Функции, их свойства и графики



Дата11.03.2020
өлшемі4.08 Mb.

содержание

  • Что такое Функция?
  • Функции и их графики
  • Функция и аргумент
  • Область определения и
  • область значения
  • График функции
  • Четность и нечетность функции
  • Возрастание и убывание функции

Функцией или функциональной зависимостью называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению независимой переменной х соответствует единственное значение зависимой переменной у.

Аргумент - х- независимая переменная.

  • Функция - у- зависимая переменная.
  • Переменная у является функцией от переменной х. у = f (х)

Область определения функции- все значения независимой переменной х.

  • Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.
  • Область значения функции- все значения зависимой переменной у.

График функции

  • График функции -множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.
  • Четность и нечетность функции
  • Функция y= f (x) называется чётной, если область её определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента x верно равенство f (-x) = f (x)
  • График любой чётной функции симметричен относительно оси ординат.
  • Функция y = g (x) называется нечётной, если область её определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента x верно равенство g (-x)= - g (x)
  • График любой нечётной функции симметричен относительно начала координат.
  • Возрастание и убывание функции
  • Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
  • Если х2 > х1, то f (х2) > f (х1)
  • Функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
  • Если х2 > х1, то f (х2) < f (х1)
  • Функции и их графики
  • Линейная функция
  • Парабола
  • Кубическая парабола
  • Обратная пропорциональность
  • у = sin х
  • Квадратичная функция
  • y = √x
  • y = cos x
  • y = ctg x
  • y = tg x
  • Окружность
  • Линейная функция и ее график
  • Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = kx + b, где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа
  • Графиком линейной функции является прямая.
  • Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.
  • Область определения – R; Область значения – R
  • Если k > 0, то 1 и 3 четверть, функция возрастает
  • Если k < 0, то 2 и 4 четверть, функция убывает
  • Прямая пропорциональность
  • Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx, где x – независимая переменная, k – не равное нулю число.
  • Для построения графика прямой пропорциональности достаточно отметить какую – либо точку графика, отличную от начала координат, и провести через эту точку и начала координат прямую.
  • Свойства функции y = x²
  • 1. Если x = 0, то y = 0.
  • 2. Если x ≠ 0, то y > 0.
  • 3. Противоположным значениям x соответствует одно и то же значение y.
  • Парабола
  • График функции y = x² называется параболой
  • Кубическая парабола
  • График функции y = x³ называется кубической параболой.
  • Свойства функции y = x³.
  • 1. х = 0, то y = 0.
  • 2. Если x > 0, то y > 0;
  • если x < 0, то y < 0.
  • 3. Противоположным значениям x соответствуют противоположные значения y.
  • Обратная пропорциональность
  • Обратной пропорциональностью называется функция,
  • которую можно задать формулой вида , где
  • x – независимая переменная; k – неравное нулю число.
  • Областью определения и область значения функции - множество всех чисел, отличных от нуля.
  • Если k > 0, то 1 и 3 четверть, функция убывает
  • Если k < 0, то 2 и 4 четверть, функция возрастает
  • Кривую, являющуюся графиком обратной пропорциональности, называют гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей.
  • k
  • x
  • y =
  • Функция и её график.
  • 1. Если x = 0, то y = 0.
  • 2. Если x > 0, то y > 0.
  • 3. Большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
  • Свойства функции:
  • 4. Функция возрастает – 1 четверть.
  • Квадратичная функция
  • Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax² + bx + c, где x – независимая переменная; a, b, и c – некоторые числа, a ≠ 0.
  • Свойства:
  • а > 0, 1 и 2 четверть – ветви вверх, а < 0, 3 и 4 четверть – ветви вниз,
  • вершина параболы (m;n)
  • 5. График функции y = af(x) можно получить из графика функции y = f(x) с помощью растяжения вдоль оси Оу в a раз, если a >1, или сжатия в 1/a раз, если 0 < a < 1.
  • b
  • 2a
  • m = –
  • n =
  • – b² + 4ac
  • 4a
  • 3. у = ах² + n параллельный перенос у = ах² вдоль оси Оу на n единиц вверх, если n > 0; вниз, если n < 0
  • 4. у = а(х – m)² сдвиг графика функции у = ах² вдоль оси Ох на m единиц вправо, если m > 0; влево, если m < 0

Окружность

  • Уравнение окружности (х – х0)2 + (у – у0)2 = r2 (х; у) – координаты точки на окружности (х0; у0) – координаты центра окружности r – радиус окружности
  • х2 + у2 = r2 уравнение окружности с центром в начале координат (0; 0)
  • Окружность – геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
  • Функция у = sin x (синусоида)
  • Числовая функция, заданная формулой y = sin x, называется синусом
  • 1. Область определения – R Область значения – [-1;1]
  • 2. Функция нечетная; период 2π
  • 3. Пересечение с осью Ох (πn; 0); с осью Оу (0; 0)
  • 4. у > 0 при х є (2πn; π + 2πn), n є Z
  • у < 0 при х є (-π + 2πn; 2πn), n є Z
  • 5. Функция возрастает при х є [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn], n є Z
  • Функция возрастает при х є [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n є Z
  • 6. xmin = -π/2 + 2πn ymin = -1 xmax = π/2 + 2πn ymax = 1
  • Область определения – R Область значения – [-1;1]
  • 2. Функция четная; период 2π
  • 3. Пересечение с осью Ох (π/2 + πn; 0); с осью Оу (0; 1)
  • 4. у > 0 при х є (- π/2 + 2πn; π/2 + 2πn), n є Z
  • у < 0 при х є (π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn), n є Z
  • 5. Функция возрастает при х є [-π + 2πn; 2πn], n є Z
  • функция убывает при х є [2πn; π + 2πn], n є Z
  • 6. xmin = π + 2πn ymin = -1 xmax = 2πn ymax = 1
  • Функция у = cos x (синусоида)
  • Функция у = tg x (тангенсоида)
  • Область определения – (- π/2 + 2πn; π/2 + πn), n є Z
  • Область значения – R
  • 2. Функция нечетная; период π
  • 3. Пересечение с осью Ох (πn; 0); с осью Оу (0; 0)
  • 4. у > 0 при х є (πn; π/2 + 2πn), n є Z
  • у < 0 при х є (-π/2 + 2πn; πn), n є Z
  • 5. Функция возрастает при х є (-π/2 + πn; π/2 + πn), n є Z
  • функция убывает - нет
  • 6. xmin ; ymin ; xmax ; ymax нет
  • Функция у = ctg x
  • Область определения – (πn; π + πn) Область значения – R
  • 2. Функция нечетная; период π
  • 3. Пересечение с осью Ох (π/2 + πn; 0); с осью Оу нет
  • 4. у > 0 при х є (πn; π/2 + πn), n є Z
  • у < 0 при х є (-π/2 + πn; 2πn), n є Z
  • 5. Функция возрастает при х є нет, n є Z
  • функция убывает при х є (πn; π + πn), n є Z
  • 6. xmin ; ymin ; xmax ; ymax нет


Достарыңызбен бөлісу:




©engime.org 2020
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет