СұЙЫҚ ЖƏне газ механикасынан есептер жинағЫ

d)
Жылдамдық
потенциалын
табу
керек
. 
18. 
Су
ағыншасы
түтіктен
жылдамдықпен
жəне
шығынмен
ағып
шығып
жатыр
. 
Осындай
жағдайда
ағыншаның
тудыратын
қысымы
қандай
?
 

4 
Сығылмайтын
 
тұтқырлы
 
сұйықтардың
 
гидродинамикасы
 
Тұтқырлы
сұйықтардың
қозғалысын
сипаттайтын
теңдеулер
жүйесінің
шешімдерін
табу
əдетте
үлкен
қиындық
тудырады
. 
Осындай
теңдеулердің
түрлі
жуықтаулары
кең
қолданыс
тапты
. 
Қолданылатын
жуықтаулардың
мағынасын
ашу
үшін
теңдеулерге
кіретін
шамаларды
олардың
белгілі
бір
сипаттаушы
мəндеріне
бөліп
, 
бастапқы
теңдеулерді
өлшемсіз
түрде
жазу
пайдалы
. 
Біртекті
сығылмайтын
сызықты
тұтқыр
сұйық
үшін
теңдеулер
жүйесі
өлшемсіз
түрде
мына
түрде
жазылады
: 
0
·
1
Егер
Re
1
жəне
·
1
болса
, 
онда
қозғалыс
теңдеулерінде
тұтқырлыққа
байланысты
мүшелермен
салыстырғанда
инерциялық
мүшелерді
, 
яғни
үдеуді
ескермеуге
болады
. 
Осылайша
Стокс
 
жуықтауына
сəйкес
келетін
теңдеулер
шығады
. 
Егер
1
болса
, 
онда
теңдеулердегі
тұтқыр
мүшелер
салыстырмалы
түрде
аз
. 
Алайда
, 
шекаралық
шарттар
орындалғанда
барлық
ағын
облысы
үшін
оларды
толығымен
ескермеуге
болмайды
, 
себебі
, 
жалпы
айтқанда
, 
осы
шекаралық
шарттарды
қанағаттандыратын
Эйлер
теңдеулерінің
шешімдерін
табу
мүмкін
емес
. 
үлкен
болғанда
дене
маңында
салыстырмалы
түрде
жұқа
шекаралық
қабат
пайда
болады
. 
Шекаралық
қабаттың
ішінде
тұтқырлықтың
ағынға
əсері
айтарлықтай
, 
ал
сыртында
əдетте
ондай
əсерді
ескермеуге
болады
. 
Навье
-
Стокс
теңдеулерін
шекаралық
қабаттағы
қозғалысты
сипаттағанда
қабаттың

жұқалығына
байланысты
қарапайымдатылған
шекаралық
 
қабат
 
теңдеулерімен
алмасыруға
болады
. 
Рейнольдс
саны
үлкейгенде
пайда
болатын
басқа
құбылыс
- 
ол
ағынның
орнықсыздығының
жоғалуы
. 
Жеткілікті
үлкен
Рейнольдс
сандарында
ағын
əдетте
күрделі
хаосты
сипатқа
ие
болады
: 
ағынның
барлық
сипаттаушы
параметрлері
хаотикалы
реттелген
мəндердің
айналасында
ырши
толқиды
. 
Бұл
құбылыс
турбуленттілік
деп
аталады
. 
Турбулентті
ағындарды
сипаттау
үшін
бүгінде
Навье
-
Стокс
теңдеулері
қолданылмайды
.
 
