Функцией или функциональной зависимостью называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению независимой переменной х соответствует единственное значение зависимой переменной у.
Аргумент - х- независимая переменная.
Функция-у- зависимая переменная.
Переменная у является функцией от переменной х. у = f (х)
Область определения функции- все значения независимой переменной х.
Если функция задана формулой и область определения функции не указана,то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.
Область значения функции- все значения зависимой переменной у.
График функции
График функции -множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.
Четность и нечетность функции
Функция y= f (x) называется чётной, если область её определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента x верно равенство f (-x) = f (x)
График любой чётной функции симметричен относительно оси ординат.
Функция y = g (x) называется нечётной, если область её определения симметрична относительно нуля и для любого значения аргумента x верно равенство g (-x)= - g (x)
График любой нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Возрастание и убывание функции
Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Если х2 > х1, то f (х2) > f (х1)
Функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = kx + b, где x – независимая переменная, k и b – некоторые числа
Графиком линейной функции является прямая.
Для построения графика линейной функции достаточно найти координаты двух точек графика, отметить эти точки на координатной плоскости и провести через них прямую.
Область определения – R; Область значения – R
Если k > 0, то 1 и 3 четверть, функция возрастает
Если k < 0, то 2 и 4 четверть, функция убывает
Прямая пропорциональность
Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx, где x – независимая переменная, k – не равное нулю число.
Для построения графикапрямой пропорциональности достаточно отметить какую – либо точку графика, отличную от начала координат, и провести через эту точку и начала координат прямую.
Свойства функции y = x²
1. Если x = 0, то y = 0.
2. Если x ≠ 0, то y > 0.
3. Противоположным значениям x соответствует одно и то же значение y.
Парабола
Графикфункцииy = x²называетсяпараболой
Кубическая парабола
График функции y = x³ называется кубической параболой.
Свойства функции y = x³.
1. х = 0, то y = 0.
2. Если x > 0, то y > 0;
если x < 0, то y < 0.
3. Противоположным значениям x соответствуют противоположныезначения y.
Обратная пропорциональность
Обратной пропорциональностью называется функция,
которую можно задать формулой вида , где
x – независимая переменная; k – неравное нулю число.
Областью определения и область значения функции - множество всех чисел, отличных от нуля.
Если k > 0, то 1 и 3 четверть, функция убывает
Если k < 0, то 2 и 4 четверть, функция возрастает
Кривую, являющуюся графиком обратной пропорциональности, называют гиперболой. Гипербола состоит из двух ветвей.
k
x
y =
Функция и её график.
1. Если x = 0, то y = 0.
2. Если x > 0, то y > 0.
3. Большему значению аргумента соответствуетбольшее значение функции.
Свойствафункции:
4. Функция возрастает – 1 четверть.
Квадратичная функция
Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y = ax² + bx + c, где x – независимая переменная; a, b, и c – некоторые числа, a ≠ 0.
Свойства:
а > 0, 1 и 2 четверть – ветви вверх, а < 0, 3 и 4 четверть – ветви вниз,
вершина параболы (m;n)
5. График функции y = af(x) можно получить из графика функции y = f(x) с помощью растяжения вдоль оси Оу в a раз, если a >1, или сжатия в 1/a раз, если 0 < a < 1.
b
2a
m = –
n =
– b² + 4ac
4a
3. у = ах² + n параллельный перенос у = ах²вдоль оси Оу на n единиц вверх, если n > 0; вниз, если n < 0
4. у = а(х – m)² сдвиг графика функции у = ах² вдоль оси Ох на m единиц вправо, если m > 0; влево, если m < 0
Окружность
Уравнение окружности (х – х0)2 + (у – у0)2 = r2 (х; у) – координаты точки на окружности (х0; у0) – координаты центра окружности r – радиус окружности
х2 + у2 = r2 уравнение окружности с центром в начале координат (0; 0)
Окружность – геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
Функция у = sin x (синусоида)
Числовая функция, заданная формулой y = sin x, называется синусом
1. Область определения – R Область значения – [-1;1]
2. Функция нечетная; период 2π
3. Пересечение с осью Ох(πn; 0); с осью Оу (0; 0)
4. у > 0 при х є(2πn; π + 2πn), n є Z
у < 0 при х є(-π + 2πn; 2πn), n є Z
5. Функция возрастает при х є[-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn], n є Z
Функция возрастает при х є [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n є Z
