	c) F1 + E7	c) 93 + 2C	c) 58 + 79	c) 51 + 9D	c) 36 + AB

Продолжение таблицы 1.4

	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
Задание	a) 1011 –	a) 1110 –	a) 1010 –	a) 1101 –	a) 1010 –
5	– 0111	– 1100	– 0101	– 1001	– 1000
	b) 573 – 325	b) 274 – 235	b) 271 – 123	b) 732 – 714	b) 721 –623
	c) F1 – E7	c) 93 – 2C	c) A8 – 79	c) B1 – 9D	c) C6 – AB
Задание	23₈+	B1₁₆–	51₈* 21₁₆–	(59₁₆+	25₈*
6	A2₁₆*	– 1011₂ *	– 45510	+ 1110₂) *	* 567₁₆–
	* 1001₂	* 117₈		* 456₈	– 10101₂

Контрольные вопросы

Что называется системой счисления?
Какие системы счисления называются непозиционны- ми? Почему? Приведите пример такой системы счисления и записи чисел в ней.
Какие системы счисления применяются в вычислитель- ной технике: позиционные или непозиционные? Почему?
Как изображается число в позиционной системе счисле- ния?
Что называется основанием системы счисления?
Как можно представить целое положительное число в позиционной системе счисления?
Какие системы счисления применяются в компьютере для представления информации?
По каким правилам выполняется сложение двух положи- тельных целых чисел?
Каковы правила выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления?
Для чего используется перевод чисел из одной системы счисления в другую?
Сформулируйте правила перевода чисел из системы счисления с основанием р в десятичную систему счисления и обратно: из десятичной системы счисления в систему счисле- ния с основанием s. Приведите примеры.
Как выполнить перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную систему и обратно? Из двоичной

системы счисления в шестнадцатеричную систему и обратно? Приведите конкретные примеры.

По каким правилам выполняется перевод чисел из вось- меричной в шестнадцатеричную систему счисления и наобо- рот? Приведите примеры.

Литература:

Бабич, Н. П. Компьютерная схемотехника. Методы по- строения и проектирования / Н. П. Бабич, И. А. Жуков : учеб- ное пособие. – Киев : МК-Прогресс, 2004. – С. 18–26.
Марек, Р. Ассемблер на примерах. Базовый курс / Р. Ма- рек. – СПб. : Наука и техника, 2005. – C. 12–15.