4.1 
Ньютондық
 
сұйықтар
 
Сұйықтың
немесе
газдың
идеалдылық
қасиеттері
оларда
жанама
кернеулердің
жоқтығымен
жəне
осыдан
шығарылатын
кернеу
тензорының
сфералығы
шартымен
өрнектеледі
(
-
бірлік
тензор
) 

 
 
 
(1) 
жəне
бұл
шарт
орындалғанда
барлық
нормаль
кернеулерді
ортаның
берілген
нүктесінде
бір
скаляр
шама
- 
қысым
арқылы
өрнектеуге
болады
. (1) 
теңдеуі
қарапайым
реологиялық
теңдеулердің
мысалын
көрсетеді
. 
Ортаның
реологиялық
теңдеулері
деп
кернеу
, 
деформация
тензорларының
компоненттерін
жəне
олардың
уақыт
бойынша
туындыларын
байланыстыратын
теңдеулерді
түсінеді
. 
Мұндай
теңдеулер
қарастырылып
отырған
ортаның
түрлі
қозғалыстары
кезінде
бірдей
болуы
немесе
оның
əртүрлі
мүмкін
болатын
қозғалыстарының
сипатынан
тəуелді
болуы
мүмкін
. 
Реология
тұтас
ортаның
аққыштығы
туралы
ең
жалпы
ілім
болып
табылады
. 
(1)-
ден
кейін
күрделілік
реті
бойынша
келесі
реологиялық
теңдеу
болып
кəдуілгі
тұтқыр
сұйықтың
қозғалыс
теңдеуі
табылады
. 
Қарапайым
жағдайда
түзу

сызықты
ламинарлы
ығысу
қозғалысының
теңдеуі
кернеу
тензорының
жанама
құраушысы
(
үйкеліс
)
жəне
ығысу
жылдамдығының
ағын
бағытына
көлденең
бағытта
туындысы
⁄
, 
яғни
, 
деформация
жылдамдығы
тензорының
жанама
құраушысы
арасындағы
пропорционалдылықты
сипаттайтын
Ньютонның
белгілі
реологиялық
заңына
келеді
: 
2
Сұйықтың
қысымынан
тəуелсіз
, 
температурасынан
ғана
тəуелді
болуы
мүмкін
пропорционалдық
коэффициенті
динамикалық
тұтқырлық
коэффициенті
деп
аталады
. 
Кинематикалық
тұтқырлық
коэффициенті
келесі
қатынас
арқылы
өрнектеледі
: 
⁄ 3
Реологиялық
теңдеу
(2) 
тұтқыр
сұйықтың
кез
-
келген
кеңістіктік
қозғалысына
сəйкес
келетін
кернеу
жəне
деформация
жылдамдығы
тензорлары
арасындағы
сызықтық
байланысты
өрнектейтін
жалпы
заңның
дербес
жағдайы
. 
Жалпыланған
Ньютон
заңы
деген
атқа
ие
бұл
заң
«
ньютондық
» 
деп
аталатын
көптеген
сұйықтар
жəне
аса
сиретілмеген
газдар
үшін
орындалады
. 
4.1-1 
есеп
. 
Каналдағы
 
Пуазейль
 
ағыны
 
Тығыздығы
жəне
тұтқырлығы
тұрақты
сығылмайтын
ньютондық
сұйық
ені
шектелмеген
екі
параллель
пластиналар
арасында
ағады
. 
Көлемдік
күштер
ескерілмейді
. 

Пластиналар
арасындағы
қашықтық
, 
қысым
градиентінің
компоненттері
,
0,
0,
 
жəне
пластиналар
арасындағы
жылдамдық
өрісі
2
4
,
0,
0
берілген
. 
Сонда
: 
a)
Берілген
жылдамдық
өрісі
үзіліссіздік
жəне
Навье
-
Стокс
теңдеулерін
қанағаттандыратынын
көрсетіңіз
; 
b)
Кернеу
тензорының
құраушыларын
анықтаңыз
; 
c)
Ф
диссипация
функциясын
есептеңіз
; 
d)
Қуыс
ішіндегі
бірлік
тереңдікке
, 
ұзындыққа
жəне
уақытқа
тиісті
жылуға
диссипацияланған
энергияны
табыңыз
; 
e)
Бас
кернеулерді
жəне
олардың
бағыттарын
анықтаңыз
. 
 
Берілгендері
: 
⁄
, , , , .
 
 
Шешуі
 

a) 
Жылдамдық
өрісі
мен
қысым
айырмасын
үзіліссіздік
жəне
Навье
-
Стокс
теңдеулеріне
қойып
, 
бұл
теңдеулерді
қанағаттандыратынын
анықтаймыз
. 
b) 
Кернеулер
тензоры
: 
Коши
-
Пуассон
заңы
2
ньютондық
сұйық
үшін
негізгі
теңдеу
болып
табылады
. 
⁄
0
болғандықтан
0
шарты
орындалады
, 
сондықтан
, 
1 2
⁄
⁄
⁄
болады
жəне
кернеу
тензоры
мына
түрге
келеді
: 
.
Кернеулер
тензорының
құраушылары
2
,
2
,
,
0,
0,
2
,
немесе
матрицалық
түрде
0
0
0
0
.
c) 
диссипация
функциясы
: 

Бірлік
көлемге
жəне
уақытқа
келетін
диссипацияланған
энергия
жалпы
алғанда
Ф
, 
ал
Коши
-
Пуассон
заңының
дербес
жағдайында
Φ
2
2
,
болады
, 
мұндағы
1
2
0,
Диссипация
функциясы
мына
түрге
келеді
: 
Φ
2
.
d) 
Диссипация
энергиясын
сұйық
алып
тұрған
көлем
бойынша
интеграл
ретінде
аламыз
: 
Φ
жəне
бірлік
ұзындыққа
жəне
тереңдікке
тиісті
– 
ны
келесі
түрде
анықтаймыз
: 
Φ
3
12
.

Жылдамдықтың
, 
кернеулер
тензорының
жəне
диссипация
функциясының
құраушылары
суретте
көрсетілген
. 
e) 
Бас
кернеулер
жəне
олардың
бағыттары
: 
Меншікті
мəндер
туралы
есеп
мына
түрде
болады
: 
 
0 . 1
Кернеу
тензорын
қарастыра
отырып
, 
болатын
0, 0, 1
меншікті
вектор
, 
сəйкес
меншікті
мəн
екендігін
түсінеміз
(
жазық
ағын
). 
Сондықтан
, 
басқа
екі
меншікті
мəндер
мен
меншікті
векторларды
тек
,
жазықтығында
іздейміз
. 
Сипаттаушы
теңдеу
енді
мына
түрде
жазылады
: 
det
0 .
Бұл
келесі
меншікті
мəндерге
алып
келеді
: 
,
.
(1) 
гомогенді
жүйенің
бірінші
теңдеуін
пайдалана
отырып
, 
меншікті
векторларды
есептейміз
: 

0
Нормаландыру
шарты
1
болып
табылады
. 
Оны
біз
кейінірек
шкалалау
арқылы
қанағаттандырамыз
. 
Сондықтан
, 
алдымен
1
деп
аламыз
. 
үшін
алатынымыз
1,
1
1
0
√2
, 
жəне
осының
салдарынан
нормаланған
вектор
келесі
түрде
анықталады
: 
1
√2
1
1
0
.
үшін
1,
1
1
0
√2 ,
теңдіктері
орындалады
, 
жəне
сол
себепті
1
√2
1
1
0
.
Нəтижелерді
тексеру
үшін
векторлық
көбейтіндісінен
бізге
белгілі
меншікті
векторын
есептейміз

1
2
1
1
0
1
1
0
1
2
· 0
· 0
·
2
,
 
жəне
бұл
теріс
меншікті
вектор
-
ке
сəйкес
келеді
. 
0, 0, 1
-
ті
алу
үшін
екі
меншікті
векторлардың
бірінің
таңбасын
өзгерту
керек
. 
векторын
1
–
ге
көбейтіп
, 
мыналарды
табамыз
: 
,
1
√2
1
1
0
,
,
1
√2
1
1
0
,
,
0
0
1
,
мұндағы
,
жəне
оң
координат
жүйесін
өрнектейді
. 
Кернеулер
тензоры
–
ден
тəуелді
болса
да
, 
жалпы
өріс
бойынша
бас
кернеудің
бағыттары
өріс
бойынша
өзгермейді
. 
Бұлай
болу
себебі
, 
біз
локальді
қарапайым
жылжи
қозғалатын
ағынды
қарастырамыз
. 

жүктеу/скачать 1,28 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: