СұЙЫҚ ЖƏне газ механикасынан есептер жинағЫ

r
3 
Сығылмайтын
 
тұтқырсыз
 
сұйықтардың
 
потенциалды
 
ағындары
 
Тұтқырсыз
сұйық
нобайын
(
модель
) 
қолданып
есеп
шығару
тұтқырлы
сұйық
жағдайы
үшін
қойылатын
есептерге
қарағанда
оңайырақ
болып
келеді
. 
Мұның
себебі
аталған
жағдайларда
қолданылатын
дифференциалдық
теңдеулердің
ретінің
əртүрлілігінде
емес
, 
сонымен
қатар
тұтқырсыз
сұйықтардың
ағысы
потенциалды
, 
яғни
құйынсыз
болып
келетіндігінде
. 
Потенциалды
ағыстар
үшін
анықтама
бойынша
мына
шарттар
орындалады
, 
2Ω
0
. 
Томсон
жəне
Лагранж
теоремаларына
сай
біртекті
сығылмайтын
сұйықтың
потенциалға
ие
массалық
күштер
өрісіндегі
қозғалысы
кез
-
келген
жекелеген
көлем
үшін
потенциалдығын
сақтайды
. 
Тыныштық
күйінен
қозғала
бастаған
сұйық
ағындарының
көпшілігі
жоғарыдағы
шарттар
орындалғанда
потенциалды
болып
келеді
. 
3.1 
Өстік
 
симметриялы
 
потенциалды
 
қозғалыстар
 
 
Қандайда
бір
өстен
өтетін
барлық
жазықтықтарда
бірдей
болатын
қозғалыстар
өстік
симметриялы
қозғалыстар
деп
аталады
. 
Өстік
симметриялы
потенциалды
ағыстар
айналысқа
түспейтін
ағыстар
деп
айтылады
. 
 
3.1-1 
есеп
. 
Кеңейетін
 
сфералық
 
дене
 
Кеңейетін
сфералық
дене
сығылмайтын
сұйыққа
батырылған
. 
Оның
бетінің
теңдеуі
қандай
да
бір
тəуелділікпен
берілген
(
). 
Сонда
:
 
a)
сфераның
кеңеюінен
пайда
болған
ағыстың
жылдамдық

потенциалын
; 
b)
қысымның
таралуын
,
; 
c)
берілген
1
функциясы
үшін
жылдамдық
,
пен
қысымның
,
0
жəне
0.5
уақыт
мезеттеріндегі
графигін
салу
керек
. 
 
Берілгендері
: 
, ,
.
 
Нұсқау
:
дене
бетінде
орындалатын
кинематикалық
шекаралық
шартты
жəне
∞
жағдайында
массаның
сақталу
заңынан
шығатын
шартты
ескеру
керек
. 
Шешуі
 
a) 
Жылдамдық
потенциалын
табу
: 
Сфера
бетінің
теңдеуі
мына
тəуелділікпен
,
берілген
. 
Ыңғайлы
болу
үшін
сфералық
координаталар
жүйесін
таңдаймыз
. 
Есеп
симметриялы
болғандықтан
жылдамдық
потенциалы
үшін
Лаплас
теңдеуі
мына
түрге
ие
болады
∆
0
.
Осыны
теңдеуді
бір
рет
интегралдасақ
,
Екінші
рет
интегралдау
арқылы
1
екендігін
аламыз
, 
мұндағы
,
белгісіз
функциялар
. 

Шексіздікте
сфера
ағынның
қозғалысын
тудыра
алмайды
, 
сондықтан
∞
болдғанда
0
деп
ұйғаруға
болады
, 
осыдан
0
екендігін
аламыз
. 
Сфераның
беті
арқылы
іштен
сыртқа
жəне
сырттан
ішке
ешқандай
сұйық
кірмейтін
болғандықтан
, 
сфера
бетінде
мына
шартты
қоюға
⁄
0
болады
. 
Бұдан
: 
·
0,
Осы
шартты
(1) 
потенциал
теңдігіне
қойсақ
С
екендігін
аламыз
. 
Демек
, 
осыдан
жылдамдық
векторы
.
b) 
Қысымның
таралуын
есептеу
,
. 
Бернулли
теңдеуі
көлемдік
күштерді
ескермегенде
мынадай
түрге
ие
болады
: 
1
2
·
.
Туындыларды
есептейтін
болсақ
2
2
,
1
2
·
2
.
Сонда
Бернулли
теңдеуі
келесі
түрге
ие
болады
2
2
,
 

мұндағы
Бернулли
тұрақтысы
шексіздіктегі
шекаралық
шарттан
,
0
анықталады
, 
яғни
.
Демек
2
2
,
осыдан
сфера
бетінің
өзгеру
заңдылығына
сəйкес
қысымдар
айырымы
үшін
мынаны
аламыз
: 
2
1
1
2
1
,
Мынаны
1
ескерсек
, 
онда
жоғарыдағы
теңдік
былай
жазылады
: 
2
1
1
2
1
,
жəне
1
.
c) 
Жоғарыдағы
табылған
қысым
мен
жылдамдық
теңдеулері
арқылы
осы
функциялардың
графигін
саламыз
: 

 
3.1-2
Ради
тұтқырсыз
тұрақталға
Денеден
(
шексіздік
қозғалысы
параллель
Сонда
:
 
a)
ағ
b)
де
Нұсқ
жүйесіне
теңдеуін
с
симметрия
 
3.1-3
өтуі
 
Суре
ағынның
тұрған
си
2 
есеп
. 
Сфе
иусы
сф
з
сұйықты
ан
ағынын
алыс
а
ктегі
) 
ын
біртекті
ь
деп
қара
ғынның
жы
енеге
əсер
е
қау
:
Есепт
көшіңіз
. 
Ж
сəйкес
шек
ялы
( - 
си
3 
есеп
. 
Ай
етте
көрсет
қосындыс
имметриялы
ералық
 
ден
фералық
де
ың
құйынс
на
қойылға
аймақтарда
сұйықты
жəне
өсі
ауға
болад
ылдамдық
п
ететін
қоры
ті
шешу
ү
Жылдамды
каралық
ша
имметрия
өс
йналып
 
тұ
тілген
дене
сынан
: 
ы
ағыстан
нені
 
ағынн
ене
сыз
ан
. 
ағы
ың
іне
ды
. 
потенциалы
ытқы
күшт
үшін
сфера
қ
потенци
арттарда
ше
сі
: 
)
ұрған
 
дене
е
үстіндегі
жазы
н
жəне
коо
U
∞
, p
∞
ның
 
ағып
 
ын
і
табу
кере
алық
коор
алы
үш
ешіңіз
. 
Есе
екендігін
е
ені
 
сұйықт
ағын
екі
қ
ықтығында
ординатала
y
z
∞
r
0
өтуі
 
ек
. 
рдинаталар
шін
Лаплас
ептің
өстік
ескеріңіз
. 
тың
 
ағып
 
қарапайым
айналып
ар
басына
θ
y
ε
x

орналастырылған
нүктелік
бұлақтан
тұрады
. 
Сұйық
тұтқырсыз
жəне
ағын
потенциалды
деп
саналады
. 
Сонда
: 
a)
дененің
айналуынан
пайда
болған
ағыс
жылдамдығының
потенциалын
табу
керек
; 
b)
жылдамдық
өрісін
,
жəне
бұлақтың
қуатын
табу
керек
; 
c)
ағын
функциясын
жəне
тұрып
қалған
аймақтағы
ағын
сызығын
есептей
отырып
, 
дене
пішінін
анықтау
керек
; 
d)
координаталар
басына
орналастырылған
ұрадан
( <0, 
источник
) 
шығып
жатқан
ағынның
тұрып
қалған
аймағын
табу
керек
жəне
ағын
сызықтарын
салу
керек
. 
 
3.1-4 
есеп
. 
Өткізбейтін
 
қабырға
 
үстінде
 
орналасқан
 
нүктелік
 
бұлақ
 
Қатты
қабырғадан
(
0
жазықтығы
)
қашықтықта
қуаты
болатын
нүктелік
бұлақ
орналасқан
(
суретті
қараңыз
). 
Сонда
: 
a)
ағыстың
жылдамдық
потенциалын
,
); 
b)
жылдамдық
өрісін
жəне
қабырғадағы
жылдамдықты
, 
тежелу
нүктесін
; 
c)
егер
тежелу
нүктесіндегі
қысым
болса
, 
онда
қабырғадағы
қысымды
, 0
анықтаңыз
. 

Нұсқау
:
Бейнелеу
əдісін
пайдаланыңыз
, 
0
жазықтығынан
қашықтықта
қуаты
дəл
сондай
бұлақ
орнатыңыз
.
Содан
кейін
екі
бұлақтың
жылдамдық
потенциалдарын
қосыңыз
. 
 
Берілгендері
: 
, , , .
 
 
3.1-5 
есеп
. 
Тұтқырлы
 
жəне
 
тұтқырсыз
 
сұйықтағы
 
кеңеюші
 
сфера
 
Радиусы
болатын
сфералық
дененің
кеңеюінен
туын
-
дайтын
сығылмайтын
сұйықтың
тұрақталмаған
ағысының
потенциалы
келесі
түрмен
анықталады
(3.1-1 
есепті
қараңыз
):
 
,
.
Осы
жағдайда
: 
a)
сферадан
тыс
аймақтағы
(
∞
) 
сұйықтың
кинетикалық
энергиясын
есептеңіз
; 
b)
тұтқырсыз
сұйықтың
массалық
күштерді
жəне
жылуөткізгіштікті
ескермегендегі
қозғалысының
кинетикалық
энергиясының
өзгеру
жылдамдығы
сфераға
r
R(t)

əсер
ететін
қысым
күштерінің
қуатына
тең
екендігін
көрсетіңіз
. 
Шексіздіктегі
қысымды
нөлге
тең
деп
есептеңіз
, 
яғни
0
; 
c)
тұтқырлы
сұйықтың
жылуөткізгіштікті
ескермегендегі
ағысында
дене
бетіне
əсер
ететін
кернеу
қуаты
ішкі
энергияның
өзгерісіне
тең
екендігін
көрсетіңіз
. 
Сонымен
қатар
кинетикалық
энергияның
өзгеру
жылдамдығы
қысым
күштерінің
қуатына
тең
екендігін
көрсетіңіз
. 
 
Берілгендері
: 
, , .
 
3.2 
Жазық
 
потенциалды
 
ағындар
 
Егер
ортаның
барлық
бөлшектері
қандай
да
бір
жазықтыққа
(
бірлік
векторы
 
болатын
жазықтығы
) 
барлық
уақытта
параллель
қозғалыс
жасайтын
болса
, 
онда
ортаның
қозғалысы
қазық
қозғалыс
делінеді
. 
Сығылмайтын
сұйықтың
жазық
потенциалды
ағысының
жылдамдық
өрісін
келесі
комплекс
айнымалы
функциямен
,
,
өрнектеу
ыңғайлы
, 
мұндағы
- 
комплексті
айнымалы
, 
,
- 
жылдамдық
потенциалы
, 
,
- 
ағын
функциясы
, 
. 
туындысы
ағын
жылдамдығын
анықтайды
. 
Сұйық
ішінде
орналасқан
кез
келген
қисық
үшін
келесі
теңдік
орындалады
: 
,
мұндағы
-
сызығы
бойынша
алынған
жылдамдық
циркуляциясы
, 
-
сызығы
арқылы
өтетін
сұйықтың
шығыны
.
 
Дененің
жазық
ағында
ағуы
есептерінде
қарастырып
отырған
аймақ
бірбайланысты
болмай
қалады
, 
сондықтан
да
осындай
есептерді
шешкенде
жылдамдық
циркуляциясының

мəні
бір
нүктеге
жиырылмайтын
тұйық
контур
бойынша
берілуі
тиіс
. 

жүктеу/скачать 1,28 Mb.

Достарыңызбен бөлісу: